Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .08 ПВГ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31498

Найдите наименьшее натуральное число $N,$ такое что число $99N$ состоит из одних троек.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва посмотрим, на что делится число 99N: на 9 и 11. Можем ли мы что-нибудь сказать про количество цифр?

Подсказка 2

В силу того, что число состоит только из троек, из признака делимости на 9 следует, что кол-во цифр делится на 3. А из признака делимости на 11 следует, что кол-во цифр должно делиться на 2. Тогда оно делится на 6. Какое тогда может быть минимальное подходящее число?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что это 333333. Отсюда находится N.

Показать ответ и решение

Заметим, что число $99N$ делится на $9$ и на $11.$ Значит, количество цифр в нём должно делиться на $3$ и на $2$ (то есть и на $6$ ), так как если число троек нечётное, то сумма на чётных и нечётных местах будет отличаться на $3$ — не соответствует критерию делимости на 11. Отсюда $99N ≥333333$ и при этом $99N = 333333$ уже подходит, так что наименьшее $N = 3367.$

Ответ:

$3367$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#34203

Решите уравнение

10 10 29- 4 sin x+cos x = 16 cos 2x.

Источники: ПВг-2016, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот наверняка у вас возникал вопрос: зачем учить формулы понижения степени? Ответ: для того, чтобы сейчас же понизить эти десятые степени! Помним, что sin¹⁰(x) = (sin²(x))⁵. Там начнет фигурировать и пятая степень двойки - на нее стоит домножить левую и правую части.

Подсказка 2

Заменим cos(2x) на t, а затем, не стесняясь, раскроем скобки с пятыми степенями. Вы же понимаете, что при раскрытии они будут почти идентичны? Только слагаемые с нечетной степенью будут отличаться знаками, следовательно, при сложении они просто пропадут!

Подсказка 3

Далее будет очень удобно сделать замену t² = p, тогда мы получим квадратное уравнение, решим его и сделаем обратную замену, таким образом постепенно и дорешаем задачу.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле понижения степени уравнение равносильно

5 5 4 (1 − cos(2x)) + (1 +cos(2x)) = 29⋅2⋅cos (2x).

После замены $cos(2x)= t$ и раскрытия скобок имеем (нечётные степени косинуса взаимноуничтожаются):

2 4 4 1+10t +5t = 29t .

Из этого квадратного относительно $t2$ уравнения получаем $t2 = 12$ или $t2 = −112$ . Отсюда $cos(2x)= ±√1 2$ , так что $x =± π8 + πk2 = π8 + π4k,k ∈ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Выразим две суммы с меньшими степенями через $cos4x$

sin4x+ cos4x= 1− 2sin2xcos2x =1 − 1 sin22x= 3+-cos4x 2 4

6 6 4 2 2 4 3 2 3cos4x+-5- sin x +cosx =sinx − sin x cos x+ cos x= 1− 4sin 2x = 8

Теперь выразим через них левую часть

sin10x+ cos10x= (sin4x +cos4x)(sin6x+ cos6x)− sin4x cos4x

( )2 sin4xcos4x = 1-sin42x= 1- 1-− cos4x = 1-(1 − 2cos4x+cos24x) 16 16 2 64

Теперь подставим всё это в изначальное равенство

3+-cos4x ⋅ 3cos4x+-5− 1−-2cos4x-+cos2-4x = 29(cos24x +2cos4x+1) 4 8 64 64

2 2 2 6cos 4x+ 28cos4x+ 30− 1+2cos4x− cos 4x= 29 cos 4x+58cos4x+29

2 24cos4x+ 28cos4x =0 ⇐⇒ cos4x =0,−7∕6

Остаётся только первый корень, который и идёт в ответ.

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34644

На соревнования по лёгкой атлетике ученики школы приехали на автобусе, вмещающем не более 40 человек. Каждый из них участвовал в одном из видов соревнований. При этом $1∕7$ часть учеников завоевали золотые медали, $1∕4$ часть — серебряные и ещё $1∕4$ — бронзовые. На обратном пути медалисты решили собрать деньги и купить по одному торту каждому из спортсменов, оставшемуся без медалей. Сколько тортов им придётся покупать?

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметьте, что информация про автобус говорит нам о том, что человек может быть от 1 до 40... Просто рассмотрите 40 вариантов! Но, конечно же, задача не об этом. Подумайте, как информация про завоеванные медали поможет этот перебор сократить

Подсказка 2

Если нам говорят о том, что 1/n часть учеников что-то там получила, то, выходит, количество учеников мы смогли поделить на n, то есть это количество было кратно n. А условия на кратности уже сильно сокращают варианты для общего количества человек в автобусе!

Показать ответ и решение

Из условия следует, что число учеников должно быть кратно $4$ и $7.$ В силу взаимной простоты этих чисел количество учеников должно быть кратно $28.$ Но раз оно не больше $40,$ то учеников ровно $28.$ Отсюда медали завоевали $28- 28- 7 +2⋅ 4 =18.$ Соответственно без медалей остались $10$ человек, столько и надо купить тортов.

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36853

Футбольный мяч шьётся из $32$ кусочков кожи: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный кусочек граничит только с белыми кусочками, каждый белый кусочек граничит с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько чёрных кусочков нужно для изготовления мяча?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, у нас в задаче есть многоугольники, которые друг с другом граничат, было бы удобно выбрать какую-то величину и считать ее с помощью условий...

Подсказка 2!

Так-так-так, у нас есть некоторая величина, например, количество границ черных и белых многоугольничков, про которую мы знаем и от белых многоугольников, и от черных... Что бы тут могло значить?

Подсказка 3!

Именно! Количество связей белых клеток с черными у нас считается с двух разных сторон! Это должно помочь...

Показать ответ и решение

Из условия получаем, что $x$ чёрных кусочков граничат суммарно с $5x$ белыми, соответственно $32 − x$ белых кусочков граничат с $3(32 − x)$ чёрными. То есть число границ между белыми и чёрными кусочками равно с одной стороны $5x,$ а с другой стороны $96− 3x.$ Отсюда находим, что $96 x= 8 = 12.$

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38134

Решите уравнение

∘----√- (1− log2x)⋅ logx2 x = 1

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, конечно же, запишем ОДЗ! Теперь анализируем уравнение: метод рационализации здесь нам вряд-ли поможет, есть 2 логарифма, и по итогу хотелось бы их преобразовать к одинаковому виду и сделать замену.

Подсказка 2

Как их преобразовывать? Например, из первой скобки можно сделать один логарифм, а во втором логарифме избавиться от √х и разложить полученный логарифм на 2 хороших слагаемых!

Подсказка 3

Итак, по итогу мы можем из обоих логарифмов получить log_(x/2) 2, или подобный логарифм. Осталось лишь сделать замену этого логарифма на новую переменную, решить уравнение относительно неё, вернуться к логарифмам и учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x >0 { x ⁄= 1 |( 2 √- logx∕2 x ≥0

На ОДЗ по свойствам логарифмов получаем уравнение

( 2) ∘ 1-----x--- log2x ⋅ 2 logx2(2 ⋅2)= 1

( ) ∘ -------- √ - − log2 x ⋅ 1+ logx2 2= 2 2

− ∘1+-logx-2= √2⋅logx 2 2 2

При замене $t=logx2 2$ после возведения в квадрат (не равносильный переход, а следствие, так что корни проверим) получаем

1+ t=2t2 ⇐⇒ t∈{1;− 1} 2

Обратная замена:

t=1 −→ x =2 ⇐ ⇒ x =4 2

1 ∘-2 1 t= −2 −→ x = 2 ⇐⇒ x= 2

После подстановки в исходное уравнение получаем, что $x= 4$ не подходит, а $1 x= 2$ подходит.

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38686

Решите неравенство

(log √x+1)−1 2 log3x(x+ 1)− (x+ 1) cos5 < sin 5.

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дана какая-то странная степень, можно ли из неё получить что-то хорошее?

Подсказка 2

Давайте получим логарифм с основанием x+1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,3x ⁄=1$ . Поскольку $(log √x+-1)−1 =2log cos5 cos5 x+1$ , то имеем

2 2 log3x(x+ 1)− cos 5< sin 5 ⇐⇒ log3x(x+ 1)<1

Если $x< 1 3$ , то равенство выполнено, иначе $x> 1 3$ и $x+ 1< 3x ⇐⇒ x> 1 2$ .

Ответ:

$(0,1)∪(1,+∞ ) 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44156

Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за $5$ минут, более медленный — за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше $12$ . За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Воспользуемся частой идеей про задачи на круговое движение - выразим скорость их сближения через разность скоростей. Для этого нам понадобится время встречи, а еще время обхода круга каждым из них. Одно из них мы знаем, оставшиеся два неизвестных можем обозначить за t и t'.

Подсказка 2!

2) Итак, мы получим уравнение S/t = S/5 - S/t'. Заметим, что так как t' - целое, мы могли бы найти все подходящие t'!

Подсказка 3!

3) Для этого нужно сократить на S и получить несколько вариантов для t'. Останется только их разобрать!

Показать ответ и решение

Время между их встречами равно $t≥ 12$ , а время обхода круга для второго $t > 5 1$ . Запишем скорость сближения через разность их скоростей ( $S$ — длина круга)

S S S t-= 5 − t1 =⇒ 5t1 = (t1− 5)⋅t

Заметим, что $Н ОД(t1,t1− 5)∈{1,5}$ , потому $t1− 5∈{1,5,25}$ , чтобы $5t1$ было ему кратно. Если $t1− 5= 1,t1 = 6$ , то имеем $t= 30$ . Иначе $t1 ≥10$ . В этом случае первый хотя бы в два раза быстрее и время между встречами будет не более $10$ минут, поскольку за это время первый пройдёт два круга, а второй не более одного. Отсюда наш ответ единственный возможный.

Ответ:

$6$ минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44157

Для бригады маляров-учеников была запланирована окраска $360$ кв.м. стен. Перед началом работы один из учеников заболел, и вместо него работал мастер, производительность которого в $3$ раза больше производительности каждого из учеников. Поэтому каждый из учеников в действительности покрасил на $6$ кв.м. меньше, чем планировалось. Все ученики и мастер работали одинаковое время. Сколько учеников работало?

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте посмотрим, если всего учеников x, а покрасить надо было 360, то каждый должен был покрасить по 360/x, а покрасил 360/x - 6.

Подсказка 2!

2) Как бы нам записать, сколько покрасил мастер? Так как его производительность была в три раза больше, давайте считать, что добавление мастера это то же самое, что добавить трех учеников вместо одного! Попробуйте в таком случае записать уравнение на то, сколько в итоге было покрашено детьми и мастером!

Показать ответ и решение

Мастер работает в три раза быстрее, поэтому в суммарной производительности его можно считать за троих учеников.

Если всего учеников изначально было $n$ , то каждый планировал покрасить $360- n$ , а по факту покрасил $360 n − 6$ . Мастер красил вместе с ними как три ученика, а ещё один ученик заболел, поэтому суммарно они покрасили $(360 ) (n+ 3− 1)⋅ n − 6 =360$ . Осталось решить полученное уравнение

(60 ) (n+ 2) n-− 1 = 60

60+ 120− 2− n= 60 n

n2+ 2n− 120= 0

n =10

Изначально было $n =10$ учеников, но так как один заболел, то всего работало $9$ .

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#51852

Серединами оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ являются точки $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $AD = 10⋅BC.$ На боковых сторонах $AB$ и $CD$ взяты, соответственно, точки $M$ и $N$ , так что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции. При каком значении отношения $AM :MB$ сумма площадей треугольников $BKN$ и $MNL$ будет наибольшей?

Источники: ПВг-2016, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно перефразировать вопрос задачи?

Подсказка 2

Например, можно записать функцию суммы желаемых площадей и найти её наибольшее значение. Оно будет в точке максимума.

Подсказка 3

Пусть AD = k ⋅ BC (k > 1), BC = a, высота трапеции равна h, x = MB/AB, S(ABCD) = S. Выразите S(BKN) и S(MNL).

Подсказка 4

Можно воспользоваться тем, что у параболы с ветвями, направленными вниз, точка максимума находится в вершине.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $S = S,AD =k ⋅BC (k> 1),BC = a, ABCD$ высота трапеции $ABCD − h,x = MB. AB$ Тогда $S = a+kah, 2$ откуда $-2S ah= 1+k$ Получаем: $1 a -xS-- SBKN = 2 ⋅ 2 ⋅hx= 2(1+k).$ Так как $MN =x(k− 1)a +a,$ то

$PIC$

SMNL = a(x(k−-1)+-1)⋅(1− x)h= S(x(k-− 1)+-1)(1−-x) 2 1+ k SBKN +SMNL = ---S-- (2x2(1 − k)+ x(2k− 3)+2) 2(1+ k)

Функция $f(x)= 2x2(1− k)+x(2k− 3)+ 2$ имеет максимум при $x0 =-2k−-3 4(k− 1)$ Если $k= 10,$ то $x0 = 17, 36$ откуда $AM :MB =19 :17.$

Ответ:

$19:17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#58562

Найдите значение выражения

( --3-- --2-- --1--) --y2--- 2x− y − 2x+ y − 2x− 5y :4x2− y2

при

x= 4,y = 7 3 3

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не теряемся и приводим к общему знаменателю, объединяем нужное, сокращаем ненужное, а затем в уже красивое выражение подставляем значения!

Показать ответ и решение

Приведём к общему знаменателю в скобках, получим

4x2-− y2-3(2x+-y)(2x− 5y)−-2(2x−-y)(2x−-5y)−-(2x-+y)(2x−-y) y2 ⋅ (4x2− y2)(2x − 5y) =

2 2 2 2 2 2 = 12x-−-24xy− 15y-−28x-+-24xy− 10y-−-4x-+y-=− --24---= −24= 8 y (2x− 5y) 2x− 5y −9 3

Ответ:

$8 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#61177

Найдите все четырёхзначные числа, которые на $7182$ меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим наше число в виде abcd, тогда в обратном порядке получится dcba. Расписываем числа через степени десятки и составляем уравнение по условию

Подсказка 2

Отлично, получилось 111(d-a) + 10(c-b) = 798. Понимая, что a, b, c, d - цифры, оценим слагаемые.

Подсказка 3

Заметим, что d-a при делении на 10 имеет остаток 8, причем a и d - первые цифры в числах, что приводит нас к единственному случаю, остается только счет)

Показать ответ и решение

Пусть это число $abcd= 1000a +100b+10c+ d$ , отсюда

(1000d +100c+10b+ a)− (1000a+ 100b+ 10c+d)= 999d+ 90c− 90b− 999a= 7182

Сокращая результат на $9$ , получаем

111d+ 10c− 10b− 111a= 111(d− a)+10(c− b)= 798

Поскольку $10(c− b)∈[−90,90]$ , то $111(d− a)∈ [708,888]$ , отсюда $111(d − a)∈ {777,888}.$

Добавляя условие, что $111(d− a)=798− 10(c− b) ≡8 10$ (то есть даёт остаток $8$ по модулю $10$ ), получаем единственный случай $d− a= 8,d= a+8.$

Поскольку $a⁄= 0$ , то остаётся $a= 1,d =9$ , отсюда

10(c − b)= 798− 888= −90 ⇐⇒ b=c +9 =⇒ c= 0,b= 9

Получаем единственное подходящее число $1909.$

Ответ:

$1909$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#63898

Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды $SABC$ равен $arctg3.$ В каком отношении делит боковую сторону $SB$ сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Центр сферы лежит в плоскости основания и при этом сфера проходит через все вершины правильного треугольника основания. Что в таком случае можно сказать о положении центра сферы внутри △ABC?

Подсказка 2

Итак, мы поняли, что центр сферы совпадает с центром △ABC. Из этого мы сразу же можем узнать радиус сферы. Обозначьте сторону основания пирамиды за переменную а и попробуйте через неё выразить всё что сможете: радиус сферы, высоту пирамиды (в этом нам поможет двугранный угол при основании).

Подсказка 3

Обозначим центр сферы за точку О и рассмотрим △SOB, все его стороны легко выражаются через а. Из точки О проведите ОР — радиус сферы. Работа с равнобедренным △ВОР (мы знаем в нём боковые стороны и можем выразить из прямоугольного △SOB угол при основании) поможет нам отыскать ВР. Осталось несколько арифметических действий и задача решена!

Показать ответ и решение

$PIC$

Центр сферы равноудалён от точек на её поверхности, а раз по условию вершины основания принадлежат сфере, то центр сферы является центром описанной около основания окружности.

Пусть сфера пересекает ребро $SB$ в точке $P$ . Тогда равны радиусы $OP =OB.$ Опустим перпендикуляр $OQ$ к ребру $SB$ , он является медианой равнобедренного треугольника $P OB.$ Обозначим сторону основания через $a$ и пусть угол $α =arctg3.$ Пусть $M −$ основание перпендикуляра, проведенного из точки $B$ на сторону $AC.$

Находим из правильного треугольника в основании $√- √ - OM = 13a23,OB = 23a23$ , а так как $∠SMO$ это линейный угол двугранного угла и равен $α$ , то $√- SO = a63tgα.$

Также заметим

cos∠SBO = BQ- = BO BO SB

Тогда получаем

BQ- BO2- 2 -----1----- SB = SB2 = cos ∠SBO = 1+ tg2 ∠SBO =

(так как $√- a√3- tgα tg∠SBO =a 36tgα :-3-= -2-)$

1 4 4 = ---tg2α-= 4+tg2α-= 13- 1+ 4

В итоге $BQ =QP = 4x,SB = 13x,$ так что сфера делит в отношении

SP-= 13x−-8x= 5 PB 8x 8

Ответ:

$5 :8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67596

Решите уравнение

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) = 1

Источники: ПВГ-2016 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ключом к решению этой задачи является правильно написанное ОДЗ! Поэтому для начала найдем ОДЗ нашего уравнения!

Подсказка 2

Верно, 0 ≤ x ≤ 1! А что можно сказать про (√x)²⁰¹⁶ и (√(x-1))²⁰¹⁶? Может мы их можем как-то оценить, учитывая наше ОДЗ?

Подсказка 3

Да, если есть число, которое меньше единицы, но больше нуля, то при возведении в степень это число будет уменьшатся! То есть, мы имеем: x¹⁰⁰⁸ < x и (1-x)¹⁰⁰⁸ < 1 — x! Таким образом, если x ≠ 0 и x ≠ 1, то решений нет! Осталось проверить случаи x = 1 и x = 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $0≤ x≤ 1.$

Подстановкой легко убедиться, что $x= 0$ и $x = 1$ — это решения.

При $0< x< 1$ (на оставшейся области ОДЗ) оценим слагаемые в левой части

{ √- 2016 0< x< 1 ⇐⇒ ( x)√ --<-x2016 0< 1− x< 1 ⇐⇒ ( 1− x) <1− x

Складывая эти неравенства, получаем

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) < x+ (1 − x)= 1

Поэтому на интервале $(0;1)$ левая часть строго меньше единицы и равняться единице не может.

Ответ:

$0;1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70325

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$ , для которых выполнено равенство

2 x +xy = y+ 92

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение.

Подсказка 2

Вычтите из обеих частей y+1.

Подсказка 3

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 4

Разложите 91 на простые множители.

Показать ответ и решение

Вычтем из обеих частей $y+ 1$ и разложим левую часть на скобки

x2+ xy = y+ 92⇔ x2+ xy− y − 1 =91⇔ x2− 1+ y(x − 1)= 91⇔ ⇔ (x− 1)(y+ x+ 1) =91= 7⋅13

Так как $x,y ∈ ℕ, y+ x+ 1> x− 1,$ а также обе скобки неотрицательны. Значит возможны только следующие случаи:

[ x− 1= 1 и y+x +1 =91 x− 1= 7 и y+x +1 =13

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(2,88),(8,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#70327

Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ , удовлетворяющие уравнению

3 2 x +2y = 2016

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как вообще стоит решать данную задачу? Можно ли тут, например, разложить что-либо на скобки?

Подсказка 2

Можно было бы перебрать все пары (x;y), но их много. Есть ли способ сократить перебор?

Подсказка 3

2016 делится на 2, что можно тогда сказать про x?

Подсказка 4

x должно быть четным, представьте x как 2k, где k — целое число.

Подсказка 5

Аналогичным образом можно преобразовать и y.

Показать ответ и решение

Получить хорошее разложение на скобки тут не получится, а перебор всех пар $(x,y)$ большой. Сократим его, воспользовавшись четностью:

. x.. 2⇒ x =2k, k ∈ℕ ⇒ ⇒ 8k3+ 2y2 = 2016⇔ 4k3+y2 =1008; y ... 2⇒ y =2n, n ∈ℕ ⇒ ⇒ 4k3 +4n2 = 1008 ⇔ k3+n2 =252.

Так как $73 = 343 >252,$ разберем 6 возможных значений $k$ и выберем те, при которых $n∈ ℕ.$

⌊ k= 1 и n2 = 251 || k= 2 и n2 = 244 ||| k= 3 и n2 = 225⇒ x= 6, y = 30 || k= 4 и n2 = 188 ||⌈ k= 5 и n2 = 127 k= 6 и n2 = 36⇒ x =12, y = 12

Ответ:

$(6,30),(12,12)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#74216

Решите в целых числах уравнение

6 3 x =y + 217

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда нужно решить уравнение в целых числах, какие у нас обычно есть варианты действий?

Подсказка 2

Выбрать нужно вариант, который максимально сократит количество переборов. Для этого нужно внимательно посмотреть на уравнение: можно ли его как-то удобно преобразовать?

Подсказка 3

Обратите внимание на степени х и у. Случайно, не возникает никаких ассоциаций?

Подсказка 4

Можно перенести y³ влево и воспользоваться разностью кубов. Тогда что можно сделать с числом справа?

Подсказка 5

Что нужно сделать с числом 217, чтобы понять, какие значения могут принимать множители слева?

Подсказка 6

Да, разложим его на множители — останется только перебрать варианты.

Подсказка 7

Число 1 тоже может быть множителем.

Подсказка 8

Вышло несколько вариантов систем уравнений, которые нужно решить? А что можно сделать, чтобы решить систему?

Подсказка 9

Выражаем у через х и подставляем во второе уравнение. Осталось только всё найти)

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде $(x2− y)(x4+ x2y +y2)= 217.$ Осталось просто перебрать всевозможные варианты значений скобочек. Чтобы сократить перебор, заметим, что первая скобка меньше второй, а значит она меньше $√--- 217.$ Таким образом, возможны варианты $1,217$ и $7,31,$ так как вторая скобка всегда положительна, значит и первая должна быть положительна. Ясно, что в обоих случаях надо выразить $y$ через $x$ и подставить во второе уравнение, получится квадратное уравнение, которое нужно решить и выписать целочисленных ответы ответы.

Ответ:

$(±3,8),(±1,− 6)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90131

В окружность с центром $O$ вписан четырехугольник $ABCD$ , диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $M$ , причем $AM =4,AB = 6$ . Определите, какой может быть наименьшая длина диагонали $BD$ , если известно, что стороны $AB$ и $AD$ равноудалены от точки $O$ .

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой вывод можно сделать из равноудаленности AB и AD от точки O?

Подсказка 2

Они равны! А что вытекает из равенства хорд в окружности?

Подсказка 3

Углы ACD, ADB, ABD равны! Не возникло ли где у нас подобия? Быть может, можно посчитать еще какие-то отрезки?

Подсказка 4

Треугольники ABM и ACB подобны! Отсюда можно посчитать какие-нибудь отрезки. Теперь попробуем подступиться к отрезкам на DB. Быть может, попробуем их выразить при помощи свойства отрезков на пересекающихся хордах?

Подсказка 5

DM * MB = CM * MA = 5*4, что есть DM = 5x, MB = 4/x. Осталось лишь минимизировать сумму ;)

Показать ответ и решение

Из равноудалённости сторон $AB$ и $AD$ от точки $O$ вытекает их равенство. Следовательно равны углы $∠ACD = ∠ADB = ∠ABD$ . Таким образом, треугольники $ABM$ и $ACB$ подобны. Откуда $2 AB = AM ⋅AC$ , т.e. $AC = 9$ , а следовательно, $MC = 5$ . Так как $DM ⋅MB = CM ⋅MA = 5⋅4$ , то $DM = 5x,MB = 4∕x.$ Следовательно,

4 ( 4) 2 √ - BD = 5x+ x = 5 x + 5x ≥ 5⋅2⋅√5-=4 5,

применяя $a2+ b2 ≥2ab$ . Остаётся заметить, что данный случай реализуется, когда $AC$ проходит через центр окружности.

$PIC$

Ответ:

$4√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90802

Укажите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2+ 2y2+2y(x− a)+ a2 = 0 2−2−y⋅log x <1 2

имеет решения, и найдите эти решения.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно рассмотрите первое уравнения, можно ли его красиво преобразовать? Аккуратная работа с ФСУ позволит нам установить соотношения между х, у и а.

Подсказка 2

Итак, подставляя полученные соотношения, мы получаем интересное неравенство, но как его решить? Попробуйте показательную функцию отправить в правую часть, а логарифм — в левую. Что можно сказать о полученном неравенстве?

Подсказка 3

Оцените возрастание/убывание функций с каждой стороны, чтобы сделать вывод о количестве пересечений и примерном виде графиков этих функций. Так мы получим решения для х.

Подсказка 4

Осталось воспользоваться найденными в начале соотношениями между х и а, чтобы установить искомые значения параметра!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$

Из первого уравнения имеем $2 2 (x+ y) +(y− a)= 0⇒ x= −y, y = a.$ Подставим в неравенство:

−2+x 2 ⋅log2x< 1

x 2 log2x< 4

Поскольку функция в левой части монотонно возрастает, то меньше 4 она будет при всех $x$ до момента равенства. А равенство $2xlog2x =4$ достигается при $x = 2.$

В итоге с учётом ОДЗ $x∈ (0;2)$ , откуда $a∈ (− 2;0)$ , причём для каждого значения существует ровно одна пара $(x,y)= (−a,a).$

Ответ:

$a ∈(−2;0), (x,y)= (−a,a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91545

Решите неравенство

√ -------- 3 3 2sinxcosx> cos x− sin x+ sinxcosx(sin x− cosx)

Источники: ПВГ - 2016, 10-11 классы, Уфа

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Выражение в правой части сворачивается до cos(x) - sin(x).

Подсказка 3

Что, если правая часть меньше нуля?

Подсказка 4

В противном случае, можем возвести в квадрат.

Показать ответ и решение

Правая часть неравенства по формуле разности кубов равна

2 2 (cosx − sin x)(cos x+ sinxcosx+ sin x)− sin xcosx(cosx− sinx)=

2 2 =(cosx− sin x)(cos x+ sin x)= cosx− sinx

Поэтому получаем неравенство

∘sin(2x)> cosx− sinx

Если правая часть меньше нуля, то неравенство выполнено на ОДЗ $sin(2x) ≥0.$

[ π4 + 2πk< x≤ π2 +2πk,k∈ ℤ π+ 2πk≤ x< 54π+ 2πk,k∈ ℤ

Если правая часть неотрицательна, то неравенство равносильно

sin(2x)> (cosx− sinx)2

sin(2x)> 12

[ π12 + 2πk< x≤ π4 + 2πk,k ∈ℤ 5π4 + 2πk≤ x< 117π2-+2πk,k∈ ℤ

Объединяя эти два случая, получаем ответ.

Ответ:

$(π-+ 2πk;π +2πk]∪[π+ 2πk;17π+ 2πk);k∈ ℤ 12 2 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#92005

Найдите минимальное значение выражения

∘ -----2---2 ∘ -2-------2 (x+ 6) + y + x + (y − 4)

при условии $2|x|+ 3|y|= 6$ .

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а в каких формулах нам встречались похожие выражение? Сумма квадратов по корнем...

Подсказка 2

Что-то похожее на условия нам встречалось в формуле нахождения расстояния от точки до точки! Осталось лишь понять, от какой и до какой ;)

Подсказка 3

Выражение из условия есть сумма расстояний от точки (x,y) до (-6, 0) и (0, 4). Теперь нам надо подумать, а где же лежит точка (x, y)? Что "рисует" второе выражение из условия? ;)

Подсказка 4

Второе выражение из условия есть ромб с центром в начале координат! Получается, нам нужно минимизировать сумму расстояний от точки на стороне ромб до двух фиксированных!

Подсказка 5

Попробуем воспользоваться идеей симметрии, чтобы найти подходящую точку ;)

Подсказка 6

Докажите, что нам подходит точка, равноудаленая от двух фиксированных!

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение из условия есть сумма расстояний от точки с координатами $(x,y)$ до точек $(−6,0)$ и $(0,4)$ . А уравнение $2|x|+ 3|y|= 6$ задаёт ромб. Наша задача свелась к нахождению точки на границе ромба с минимальной суммой расстояний до двух выбранных. Докажем, что этот минимум достигается в точке, равноудаленной от точек $(−6,0)$ и $(0,4)$ .

Пусть точка $G$ лежит на прямой $l$ , параллельной $EF$ , и удаленной от прямой $EF$ на расстояние $h$ . Пусть также точка $H$ на прямой $l$ такова, что $EH =FH$ , а точка $P$ симметрична $F$ относительно прямой $l$ . Тогда получаем

EG + FG ≥EH + HP = EH + HF.

Причем равенство получается только, если точки $G$ и $H$ совпадают.

В нашем случае сторона ромба $AB$ параллельна $EF$ , а точка $H$ на прямой $AB$ , для которой $EH = FH$ , лежит на стороне ромба. Сумма расстояний от любой другой точки ромба до точек $E$ и $F$ больше $EH + FH$ . Остается найти $EF$ и расстояние между прямыми $EF$ и $AB$ . Применяя теорему Пифагора, получаем $√ ------ √-- EF = 16+36= 2 13$ . Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой $AB$ до начала координат, поэтому