Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .09 ПВГ 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34201

Решите неравенство

√---- √ ----7 ( sin x+ cosx) > 1

Источники: ПВГ-2017, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Найдем ОДЗ выражения и поймем, что если число больше 1, то оно и в 7 степени больше 1. Значит, можем без проблем взять корень седьмой степени от левой и правой части.

Подсказка 2

Задумаемся над тем, что если число от нуля до единицы, то при возведении его в любую натуральную степень оно становится только меньше, чем было до этого. Отсюда следует, что sin(x) > sin²(x), так же и с косинусом.

Подсказка 3

Да, из корня синуса получив синус, а из синуса - квадрат синуса, сделав аналогично с косинусом, мы сделали оценку на выражение слева, и оно почти всегда больше единицы. Остается понять, в каких точках достигается равенство и их исключить :)

Показать ответ и решение

Функция $y(t)=t7$ монотонно возрастает, поэтому условие эквивалентно

√ ---- √---- sinx+ cosx> 1

Первое решение.

√---- √ ---- 2 2 sinx + cosx> sin x+ cosx

√sinx⋅(1 − sin x⋅√sinx)+ √cosx-⋅(1− cosx ⋅√cosx)> 0

В силу области значений синуса и косинуса оба слагаемых в левой части неотрицательны, причём равны нулю тогда и только тогда, когда синус или косинус обращаются в ноль. Остальные значения $x$ , при которых левая часть неравенства определена, подходят. То есть по тригонометрической окружности нам подходит первая четверть, где значения синуса и косинуса положительны.

Второе решение.

Будем рассматривать только $x∈ [0,π2]$ , равенство достигается на границах. Заметим, что для произвольного $t∈ (0,1)$ выполнено

t2 =t⋅t< 1⋅t= t

Но тогда при $x∈ (0,π2)$ (где синус и косинус не принимают значения $0,1$ ) выполнено

√ ---- √---- √ ---2 √----2 2 2 sinx+ cosx > ( sinx) +( cosx) = sinx +cosx> sin x+ cos x= 1

То есть для всех точек, кроме граничных, неравенство выполнено.

Ответ:

$(2πn;π+ 2πn), n ∈ℤ 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38867

Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В ней находится $280$ кусочков сахара, каждый из которых — кубик размером $1× 1×1$ см. Найдите площадь полной поверхности коробки, если известно, что длина каждой из её сторон меньше $10$ см.

Источники: ПВГ-2017, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас 280 - это объем. То есть перемножение длины, высоты и ширины. Давайте посмотрим, как оно раскладывается!

Подсказка 2!

2) Да, осталось выяснить, почему у нас только один вариант для разбиения множителей на длину, ширину и высоту. (Используем, что они меньше 10)

Показать ответ и решение

Объём коробки равен $280 =23⋅5⋅7$ кубических сантиметров. Из разложения легко видеть, что подойдут стороны $5,7,8,$ для которых площадь равна $2⋅(5⋅7+5 ⋅8+ 7⋅8)= 262$ см $2 .$ Докажем, что длины именно такие. Одна из них кратна $5,$ но меньше $10,$ то есть должна быть равна $5,$ аналогично вторая равна $7,$ а третья неизбежно равна $8.$

Ответ:

$262$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39648

На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольный треугольник с катетами, равными $7$ клеткам (катеты идут по линиям сетки). Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество треугольников можно найти на этом рисунке?

Источники: ПВГ-2017, 6.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на картинку. Понятно, что раз обводили только по линиям сетки, то и треугольники будут с гипотенузой на нашей исходной и с углом 45 градусов. Теперь подумаем, а как тогда задаются такие треугольники?

Подсказка 2

Верно, посмотрим на отрезки гипотенузы равные √2, их семь штук. Когда выберем какой-то такой отрезок, то и получится наш треугольник. Осталось тогда только понять, сколько таких отрезков различной длины будет?

Подсказка 3

Верно, единичных отрезков будет 7, длины 2 – 6 и так далее, осталось только сложить их.

Показать ответ и решение

Заметим, что треугольники здесь будут только прямоугольные с углом $45∘$ . Кроме того, их гипотенуза лежит на гипотенузе изначального треугольника, поскольку все остальные отрезки проходят только по линиям сетки. Заметим также, что положением гипотенузы задаётся весь треугольник, потому достаточно посчитать количество различных отрезков с концами в целых точках на отрезке длины $7$ (так получится, если уменьшить всю гипотенузу в $√- 2$ раз). Длины $1$ отрезков будет $7$ , длины $2$ — $6$ ,.. длины $7$ — $1$ . Итого имеем $7+ 6+ ...+ 1= 28$ различных треугольников.

Ответ:

$28$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64109

Решите уравнение

2 2 --12-- ctg x− tg x= cos2x

Источники: ПВГ-2017, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте слева и справа получим дробь.

Подсказка 2

На ОДЗ можем умножить на знаменатели, не равные нулю.

Показать ответ и решение

Запишем тангенс и котангенс по определению и приведём к общему знаменателю:

cos4x-− sin4x -12-- cos2x⋅sin2x = cos2x

На ОДЗ уравнение равносильно

cos2x⋅(cos2x− sin2x)⋅(cos2x +sin2x)= 12cos2xsin2x

2 2 cos(2x)= 3sin (2x)

√- ctg(2x)=± 3

2x= ±π + πk,k∈ ℤ 6

x= ±-π + πk ,k ∈ℤ 12 2

Теперь проверим, что все значения входят в ОДЗ $cosx⁄= 0,sinx⁄= 0,cos2x⁄= 0.$

Ответ:

$±-π+ πn, n∈ ℤ 12 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69993

Решите неравенство

ln(x2−2x) ln(π−3) (π − 3) ≤(2− x)

Источники: ПВГ-2017, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что правая и левая часть очень похожи скобочками. Какое свойство логарифма можно применить, чтобы сделать их еще более похожими?

Подсказка 2

a^(log_b{c})=c^(log_b{a}). После этого мы можем перейти к неравенству логарифмов, которое несложно решить)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ 2− x> 0 { x< 2 2 ⇐⇒ ⇐ ⇒ x <0 x − 2x> 0 x< 0

Вспомним свойство логарифма:

logcb logab a = c

На ОДЗ неравенство равносильно

(π − 3)ln(x2−2x) ≤(π− 3)ln(2−x)

И так как $0< π− 3 <1$ , неравенство на ОДЗ равносильно

ln(x2− 2x)≥ln(2 − x)

Что в свою очередь равносильно

x2− 2x ≥2 − x

x2− x− 2≥ 0

x ∈(−∞; −1]∪[2; +∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(−∞; − 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#79927

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BL.$ Найдите площадь треугольника $ABM$ , если площадь треугольника $ABL$ равна $10.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересный случай: биссектриса чему-то перпендикулярна. Что можно сказать о треугольнике, в котором она проведена?

Подсказка 2

Треугольник ABM равнобедренный! Давайте тогда отметим AB=BM=MC=x. А как использовать то, что BL — биссектриса?

Подсказка 3

AL/LC=AB/BC. А что тогда можно сказать про связь площадей ABM и ACM, ABL и BCL?

Подсказка 4

Площади ABM и ACM равны, а площадь ABL в 2 раза меньше площади BCL. Используем же это для поиска нужного отношения!

Показать ответ и решение

$PIC$

Биссектриса треугольника $ABM$ служит его высотой, поэтому $AB =$ $BM = MC ≡ x,$ а также $AL :LC =AB :BC = 1:2,$ откуда $AL = y$ и $CL= 2y.$ Далее, имеем

SABM-= -SACM- = -x⋅3y-= 3 SABL SBCL∕2 2x ⋅2y∕2 2

3 SABM = 2 ⋅10= 15

Ответ: 15

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#79928

В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведёна высота $CK$ . Периметр треугольника $ABC$ равен 13, а периметр треугольника $BCK$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ACK.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Высота проведена из прямого угла. Что есть приятного в этой конструкции?

Подсказка 2

Например, есть пары равных углов. А что нам могут дать равные углы?

Подсказка 3

Подобные треугольники! А как относятся друг к другу периметры подобных треугольников?

Подсказка 4

Что ещё полезного есть в прямоугольном треугольнике?

Подсказка 5

Можно ли воспользоваться теоремой Пифагора?

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольники $ABC$ , $ACK$ и $CBK$ подобны. Периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны:

PACK-= AC-,PCBK-= CB-. PABC AB PABC AB

По теореме Пифагора

(AC)2+ (CB)2= 1, (AB)2 (AB)2

откуда

PC2BK + P2AKC = P2ABC.

Поэтому $PAKC = 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#87800

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть первый член — b, знаменатель — q. Выпишите условие в данных терминах.

Подсказка 2

Получим 2 возможных значения для b. А каким может быть q?

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии равен $b,$ а знаменатель равен $q.$ Тогда по условию $bq =3$ и $b+ bq+bq2 = 13.$ Отсюда $q = b 3$ и

2 9 b+ bq+ bq =b +3+ b =13

b2 − 10b+9 =0

Получается, либо $b= 1$ , либо $b= 9.$ Но если $b= 1,$ то $3 q = b = 3> 1,$ что противоречит тому, что прогрессия убывающая.Значит, $b= 9,$ а $1 q =3.$ Итак, сумма прогрессии равна

b 2 S = 1−-q = 9:3 = 13,5

Ответ:

$13,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90122

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых неравенство

alog3x+ log1∕2x >1

имеет решения, причем среди решений нет больших $1.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выглядит немного громоздко, поэтому давайте попробуем преобразовать её. Вспомним формулу перехода к новому основанию и вынесем общую часть.

Подсказка 2

Один из множителей содержит скобку a - log₂3. Давайте разберём три случая для значений a, когда эта скобка равна нулю, меньше или больше нуля, и решим задачу.

Показать ответ и решение

С использованием формулы перехода получаем

log3x ⋅(a− log23)> 1

Если $a= log 3 2$ , то решений нет.

Если $a> log 3 2$ , то решение

a−lo1g-3 x >3 2 > 1

Если $a< log23$ , то решение

0< x< 3a−1log23-<1

Ответ:

$(−∞;log 3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90891

Между пунктами $A$ и $B$ с постоянной скоростью курсирует один автобус (время на остановки пренебрежимо мало). Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист и за время пути строго между этими пунктами ровно 5 раз поравнялся с автобусом. В каких пределах может находиться скорость автобуса при этих условиях?

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим время пути велосипедиста за t. Чему тогда равен весь путь между остановками? Можно ли оценить расстояние, которое должен проехать автобус, чтобы встретиться с велосипедистом 5 раз?

Подсказка 2

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Тогда можно оценить количество пройденных им остановок, и, следовательно, и весь путь через t!

Подсказка 3

Может ли путь автобуса принимать значение 33t? Есть ли ограничение сверху? Достигается ли верхняя граница?

Подсказка 4

Расстояние, пройденное автобусом, больше 33t и не больше 77t! Не забудьте про пример ;)

Показать ответ и решение

Пусть время пути велосипедиста равно $t$ часов, тогда расстояние между остановками равно $11t$ км.

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Получается, автобус ехал от одной остановки до другой минимум 5 раз, а значит, он побывал на остановках минимум 4 раза, то есть расстояние, которое он проехал, не меньше $33t$ км.

Предположим, что расстояние, которое проехал автобус за время движения велосипедиста, равно $33t.$

Пусть во время начала движения велосипедиста автобус был на расстоянии $k$ км от остановки, в сторону которой ехал, где $0≤ k< 11t.$ Тогда сначала автобус проехал $k$ км до следующей остановки, за это время он встретил велосипедиста максимум 1 раз. Затем он развернулся и проехал $11t$ км до другой остановки, по пути встретив велосипедиста ровно 1 раз. Далее он ещё раз развернулся и проехал $11t$ км, так же встретив велосипедиста ровно 1 раз. Наконец, автобус развернулся последний раз и до окончания движения велосипедиста проехал ещё $(11t− k)$ км, встретив велосипедиста не более одного раза за это время. Всего получается, что автобус встретил велосипедиста не более четырёх раз, что не равно пяти.

Получили противоречие, а значит, автобус проехал строго больше $33t$ км.

С другой стороны, автобус не мог посетить остановки больше шести раз, так как между двумя остановками он точно встречает велосипедиста. Отсюда расстояние, которое проехал автобус, не больше $77t$ км.

При этом $77t$ км достигается, если автобус выехал из пункта $A$ одновременно с велосипедистом. В таком случае, велосипедист за время пути ровно 5 раз поравнялся с автобусом строго между остановками и 2 раза встретился с автобусом на остановках.

Если скорость автобуса не меньше 66 и не больше 77, то ровно 5 встреч с велосипедистом строго между остановками достигаются, если автобус и велосипедист одновременно отъехали от пункта $A.$

А если скорость автобуса больше 33, но меньше 66, то 5 встреч достигаются, если автобус подъезжал к пункту $A,$ когда велосипедист начал движение между остановками.

Значит, скорость автобуса находится в пределах $(33;77]$ километров в час.

Ответ:

$(33;77]$ км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90894

Две бригады рабочих выполнили одинаковую работу. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на пять человек больше, то она могла бы закончить работу на два часа раньше. Найдите число рабочих в бригадах, если производительности всех рабочих одинаковы.

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в первой группе было x рабочих, во второй — y, а всего работы — S. Выпишите условие в данных терминах.

Подсказка 2

Выразите и подставьте S.

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что x и y — натуральные числа.

Показать ответ и решение

Пусть в первой группе $x$ рабочих, во второй $y$ , а всего работы $S$ . Тогда по условию нам дано.

S S x-+0.5= y-

--S- +2 = S x +5 x

Из второго уравнения следует, что

Sx+ 2x(x +5)= Sx+ 5S

S = 2x(x+-5) 5

Тогда первое уравнение превращается в

2(x-+5)+ 0.5= 2x(x+-5) 5 5y

4(x+ 5)+5 = 4x(x+-5) y

4x(x+ 5) 5x y = 4(x+-5)+5-= x− 4(x+-5)+5-

$y$ должен быть целым, поэтому $4(x5+x5)+5-$ целое. Если $4(x5+x5)+5-= 1$ , то $x= 25$ , если $4(x+5x5)+5 ≥ 2$ , то $5x ≥8(x+ 5)+10$ . Значит единственный ответ $x= 25$ и $y =24.$

Ответ: 25 в первой и 24 во второй

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91251

Продолжение биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника в точке $E.$ Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $BC = a,∠BAC = α,AE = d.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть одна из сторон, поэтому будем искать АН, высоту к этой стороне. Давайте будем ее искать через AD и косинус HAD

Подсказка 2

Давайте обозначим за О центр окружности и воспользуемся теоремой синусов для ABC, чтобы выразить радиус

Подсказка 3

А теперь вспомним, что АЕ - биссектриса. Посмотрите внимательно на вписанные углы, отметьте равные и поищите подобные треугольники. А затем из отношения сторон подобных треугольников выразите DE через то, что нам дано в условии (снова пригодится теорема синусов, но уже для ABE)

Подсказка 4

Пользуясь найденным в предыдущем пункте, ищем AD

Подсказка 5

AD найдена, теперь ищем косинус. Проведем диаметр EF и будем искать косинус острого угла прямоугольного треугольника (подумайте, почему угол HAD = DEF). Теперь мы нашли AD и косинус угла HAD, осталось только записать площадь!

Показать ответ и решение

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC,φ= ∠DAH$ , тогда $AH = AD cosφ$ и площадь треугольника $ABC$ равна

1 1 2BC ⋅AH = 2BC ⋅AD cosφ

Пусть $O$ — центр описанной окружности радиуса $R.$ По теореме синусов для треугольника $ABC$ :

a 2R = sinα-

$PIC$

Треугольники $DBE$ и $ABE$ подобны, так как имеют общий угол с вершиной в точке $E,$ а углы $∠CBE$ и $∠EAB$ равны как опирающиеся на равные дуги, ибо $AE$ — биссектриса $∠BAC,$ следовательно,

AE-= BE- BE DE

DE = BE2- AE

По теореме синусов для треугольника $ABE$ получаем

α- BE = 2Rsin 2

Значит,

4R2sin2 α DE = ---d---2

Отсюда

AD = AE − DE = d− 4R2sin2-α2= d2−-4R2sin2 α2 d d

Пусть $EF$ — диаметр описанной окружности, тогда $EF = 2R$ и $EF$ перпендикулярен $BC,$ ибо $E$ — середина дуги $BEC.$ Так как $EF$ и $AH$ перпендикулярны $BC$ , то они параллельны и $φ= ∠DAH = ∠AEF,$ а так как угол $∠EAF$ опирается на диаметр, то

AE- d-- cosφ = EF = 2R

Значит,

2 2 2 α 2 2 2 α AH = AD cosφ = d-⋅ d-− 4R-sin-2= d-−-4R-sin-2- 2R d 2R

В итоге площадь треугольника $ABC$ равна

a(d2− 4R2sin2 α ) a (d2− -a22-sin2 α) 12BC ⋅AH = 12 ⋅-----2R-----2-= 12 ⋅-----sinaα----2- = sinα

= 1tg α(4d2cos2 α-− a2) 4 2 2

Ответ:

$1 ⋅tg α⋅(4d2cos2 α-− a2) 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#96611

Написаны $2017$ чисел. Известно, что сумма квадратов любых $7$ из них равна $7,$ сумма любых $11$ из них положительна, а сумма всех $2017$ чисел делится на $9.$ Найдите эти числа.