Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .07 ПВГ 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31197

Решите систему уравнений

{ 2cosx +cos2 y− cos2xsin2y = 1; 4cosx − 2cos2x− sin3y = 3.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Пока выглядит страшно. Давайте попробуем сделать выражение покрасивее и одно, а не два. Домножим первое уравнение на 2, вычтем его из второго.

Подсказка 2.

Пока выглядит страшно до сих пор, вспоминаем, что мы знаем про косинусы и синусы в квадрате - тригонометрическое тождество. В этой задаче оно нам пригодится в таком виде = (1- cos²(x)) = sin²(x). Давайте используя это преобразуем 2sin²(y)cos^2(x), ведь его трудно оценивать.

Подсказка 3.

А теперь наша цель все же сделать оценку! Для этого давайте перенесем направо что-то, чтобы правая часть точно была неотрицательной. Например, sin³(y). Если все правильно, у нас получится такое:

Показать ответ и решение

Первое решение.

При $t= cosx$ второе уравнение приобретает вид

2 3 4t− 2t = 3+ sin y

Правая часть этого уравнения не меньше двух, а левая не больше двух, так как $4t− 2t2 = 2− 2(1− t)2,$ поэтому равенство может достигаться только при $3 +sin3y =2,2− 2(1− t)2 = 2$ , что эквивалентно системе

{ cosx =1 sin3y = −1

равносильной

{ x= 2πn,n ∈ℤ y = − π +2πk,k∈ℤ 2

При подстановке убеждаемся, что эти значения $x$ и $y$ удовлетворяют ещё и первому уравнению системы.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Домножим на 2 первое уравнение системы:

{ 4cosx +2cos2 y− 2cos2xsin2y = 2; 4cosx − 2cos2 x− sin3y = 3.

Вычтем первое уравнение из второго

−2cos2x− sin3y− 2cos2y+ 2cos2x sin2y = 1

Применим основное тригонометрическое тождество

−2cos2x− 2cos2y +2cos2x(1− cos2y)= 1+sin3 y

В итоге так как получается, что

0≥ −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y ≥ 0,

то должно выполняться

0= −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y = 0,

что равносильно

{ cosy = 0 1+ sin3y = 0

Подставляя в исходную систему $π y =− 2 + 2πk∈ℤ,$ находим $x =2πn,n∈ ℤ.$

Ответ:

$(2πn,− π +2πk);n,k ∈ℤ 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31219

Некоторое четырёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $4983.$ Какие числа складывали?

Источники: ПВГ-2015, 8.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите изначальное и конечное число, приведя подобные. Посмотрите на сумму по модулю 10, что вы можете сказать?

Подсказка 2

Действительно, сумма первой и последней цифры имеет остаток 3 при делении на 10. Но может ли оно быть больше 10?

Подсказка 3

Нет, не может. Значит сумма первой и последней цифры равна 3. Но ведь тогда сумма двух оставшихся цифр равна…

Подсказка 4

Равна 18. Сумма двух цифр равна 18? О чем это говорит? Как только ответите на этот вопрос-останется небольшой перебор значений первой цифры и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Пусть число было $abcd.$ Тогда $abcd-+dcba= 4983.$ Заметим, что $a+ d< 10,$ потому что иначе сумма была бы пятизначной, поэтому из последнего разряда $a +d= 3.$ Теперь посмотрим на $b+c$ — такая сумма была во втором и третьем разрядах, но цифры там разные, поэтому $b+c =18> 10,$ откуда сразу же $b=c =9.$

Мы получили необходимые условия, но они же будут и достаточными, осталось сказать, что $a > 0,$ тогда возможны случаи $a= 1$ и $a =2$ (при $a= 3$ получим $d= 0,$ тогда не получится число с теми же цифрами в обратном порядке, потому что развёрнутое число должно будет записываться с незначащим нулём), откуда и получаем ответ.

Ответ:

$1992$ , $2991$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32377

Решите уравнение

cos4x-− 6cos2-2x-+8cos2-x √6x−-x2−-5 = 0.

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что аргументы косинусов в числителе являются степенями двойки. Это значит, что через какой-то из косинусов можно выразить все остальное. Подумайте, через какой из косинусов это удобнее всего выражать и сделайте это(очевидный плюс того, чтобы выразить все через что-то одно - это то, что потом можно будет сделать замену и это станет обычным уравнением).

Подсказка 2

Действительно, все можно выразить либо через cos^2(x), либо(что почти тоже самое из-за формулы двойного угла) через cos(2x). Поскольку квадратное уравнение решать легче, чем биквадратное, то выразим все через cos(2x) и получим, что выражение сверху это -4cos^2(2x)+4cos(2x)+3=0. Осталось найти корни этого и выбрать из них только те, что подходят под ОДЗ.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель

2 2 2 2 cos4x− 6cos2x+ 8cosx =2cos 2x − 1 − 6cos2x +4cos2x +4 =0

Решая квадратное уравнение, получаем $cos2x = 3,− 1 2 2$ , то есть $x = ±π +πn 3$ .

Осталось учесть ОДЗ: $x∈ (1,5)$ , отсюда из положительных корней подходят только первые $3$ : $π,2π,4π 3 3 3$ .

Ответ:

${π;2π;4π} 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32859

При каждом значении $a$ решите уравнение

|x− 1|+ |x+ 1|+|x− 2|+ |x +2|+ |x− 3|+ |x+3|+ ...+ +|x− 2015|+|x+2015|+2x2+ 2a2+ 40302− 8060x − 8060a =4030x.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение на первый взгляд выглядит страшно, обычные действия из неравенств с модулями делать не хочется. Ещё и вопрос такой неприятный: решить при каждом значении a. Не раскрывать же модули! В общем, нужно подумать про какие-то нестандартные методы. Среди таких есть метод оценки, который часто используется в уравнениях с модулями, так как есть неравенства |a| + |b| >= |a + b| и |a| >= a.

Подсказка 2

Попробуем найти оценку. Заметим, что если сложить все подмодульные выражения слева, то получится 4030x. А это как раз то, что стоит справа! Мы же знаем, что сумма модулей не меньше, чем сумма подмодульных выражений, то есть уже получили некоторую оценку. Но ещё ведь есть лишние слагаемые без модулей, может, и их можно оценить?

Подсказка 3

Большое количество квадратов намекает на мысль, что здесь можно поискать квадраты суммы или разности. И они есть! Убедитесь, что слагаемые без модулей слева можно записать как 2(a - 2015)^2 + 2(x - 2015)^2. Теперь дело за малым. Слева выражение не меньше, чем справа, но нам нужно равенство. Тогда во всех неравенствах должно достигаться равенство, то есть квадраты должны быть равны нулю и сумма модулей должна быть равна сумме подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Так как $|A|+ |B |≥|A+ B|$ , то

|x− 1|+|x+1|+ |x− 2|+|x+ 2|+ ...+ |x− 2015|+ |x+ 2015|≥ 2◟|x|+2|x|+◝◜...+-2|x|◞= 2015⋅2|x|= 4030|x| 2015раз

Заметим также, что

2 2 2 2 2 2x +2a + 4030 − 8060x− 8060a= 2(x− 2015) +2(a− 2015)

Следовательно, левая часть равенства

|x − 1|+|x+ 1|+ |x − 2|+ |x+ 2|+...|x− 2015|+|x+ 2015|+ + 2x2+2a2+ 40302− 8060x− 8060a≥ 4030|x|+ 2(x− 2015)2+ 2(a − 2015)2 ≥ 4030|x|

Таким образом, левая часть равна $4030x$ , если

(|| (x − 1)(x +1)≥ 0 ||||| ||||| (x − 2)(x +2)≥ 0 |||{ ... ({ | (x − 2015)(x+ 2015)≥ 0 ⇔ (x = 2015 ||||| 2(x− 2015)2 = 0 a =2015 ||||| 2 ||||( 2(a− 2015) = 0 x≥ 0

Тогда при $a= 2015$ решением уравнения является $x= 2015$ , а при $a⁄= 2015$ уравнение не имеет решений.

Ответ:

$a = =⇒ x= 2015,$

при других значениях $a$ решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44155

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, которые встретились $2$ февраля в $12:00.$ Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл $3$ февраля в $04:00$ в пункт $B$ , а другой прибыл $3$ февраля в $13 :00$ в пункт $A$ .

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Задачи с датами и временем часто пытаются запутать, давайте попробуем достать из условия то, что мы знаем. После встречи один из автобусов ехал 16 часов, а второй - 25. А время, которое они ехали до встречи мы не знаем, но оно одинаковое! Попробуйте составить уравнение.

Подсказка 2!

2) Верно, мы можем сказать, что 16/t = t/25. (так как каждый из автобусов либо от А до встречи либо от В до стречи проехал за t, а оставшуюся часть за 16 или 25).

Показать ответ и решение

Первый после встречи ехал ещё $16$ часов, а второй — $25$ . Пусть до встречи они ехали $t$ часов, тогда $25= -t t 16$ , как отношение их скоростей (для каждого из двух участков, время езды каждого по которым мы знаем), отсюда $t= 20$ часам и выехали автобусы $1$ февраля в $16:00.$

Ответ:

$1$ февраля, $16:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44158

Для перевозки $60$ тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки $120$ тонн песка оказалось необходимо на $5$ рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Начнем составлять уравнение! Пусть у нас грузоподъемность это t, а рейсов в первом случае (перевозка 60 тонн) будет k. Запишите тогда, что мы исходя из этого можем понять про t и k?

Подсказка 2!

2) Вот что: t(k-1) < 60 <= t(k), так как у нас не хватило k-1 рейса, а k рейсов хватило! Попробуйте теперь записать аналогичное условие для второго случая перевозки 120 тонн.

Подсказка 3!

3) Теперь давайте разделим оба уравнения на t! И попробуем понять, каким может быть в таком случае).

Показать ответ и решение

Пусть грузоподъёмность равна $t$ (тонн/рейсов), а для перевозки $60$ тонн понадобилось сделать $k$ рейсов, тогда в тоннах имеем

{ t(k − 1)< 60≤ tk { 2(k− 1) <2⋅ 60 ≤2k ⇐⇒ 120 t t(k +4)< 120 ≤t(k+5) k +4 < t ≤ k+ 5

Отсюда также выполнены неравенства

{ 2(k− 1)< 120≤ k+5 { 2(k− 1)<k +5 k+ 4< 120t≤ 2k =⇒ k +4 <2k ⇐ ⇒ 4 <k <7 t

При $k= 5$

{ 4t<60≤ 5t [ 40) 9t<120≤ 10t ⇐ ⇒ t∈ 12, 3

При $k= 6$

{ [ ) 5t< 60 ≤6t ⇐ ⇒ t∈ 120,12 10t<120≤ 11t 11

Ответ:

$[120;40) 11 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#48590

Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее $2015$ , такое, что при умножении на $5$ сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.

Источники: ПВГ-2015, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче фигурирует число и сумма его цифр. Что мы можем сказать про эти два значения? Если мы знаем, что задача на теорию чисел, то что мы хотим чаще всего сделать?

Подсказка 2

В задаче на теорию чисел мы очень часто хотим рассмотреть некоторое значение по модулю чего-то. Но учитывая, что здесь есть сумма цифр, то мы сразу вспоминаем признак равноостаточности для числа 9. Значит хотим рассмотреть выражение по модулю 9. Нам сказано, что сумма цифр не меняется при умножении числа на 5. Значит, и остаток не меняется :)

Подсказка 3

Да, это значит что 5n=n(mod 9), где n-наше число. Значит 4n=0(mod9) => n=0(mod9). Значит, наше число точно делится на 9. Ну и поскольку нас просят найти наибольшее число, то и перебор (если мы хотим так решать) нужно делать сверху. Осталось его сделать!

Показать ответ и решение

Попробуем найти такое число среди тех, что больше $2000$ . Поскольку сумма цифр не меняется, то не меняется и остаток числа по модулю $9$ , но при этом он умножается на $5$ , то есть для первоначального остатка $d$ имеем

d≡9 5d ⇐⇒ 4d ≡9 0 ⇐ ⇒ d ≡9 0

То есть такое число обязано быть кратно $9$ . Среди больших $2000$ такое ровно одно $2007$ — оно подходит: $2007 ⋅5 =10035$ . Оценка же следует из того, что следующее кратно $9$ число уже $2016> 2015$ .

Ответ:

$2007$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48743

Сравните $∘|8√3−-16|− ∘8√3-+16$ и наименьший корень уравнения $4x2 +21x+ 17 =0.$

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте найдём корни квадратного уравнения! Меньший из них равен -17/4. Попробуем найти, чему равно выражение слева!

Подсказка 2

Так, очень много корней… А давайте посмотрим на квадрат разности двух корней, что про него можно сказать?

Подсказка 3

Да, квадрат разности корней равен 16, тогда сама разность по модулю равна 4. А чему именно она равна?

Подсказка 4

Поскольку первый корень меньше второго, то само выражение отрицательно! Поэтому оно равно -4. Осталось только сравнить!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни $− 1$ и $− 17 4$ (сумма этих двух чисел равна $− 21 4$ , а произведение $17 4$ , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как $8⋅8⋅3< 16⋅16(3< 2⋅2),$ то $√ - √- |8 3− 16|= 16 − 8 3.$ Это число меньше, чем $√- 16+ 8 3,$ поэтому $∘ -√------ ∘ -√----- √-- c= |8 3 − 16|− 8 3+ 16= − c2.$

Посчитаем квадрат разности корней

√- √- ∘ -----√-------√-- √ ------- c2 =16− 8 3+ 8 3+ 16− 2 (16 − 8 3)(16+ 8 3)= 32− 2 256− 192= 16

В итоге сама разность корней $c =−4$ и она больше, чем наименьший корень уравнения $17 − 4-$ .

Ответ:

$∘ |8√3-− 16|− ∘8-√3+-16$ больше, чем наименьший корень уравнения $4x2+ 21x +17= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#51634

Боковые рёбра $SA,$ $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $√- 5$ от ребра $SA,$ на расстоянии $√-- 13$ от ребра $SB$ и на расстоянии $√-- 10$ от ребра $SC.$ Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?

Источники: ПВГ-2015 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала надо поработать с расстояниями от D до ребер, которые даны по условию. Удобнее всего будет работать через расстояния от D до боковых плоскостей, их можно вычислить.

Подсказка 2

В этой задаче нельзя не ввести координаты. Пусть основанием будет точка S. Угадайте, какие прямые будут осями?

Подсказка 3

Чтобы оценить объём, в данном случае нужно оценить произведение боковых рёбер. Чтобы получить про них какую-то информацию, поработайте с уравнением плоскости основания. На ней лежат целых четыре точки с красивыми координатами.

Показать ответ и решение

Опустим перпендикуляры $DD ,DD ,DD 1 2 3$ из точки $D$ на плоскости $SBC$ $SAC$ и $SAB$ соответственно. Обозначим $DD = x. 1$ $DD2 = y,$ $DD3 =z.$ Согласно условию составим систему уравнений

( 2 2 |{ y2 +z2= 5 |( x2 +z2= 13 x +y = 10

Отсюда находим $x= 3,$ $y = 1,$ $z = 2.$ Обозначим длины рёбер $SA,$ $SB$ и $SC$ через $a,b$ и $c$ соответственно.

$PIC$

Лемма: $3 1 2 a + b + c = 1.$

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке $S$ как на рисунке. Запишем уравнение плоскости $ABC.$

A1x+ B1y+ C1z+ D= 0

Так как плоскость не проходит через начало координат, то $D ⁄= 0.$ Значит, можно поделить на $− D.$ Получим:

Ax+ By+ Cz =1

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты $A,$ $B,$ $C.$ Итого получим, что $A = 1, a$ $B = 1, b$ $C = 1. c$ А значит уравнение плоскости

x + y+ z= 1 a b c

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки $D,$ получим $3a + 1b + 2c =1.$ Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

------ --- 3a+1b+2c-≥ 3∘ 3⋅ 1⋅ 2 = 3∘-6-⇐⇒ abc≥ 6⋅27 ⇐ ⇒31= (3+ a1+b2c)3 ≥ 6a⋅2b7c⇐⇒ abc≥ 6⋅27 a b c abc

причём равенство имеет место при $3 = 1 = 2= 1. a b c 3$ Объём пирамиды $V = abc, 6$ поэтому $V ≥27.$ Равенство имеет место при $a= 9,$ $b= 3,$ $c= 6.$

Ответ:

$27$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63699

Две арифметические прогрессии содержат по $2015$ членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно $4.$ Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно $2.$ Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

По традиции при виде сумм арифметической прогрессии используем формулу суммы. Для начала попробуйте аккуратно записать все условия (отношения членов и отношения сумм), приравнять равные 4 отношения членов, и уже после этого подумать, как получить желаемое!

Показать ответ и решение

Пусть это $a ,a +d ,...a +2014d ,a,a + d,...a + 2014d . 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2$ Запишем то, что дано по условию

a1+-2014d1 a2+-2014d2 a2 = a1 = 4

{ a1+ 2014d1 = 4a2 a2+ 2014d2 = 4a1

{ 2014d1 =4a2− a1 2014d2 =4a1− a2

Далее напишем условия на суммы

2a1+2014d1 2a2+-2014d2 2 ⋅2015= 2 2 ⋅2015

2a1+ 2014d1 = 4a2+ 4028d2

подставим сюда представления для $2014d∗,$ получим

2a1+ 4a2− a1 = 4a2+ 8a1− 2a2

2a2 = 7a1

d1 4a2−-a1- d2 = 4a1− a2 = 26

В качестве примера: $-26- -1- a1 = 2,a2 =7,d1 = 2014,d2 = 2014.$

Ответ:

$26$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64356

Пункты $A$ , $B$ , $C$ расположены последовательно, причём расстояние $AB$ равно 3 км, а расстояние $BC$ равно 4 км. Из пункта $A$ выехал велосипедист и поехал в пункт $C$ . Одновременно с ним из пункта $B$ вышел пешеход и направился в пункт $A$ . Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты $A$ и $C$ одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта $A$ они встретились.

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые и конечные точки у пешехода и велосипедиста разные. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка велосипедиста на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции всего отрезка велосипедиста. А что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

Тогда по условию $XZ =3$ и $TY = 7.$ Из признака подобия $OX-= XZ= 3. OY TY 7$ Отсюда доля пути из $A$ в $C$ , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна $OX- 3- XY = 10$ . Значит, от точки встречи до пункта $A$ расстояние $-3 10 ⋅AC = 2,1.$

Ответ:

2100 метров

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68088

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, давайте подумаем про второе условие, а именно, что суммарный вес различных изделий равен 15! А какое условие должно выполняться, чтобы при сложении некоторых из чисел 1, 2, 3, 5, 10 получить 15?

Подсказка 2

Верно, 10 точно есть в нашей сумме! Иначе сумма будет не больше чем 11. Если одно из чисел равно 10, то чему могут равняться другие в нашем наборе?

Подсказка 3

Да, это либо число 5, либо числа 2 и 3! Но может ли выполняться первое условие, что сумма всех наших чисел равна 100, если числа в наборе только 10 и 5? А если 2, 3, и 10?

Подсказка 4

Поскольку десяток на 5 больше, чем других чисел в наборе, то можно явно составить уравнения. Для первого случая: 5x + 10(x+5) = 100; для второго случая: 2x + 3y + 10(x+y+5)=100. Могут ли оба случая выполняться?

Подсказка 5

Первый случай выполняться не может в силу натуральности x, а второй случай может выполняться, нужно лишь найти нужные x и y, а также показать, что других нет!

Показать ответ и решение

Набор по одному изделию каждого вида общим весом $15$ кг можно составить из этих предметов только двумя способами:

10 кг и 5 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) — на 5 штук больше, т.е. $x +5$ . Получим:
$5x+ 10(x +5)= 100$
$15x= 50$ — не имеет целочисленных решений. Значит этот случай невозможен.
10 кг, 2 кг и 3 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 2 кг, $y$ — количество изделий массой 3 кг. Тогда по условию $x +y+ 5$ — количество изделий массой 10 кг. Получим:
$10(x+y +5)+ 2x +3y =100$
$12x+ 13y =50$
$13y = 50− 12x$ справа разность двух четных чисел, следовательно $y$ может быть только четным и натуральным.
При $y = 2$ имеем:
$26= 50− 12x =⇒ x= 2$ (изделий по 2 кг)
$x +y+ 5= 9$ (изделий по 10 кг).
При $y = 4,6,8$ и т.д. получается $13y >50$ , т.е. решение $y = 2$ — единственное.

Ответ:

$2$ изделия по $2$ кг, $2$ изделия по $3$ кг, $9$ изделий по $10$ кг

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70344

Решите уравнение

( 2)( 2 10) ( 2 6)2 1 +x+ x 1+x +x + ...+ x = 1+ x+x +...+ x

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Скобка (1+x+...xⁿ) кажется очень знакомой, где мы её могли видеть?...

Подсказка 2

Точно! В формула разности n-ых степеней, ведь xⁿ - 1 = (x-1)(xⁿ⁻¹+...+x+1). То есть у нас часть произведения. Что же хочется сделать?...

Подсказка 3

Верно! Хочется дополнить до полного произведения. Домножим обе части на (x-1)(x-1). Что мы имеем теперь?

Подсказка 4

(x¹¹-1)(x³-1) = (x-7)². Осталось немного...

Подсказка 5

Раскройте скобки, приведите подобные и получите красивую штуку! Успехов!

Показать ответ и решение

Вспомним формулы сокращенного умножения. Домножим на $(x− 1)2 ⁄= 0$ , но учтём потом, что $x =1$ не является корнем.

( 2) ( 2 10) 2( 2 6)2 (x− 1)1 +x+ x (x − 1) 1+ x+x +...+ x =(x− 1) 1+ x+ x +...+x

(3 )(11 ) (7 )2 x − 1 x − 1 = x − 1

14 11 3 14 7 x − x − x +1 =x − 2x +1

x11+ x3− 2x7 =0

$x= 0$ — корень. Поделим на $x3 ⁄= 0$

x8 − 2x4+ 1= 0

( )2 x4− 1 =0 ⇐ ⇒ x =±1

$x= 1$ — посторонний корень

Ответ:

${−1;0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#77219

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение: есть в нем какие-то элементы, на которые стоит обратить внимание?

Подсказка 2

Что особенного в модуле и x²? Может быть, они смогут как-то сократить количество х, которые нужно рассмотреть?

Подсказка 3

Какие значения х достаточно рассмотреть, если у нас есть четные функции слева и справа?

Подсказка 4

Раз решаем уравнение, то что стоит записать?

Подсказка 5

Так как взяли для рассмотрения только x≥0, то что можно сделать на ОДЗ?

Подсказка 6

После раскрытия модуля останутся два выражения с корнем. Что обычно делаем в таком случае?

Подсказка 7

Да, стоит возвести в квадрат. Но что можно сделать, чтобы эта операция прошла проще, чем если возводить части уравнения в текущем виде?

Подсказка 8

Перенесли +х вправо, чтобы упростить конструкцию, и возвели в квадрат. Но корень все еще остался. Что можно сделать, чтобы избавиться от него окончательно?

Подсказка 9

Да, снова оставить корень с одной стороны, а все остальное перенести в другую. Можно бы было, конечно, после этого честно раскрывать квадраты, но решать уравнения четвертой степени явно не хочется. Может быть, заметите что-то общее между левой и правой частью?

Подсказка 10

Может быть, в выражении справа можно сделать какое-то преобразование, чтобы вышло похоже на выражение слева? И стоит вспомнить, что сумму трех элементов можно представить, как сумму двух.

Подсказка 11

x⁴ + x² = x²(x² + 1). Можно ли с помощью этого как-то объединить левую и правую часть в одно выражение?

Подсказка 12

(a+1)² - 4a = 0. Ничего не напоминает?

Подсказка 13

Выразили как квадрат разности, и теперь осталось простое биквадратное уравнение.

Подсказка 14

Не забудьте, что мы рассматривали только часть допустимых х!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим

±(x∘1-− x2+ x)≤ 1⋅∘1+-x2

Равенство достигается, если вектора пропорциональны(косинус угла между ними равен $1$ ), то есть

√----- -1−-x2= x x 1

∘1-−-x2 = x2

√- x2 =-5−-1 2

Ответ:

$±∘ √5−1- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#83271

На доске написаны числа $1,2,...,2015$ . Над ними последовательно проделывают 2014 операций, причём $n$ -я по счёту операция состоит в следующем: произвольные числа $a$ и $b$ (из написанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное $ab∕n$ . Что останется на доске в конце?

Источники: ПВГ - 2015, Ставрополь, 11.2 (pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как только выбор значений становится абсолютно случаен, что обычно приходит на помощь?

Подсказка 2

Конечно, инвариант! Вместо a и b появляется ab/n. Сама операция намекает на то, что можно рассмотреть.

Подсказка 3

Да, нам нужно именно произведение чисел. Как оно изменяется после каждой операции?

Подсказка 4

Можно рассмотреть первые 2-3 операции и составить гипотезу.

Подсказка 5

Каждый раз произведение изменяется в определенное количество раз. Как же это можно доказать?

Подсказка 6

Отличной идеей будет доказать это в общем виде для k+1-ой операции — каким станет произведение после нее?

Подсказка 7

Осталось найти произведение после 2014 операции. Сколько чисел осталось на доске?

Показать ответ и решение

Заметим, что произведение после применения $k$ операций равно $2015!. k!$ Действительно, в начале произведение равно $2015!.$ После применения первой операции оно равно $2015! 1 ,$ так как два числа были стерты, а вместо них было написано $ab 1 .$

Пусть на $k−$ ом шаге произведение чисел равно $2015! k! .$ Тогда на $(k+ 1)−$ ом шаге произведение некоторые числа $c,$ $d$ становятся равны $ck+d1.$ Произведение всех чисел, кроме $c$ и $d,$ не изменилось, и оно равно $2015! k!⋅cd.$ Тогда новое произведение равно произведению всех чисел, к которым операция не применялась и нового числа $ckd+1$

2015!⋅--cd- = -2015!- k!⋅cd k +1 (k +1)!

Всего до того, как останется одно число, сделано $2014$ шагов, поэтому в конце будет

2015! 2014! = 2015

Ответ: 2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85028

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ -2------- ∘ -------2- x − 1 + x − 4x +3+ 2x +3 − x ≥ 2

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы видите страшное неравенство и не знаете, что делать, не спешите сразу что-то преобразовывать. Вероятно, стоит выполнить действие, самое стандартное при решении неравенств, которое точно лишним не будет.

Подсказка 2

Первое правило решение неравенств: видишь неравенство — выписываешь ОДЗ. Вдруг она как-то поможет?

Подсказка 3

Второе правило решения неравенств: смотришь на неравенство и думаешь, а можно ли его как-то упростить на ОДЗ?

Подсказка 4

Подходит ли точка, всегда можно проверить с помощью её подстановки в исходное неравенство :)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 − 1≥ 0 ||{ 2 || x − 4x+ 3≥ 0 |( 2x +3− x2 ≥ 0

( ||{ x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ ) | x∈ (−∞; 1]∪ [3;+∞ ) |( x∈ [−1;3]

x∈ {− 1;1;3}

Подставим получившиеся значения $x$

$x =− 1.$ Тогда
$√- 0+ 8+ 0≥ 2$
Значит, $x = −1$ подходит.
$x =1.$ Тогда
$0+ 0+2 ≥2$
Значит, $x = 1$ подходит.
$x =3.$ Тогда
$√ - 8+0+ 0≥ 2$
Значит, $x = 3$ подходит.

В итоге $x∈ {− 1;1;3}.$

Ответ:

${−1;1;3}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#85309

Решите систему уравнений

{ 2sinx +sin2y − sin2xcos2y = 1; 2cos2x +4sin x− cos3y = 5.

Источники: ПВГ - 2015, Брянск, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие свойства чаще всего приходят на ум при взгляде на синусы и косинусы?

Подсказка 2

Четность/нечётность, даже ОТТ, но может быть, есть что-то более простое, но не всегда очевидно?

Подсказка 3

Конечно, ограниченность в промежутке от -1 до 1! Посмотрите внимательно, может быть, ее удастся как-то применить?

Подсказка 4

Сверху у на 1, а снизу число 5. С каким числом будет проще работать через ограниченность значений? Или, как вариант, можно смотреть на то, где выражения попроще для анализа.

Подсказка 5

Во втором уравнении и слагаемые попроще, и присутствует число большое 5. Можно ли его как-то преобразовать для анализа?

Подсказка 6

Тут есть целых два слагаемых, зависящих от х. Может быть, можно как-то связать их?

Подсказка 7

Есть синус в первой и косинус в квадрате, можно ли как-то свести все к одинаковой тригонометрической функции?

Подсказка 8

ОТТ — наш лучший друг. Можно ли теперь как-то еще преобразовать наше выражение, чтобы количество частей с х максимально сократилось?

Подсказка 9

Обратите внимание: есть sin²(x) и sin(x). Точно не выйдет их как-то объединить?

Подсказка 10

Сумму выражений от двух переменных анализировать неприятно, что можно сделать, чтобы сократить количество переменных в выражении слева?

Подсказка 11

Слева получилось выражение с квадратом от синуса х, а справа — куб косинуса у. Какие значения могут принимать выражения слева и справа?

Подсказка 12

Какие значения должны принимать выражения слева и справа, чтобы вышло их приравнять хоть при каких-то х и у?

Подсказка 13

Слева будет максимальное значение, а справа — минимальное. Осталось найти синус х и косинус у!

Подсказка 14

Зная синус и косинус, находим х и у. Нужно ли решать первое уравнение системы?

Подсказка 15

Не забывайте, что определить, подходит что-то или нет, можно через подстановку значений.

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы

2 3 2− 2sin x+ 4sinx= 5+ cos y

2 3 2(− (sinx − 1) + 2)= 5+ cos y

Квадратичная функция $y = 2(− (t− 1)2+ 2)$ принимает в точке $t= 1$ наибольшее значение, равное $4$ . То есть левая часть неравенства не превосходит $4$ , а правая часть $5+cos3 y ≥5 − 1 =4$ . Значит равенство возможно только в случае

{ 5 +cos3y =4 2(−(sinx− 1)2 +2)= 4

{ cosy = −1 sin x= 1

{ y = π+ 2πk, k∈ℤ x= π2 +2πk, k ∈ℤ

При всех таких значениях $(x,y)$ в первом уравнении исходной системы имеем $2+ 0− 1 ⋅1 =1$ тождество, поэтому полученные пары — решения системы.

Ответ:

$(π∕2+2πn;π+ 2πk),n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#107092

Плоскость проходит через точку $K,$ лежащую на ребре $SA$ пирамиды $SABC,$ делит биссектрису $SD$ грани $SAB$ и медиану $SE$ грани $SAC$ пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если $SK :KA =SA :SB = 2?$

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, как относятся объёмы пирамид с общим трёхгранным углом. Отношения каких сторон нам нужно найти для нахождения отношения объёмов?

Подсказка 2

Итак, нам нужно ввести обозначения для точек пересечения плоскости и ребер SB и SC, пусть это L и M. Хотим получить отношения SK/SA, SL/SB, SM/SC. Как мы можем их найти?

Подсказка 3

SK/SA легко находится из условия, SM/SC по теореме Менелая в два этапа (в двух треугольниках), SL/SB ищется из теоремы о биссектрисе и также теоремы Менелая.

Подсказка 4

Теорему Менелая применяем сначала для треугольников ASE и SAC, потом для треугольников ASD и SAB.

Показать ответ и решение

Пусть $L$ и $M$ — точки, в которых плоскость пересекает ребра $SB$ и $SC,$ соответственно.

$PIC$

Тогда по теореме об отношении объемов пирамид с общим трехгранным углом

VSKLM SK ⋅SL ⋅SM -VSABC = SA-⋅SB-⋅SC-

Пусть $KM$ пересекает прямую $AC$ в точке $X,$ тогда по теореме Менелая для треугольника $ASE$ и секущей $KX$

1 ⋅1⋅ EX-= 1 2 XA

EX = 2XA

Но $E$ — середина $AC,$ следовательно, $AE =EC = CX.$ Тогда по теореме Менелая для треугольника $SAC$

1⋅ SM ⋅3= 1 =⇒ SM- = 2 =⇒ SM-= 2 2 MC MC 3 SC 5

Пусть $KL$ пересекает прямую $AB$ в точке $Y,$ тогда по теореме Менелая для треугольника $ASD$ и секущей $KY$

1 DY- 2 ⋅1⋅YA = 1

DY =2YA

Но $SD$ — биссектриса $∠ASB,$ следовательно, $AD-= SA= 2, DB SB$ тогда $AY-= 2. YB 5$ Тогда по теореме Менелая для треугольника $SAB$

1 SL- 5 SL- 4 SL- 4 2 ⋅LB ⋅2 = 1 =⇒ LB = 5 =⇒ SB = 9

Значит,

VSKLM SK ⋅SL ⋅SM 2⋅4⋅2 16 VSABC- =-SA⋅SB-⋅SC = 3⋅9⋅5 = 135

Поэтому отношение частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду $ABCD,$ равно $13516−16 = 11619.$

Ответ: 16 : 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#114023

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

−|x−a| ( 2 ) −x2−2x 9 log3√5 x + 2x +3 + 3 log1∕5(2|x − a|+ 2) =0

имеет ровно три различных решения.

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем максимум преобразований по свойствам степеней и логарифмов, чтобы слагаемые приняли более похожий друг на друга вид.

Подсказка 2

После переноса вычитаемого в правую часть в обеих частях равенства будет степень тройки умножаться на логарифм по основанию 5.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, как связаны между собой степень тройки и аргумент логарифма в каждой части.

Подсказка 4

Рассмотрите функцию f(t) = 3ᵗlog₅(t+2).

Подсказка 5

f(t) возрастает, поэтому в обеих частях можно перейти к равенству на t:)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов и степеней уравнение переписывается в виде

−2|x−a| ( 2 ) −(x+1)2+1 3 ⋅3⋅log5 (x+ 1) +2 − 3 log5(2|x− a|+2)= 0

Перенесём вычитаемое направо, поделим обе части на 3 и на обе степени троек:

(x+1)2 ( 2 ) 2|x−a| 3 log5 (x+ 1) +2 = 3 log5(2|x− a|+2)

Пусть $f(t)=3tlog (t+2). 5$ Эта функция монотонно возрастает на всей области определения как произведение возрастающих функций, поэтому

( 2) f (x+ 1) = f(2|x− a|)

2 (x +1) = 2|x− a|

Три решения будут в случае касания для $a= −1∕2,a =− 3∕2$ и в случае когда $a= −1,$ поскольку совпадают вершины параболы $y =(x+ 1)2$ и "уголка" $y = |x+ 1|.$