Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .06 ПВГ 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32856

Решите неравенство

√---- |2 | √ ---- |2 | 9− x⋅|x − 1|≤ 9− x⋅|x − 10x+13|.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ. Теперь хотелось бы убрать корни и работать только с модулями. Для этого можно отдельно подставить x = 9, далее рассматривать x < 9. При таких условиях корень из (9 - x) больше нуля, а значит, на него можно поделить без изменения знака неравенства.

Подсказка 2

Работать с модулями неудобно, особенно когда внутри стоят не линейные функции: нужно сначала определить промежутки знакопостоянства, а затем раскрывать модули в зависимости от промежутка. Но в данном случае нам повезло, в обеих частях стоят по одному модулю, а значит, они неотрицательны. Тогда можно смело возвести в квадрат! Это равносильное преобразование, поэтому после переноса в одну часть по разности квадратов получим одно неравенство вместо системы, если бы раскрывали модули.

Подсказка 3

Решите полученное неравенство с помощью метода интервалов. Не забудьте учесть ограничение!

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $9− x≥ 0$ . При $x =9$ получим верное неравенство $0 ≤0$ , так что это значение $x$ является решением. При $x< 9$ можем сократить на положительный корень без смены знака неравенства и возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны как модули каких-то выражений), после чего воспользоваться формулой разности квадратов:

2 2 2 2 2 2 |x − 1|≤ |x − 10x +13|⇐⇒ (x − 1) ≤ (x − 10x+ 13)

2 (10x− 14)(2x − 10x+12)≤ 0

(5x− 7)(x− 2)(x− 3)≤ 0

x∈(−∞; 7]∪[2;3] 5

Осталось не забыть условие $x< 9$ , а также внести в ответ отдельно рассмотренное значение $x =9$ .

Ответ:

$(−∞; 7]∪ [2;3]∪ {9} 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#39430

Сколькими способами тренер может скомплектовать хоккейную команду, состоящую из одного вратаря, двух защитников и трёх нападающих, если в его распоряжении есть два вратаря, пять защитников и восемь нападающих?

Источники: ПВГ-2014 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поймем, что выбор, к примеру, вратаря, никак не влияет на выбор кого-либо другого(из другой группы) и наоборот. Что это значит? Как нам посчитать кол-во способов набрать одну группу?

Подсказка 2

Это значит, что мы можем выбрать сначала нужное нам кол-во людей из одной группы, потом нужное кол-во из другой, потом из третьей и все это перемножить. Какая формула поможет нам посчитать кол-во способов выбрать, к примеру, трех из восьми нападающих?

Подсказка 3

Конечно, формула числа сочетаний. Осталось посчитать для каждой группы кол-во способов, потом перемножить это и получить ответ.

Показать ответ и решение

Выбор каждого вида игроков осуществляется независимо, поэтому количества способов нужно просто перемножить. Покажем, что число способов выбрать $k$ человек из $n$ подходящих на эту роль равно $k ---n!-- Cn =k!(n−k)!.$

Действительно, сначала рассмотрим все перестановки из $n$ человек (которых $n!$ ), будем брать в команду первых $k$ из них. Тогда нам не важен порядок этих $k$ человек, то есть нужно поделить на $k!$ , а также не важен порядок следующих за ними $n− k$ человек, то есть нужно поделить ещё на $(n− k)!$ . Что здесь означает не важен порядок? Если мы его изменим, то выбранная нами команда не поменяется.

В итоге мы показали, что способов $--n!-- k!⋅(n−k)!.$ Используя эту формулу для всех типов игроков и перемножая результаты, получаем

C12 ⋅C25 ⋅C38 = 2⋅10⋅56 =1120

Ответ: 1120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43623

Заданы $2014$ натуральных чисел. Если выбрать из них любые $100$ чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые $1916$ чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014⋅2013$ ?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте подумать над тем, может ли быть в наборе, скажем 500 нечетных чисел. Или 200? Или 100? А почему может или не может?

Подсказка 2

Понятно, что в наборе не может быть больше 99, так как если их хотя бы 100, то можно выбрать из этого набора вот эти 100 чисел нечетных и получить набор, который не соответствует условию. Попробуйте теперь применить такую же логику и понять сколько максимум может быть четных и как тогда оценить кол-во нечетных(если знаете максимальное кол-во четных).

Подсказка 3

Да! Четных чисел не больше 1915, по тем же рассуждениям. Значит нечетных чисел не меньше 99… Хмм… Сколько тогда нечетных? Какую тогда четность имеет сумма?

Показать ответ и решение

Из первого условия нечётных чисел не более $99$ . Из второго условия чётных чисел не более $1915$ . Поскольку всего чисел $2014= 99 +1915$ , то нечётных должно быть ровно $99$ . Сумма всех чисел это сумма чётных и нечётного числа нечётных, следовательно, она нечётна и не может равняться $2013⋅2014.$

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44152

Решите неравенство

√x − √4 ∘---1--x3--≥1. 1 +x − √x

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала ОДЗ нашего неравенства, чтобы мы могли его преобразовывать. Так, теперь что хочется сделать в первую очередь, видя такое некрасивое неравенство? Попробуйте не испугаться и преобразовать его, приведя числитель и знаменатель к одной дроби.

Подсказка 2

Ага, видим, что у дробей числителя и знаменателя общий знаменатель, который после деления сократится. Далее, перенеся 1 влево и преобразовав, видим в знаменателе и числителе неприятный корень. Давайте упростим себе жизнь! Что с ним можно попробовать сделать?

Подсказка 3

Верно, давайте сделаем замену √(x+1)=t. Тогда х отсюда легко выражается и у нас получается обычное неравенство. Осталось только решить его методом интервалов и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,∘1-+-1− √3 ⁄= 0 x x$ , откуда получаем $x∈(0;8)∪ (8;+∞ ).$

Для решения неравенство домножим числитель и знаменатель на $√ - x:$

x− 4 (x− 4)− (√x+-1− 3) √x+-1−-3 ≥ 1 ⇐⇒ ----√x-+1-− 3----≥ 0

После замены $√ ---- t= x+1$ имеем

2 t-− 2−-t≥ 0 ⇐⇒ (t+1)(t−-2)≥ 0 t− 3 t− 3

По методу интервалов $t∈[−1,2]∪ (3,+∞ )$ , то есть $√x-+1∈ (1;2]∪(3;+ ∞)$ , откуда $x +1 ∈(1;4]∪(9;+∞).$ Решение $(0;3]∪(8;+ ∞)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(0;3]∪(8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44154

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено

300− 37 85 90 8 7 7 (x+ y)⋅-300--= 100x+ 100y ⇐⇒ x⋅300 = y⋅300 ⇐⇒ 8x= 7y ⇐ ⇒ x = 8y

Также мы знаем, что

9 6 6 7 6 10y = 5 + x= 5 + 8y ⇐ ⇒ y = 5 ⋅40= 48,x= 42

Ответ:

$42,48$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#48588

Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в $2014$ году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие два основных случая стоит рассмотреть в этой задаче? Как можно свести ее к перебору, зная что-то про возраст на 2014 год? Как можно оценить возраст, если он равен сумме цифр?

Подсказка 2

Да, можно рассмотреть два случая-если человек родился в 20 веке, и если родился в 21. Что осталось неизвестным? Только последние две цифры рождения. Составьте и решите уравнение, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если какой-то из братьев родился в $---- 19xy$ году, то по условию получаем уравнение $1900+ 10x+ y+ (1 +9+ x+ y)= 2014⇔ 11x+ 2y = 104$ . Поскольку $x$ и $y−$ цифры, то решение этого уравнения единственное: $x= 8,y =8$ .

Если же кто-то из братьев родился в $---- 20xy$ году, то аналогично получаем уравнение $11x +2y = 12$ , откуда $x =0,y = 6$ .

Второе решение.

Начнём с $2000,...2013$ годов. Сопоставим год и сумму цифр вручную


Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013

Сумма цифр	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	3	4	5	6

Возраст к 2014	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

И подходит только $2006$ год рождения. Рассмотрим оставшиеся

Пусть брат родился в $197∗$ или ранее в $20$ -м веке (рассматривать $19$ не имеет смысла, поскольку сумма цифр точно не больше $36$ ). Тогда сумма цифр не больше $26$ , хотя возраст к $2014$ будет больше $30$ .
Брат родился в $198∗$ . Тогда сумма цифр возрастает от $18$ до $27$ , а возраст к $2014$ убывает от $34$ до $25$ . Равенство будет в единственном $1988$ .
Брат родился в $199∗$ год. Аналогично сумма цифр растёт от $19$ до $28$ , а возраст к $2014$ убывает от $24$ до $15$ , в силу разной чётности общих точек не будет.

У нас получилось только два подходящих под описание года, значит, в них братья и родились.

Ответ:

$1988,2006$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63886

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ соответственно равны 3 и $1.$ Биссектриса $BD$ равна $√2.$ Найдите угол $BAC.$

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь золотым свойством биссектрисы.

Подсказка 2

Используйте теорему косинусов для треугольников, связанных с биссектрисой, например таких, как ABD...

Подсказка 3

Из полученной системы выразите сторону AC.

Подсказка 4

А теперь подставив в одно из уравнений, получите значения cos∠BAC. Осталось записать ответ через arccos) Успехов!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы $AD = 3x,CD = x$ для некоторого $x$ . Запишем теоремы косинусов для $△ABC$ и $△ABD$ :

1 =9+ 16x2− 24xcos∠A (1)

2= 9+9x2− 18xcos∠A (2)

3⋅(1)− 4⋅(2): −5= −9+ 12x2

√- x= 1∕ 3

Тогда из (1)

9+ 16− 1 40 cos∠A = -243⋅√1--= 24√3 3

∠BAC = arccos-5√- 3 3

Ответ:

$arccos-5√- 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63897

В треугольной пирамиде $SABC$ рёбра $SA,SB,SC$ не длиннее, чем $3,4$ и $5,$ соответственно, а площади граней $SAB,SAC,SBC$ не меньше, чем $6,15∕2$ и $10,$ соответственно. Найдите объём пирамиды $SABC.$

Источники: ПВГ-2014, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой самый доступный способ отыскать площадь треугольника-грани, когда известны две его стороны? Сразу же напрашивается формула S = 0.5 * a * b * sin(γ). Оценим тогда площадь грани SAB: они никак не больше чем полупроизведение SA * SB * sin(∠ASB), причём синус также может принимать далеко не бесконечно большие значения.

Подсказка 2

Если всё сделано верно, то мы обнаружим, что верхняя и нижняя границы для площади грани SAB совпадают. А значит...?

Подсказка 3

Итак, теперь мы знаем SA, SB и ∠SAB. Проделайте аналогичную процедуру с другими бок. гранями, чтобы найти ещё рёбро и уголочки. Тогда мы узнаем и высоту пирамиды. Осталось подставить всё это в формулу объёма и радоваться результату!

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь боковой грани $SAB$ не меньше $6,$ поэтому

6 ≤ 1⋅SA⋅SB ⋅sin∠ASB ≤ 1⋅3⋅4⋅1= 6. 2 2

Следовательно, $SA= 3,SB = 4,sin∠ASB = 1$ , т.е. $SA$ перпендикулярно $SB$ . Аналогично получаем, что $SC =5$ и $SC$ перпендикулярно $SA$ и $SB$ . Поэтому объём пирамиды равен $1∕6⋅3⋅4⋅5= 10.$

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63899

В правильном тетраэдре $ABCD$ проведено сечение так, что оно проходит через точки $K,L,M$ , лежащие на ребрах $DC,DB, DA$ соответственно. При этом $DK :KC = 1:3,DL :LB = 2:1,DM :MA =1 :1$ . Найдите угол между плоскостями грани $ABC$ и построенного сечения.

Источники: ПВГ-2014, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аккуратно построим картинку. Кажется, тут явным образом никак не построить линейный угол... Будем искать обходные пути: теорема о площади ортогональной проекции нам поможет! Тетраэдр правильный, поэтому высота к грани АВС будет падать в центр правильного △АВС. При помощи подобия треугольников нетрудно определить в каком отношении проекции точек K, L и М поделят радиусы описанной окружности основания.

Подсказка 2

Рассмотрите центр основания и треугольники, полученные соединением этой точки с вершинами треугольника-проекции. Возможно, получится узнать их площади как части площадей треугольников полученных соединением центра основания с вершинами △ABC. Так мы узнаем площадь проекции!

Подсказка 3

Теорема косинусов поможет нам узнать стороны исходной фигуры-сечения. А уж искать площадь треугольника с известными сторонами мы умеем множеством способов! Осталось применить теорему о площади ортогональной проекции и задача убита.

Показать ответ и решение

Примем сторону тетраэдра за $a.$ Угол будем искать через косинус, который равен отношению площади $S 1$ треугольника $K L M − 1 1 1$ проекции треугольника $KLM$ на плоскость основания, к площади $S2$ самого треугольника $KLM$ - сечения.

$PIC$

Площадь проекции $S1$ определяется несложно, так как вершины $K1,L1,M1−$ делят соответствующие радиусы описанной окружности основания (площадь основания $√- S0 =-34 a2$ ) в тех же отношениях что и соответствующие им точки $K,L,M$ делят боковые стороны тетраэдра. Тогда площади треугольников $△K1OL1$ и $△COB,$ $△L1OM1$ и $△BOA,$ $△M1OK1$ и $△AOC$ с общим углом при вершине $O$ относятся, как произведение сторон.

( ) √- S = 1⋅S 1⋅ 2 + 1 ⋅ 2+ 1 ⋅ 1 =-5S = 5-3a2 1 3 0 4 3 2 3 4 2 24 0 96

Стороны сечения будем вычислять по теореме косинусов: $7- KL = 12a,$ $√13 LM = 6 a,$ $√3 MK = 4 a$ . Теперь вычислим площадь сечения. Косинус угла $α$ , лежащего напротив стороны $KL$ равен $-5-- cosα = √156-$ . Тогда $√131 sin α= √156$ . Для площади сечения получим следующий результат

1 √3 √13 √131 √131- S2 = 2 ⋅4-⋅-6-⋅√---a2 =-96-a2 156

Теперь последнее действие: $√- cosγ = S1S2-= 5√1331.$

Ответ:

$arccos√5√3- 131$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67139

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

5xy+ y− 5x =1038

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замечаем, что 5х повторяется - вынесем его за скобку и посмотрим на то, что останется в скобках. Кажется, нам чего-то не хватает, чтобы сделать еще один множитель. Чего?

Подсказка 2

Ну конечно, нам не хватает слева вычесть единичку, тогда вынесется еще и у-1. Мы получили произведение двух натуральных чисел (так как правая часть натуральная), отсюда следует посмотреть на в целом возможные делители правой части. Только им и могут равняться скобки левой части.

Подсказка 3

1037 = 17 * 61 = 1 * 1037. Отсюда получим возможные варианты и просто выберем те, в которых х и у получаются натуральными.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по единице, получим

5xy+ y− 5x − 1 =1037 ⇐⇒ (5x+ 1)(y− 1)= 1037= 17⋅61 =1 ⋅1037

Поскольку мы решаем уравнение в натуральных числах, то обе скобки неотрицательны и принимают натуральные значения. При этом $5x+ 1> 1,$ поэтому возможны только случаи

⌊ 5x+ 1= 17 и y− 1 =61 |⌈ 5x+ 1= 61 и y− 1 =17 5x+ 1= 1037 и y− 1= 1

В первом и третьем случае решений нет, поскольку $x$ получается нецелым. Получаем только решение $(12,18)$ из второго случая.

Ответ:

$(12,18)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#70307

У Игоря Горшкова есть все семь книг про Гарри Поттера. Сколькими способами Игорь может расставить эти семь томов на три различные книжные полки так, чтобы на каждой полке стояла хотя бы одна книга? (Расстановки, которые отличаются порядком книг на полке, считаются различными.)

Источники: ПВГ - 2014, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно было бы для первой полки рассматривать определенный набор книг, потом переходить к другим полкам, но это долго и скучно. Давайте попробуем сначала установить порядок между книгами, а потом посмотреть на их разбиения по полкам!

Подсказка 2

Расставьте книги в ряд, а потом разделите из двумя перегородками: у вас получится 3 непустых множества книг, которые и будут соответствовать распределениям по полкам.

Показать ответ и решение

Сначала определим порядок между книгами, а потом разделим их двумя перегородками на 3 непустых множества (будем рассматривать всевозможные разбиения данного набора книг), например

12|345|67 или 123|45|67 или 1|23|4567

Первое множество положим на первую полку, второе — на вторую, третье — на третью. Расставить книги в ряд можно $7!$ способами, для перегородок между книгами $6$ мест, тогда количество способов расставить две перегородки равно $6⋅5. 2$ Получим

6⋅5 7!⋅ 2 =75600

Ответ: 75600

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#73116

Дана бесконечная числовая последовательность $a,a ,..., 1 2$ о которой известно следующее: $a = 20,a = a a ,n ∈ℕ. 1 n+1 n n+2$ Найдите все значения, которые может принимать $a2014.$

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Формула для n-го элемента содержит предыдущий и последующий, поэтому имеет смысл выразить друг через друга соседние элементы и составить уравнение.

Подсказка 2

Получим, что или произведение членов, стоящих через 2, равно 1, или же произведение рядом стоящих членов равно нулю.

Подсказка 3

Нам известно первое число, поэтому достаточно разобрать два вышеуказанных случая, начиная с первых элементов!

Показать ответ и решение

Запишем это условие для двух последовательных членов

a = a ⋅a ak+1= ak k⋅+a2 =⇒ 1= ak⋅ak+3 или ak+1 = ak+2 = 0 k+2 k+1 k+3

Подставим во втором случае $k =1,$ тогда $ak ⁄= 0,$ откуда $a2 = a3 = 0,$ далее можно подставить $k= 3 =⇒ a4 = 0$ и так далее по индукции. В итоге возможно $a2014 =0.$ В первом случае $a4 = 1-=-1. a1 20$ Перейдём от $a1$ к $a4,$ действуем аналогично, теперь либо $a5 = a6 = ...= 0,$ либо $a7 = 1-. a4$ Совершая такие переходы, приходим к другому возможному значению $a2014 = a1+3⋅671 =-1 = 1. a1 20$ Остальные значения невозможны.

Ответ:

$0, 1 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73597

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых среди решений уравнения

( 4 3 2 ) 3 2 a + 2014a + 2014a + 2014a+ 2013 x= a + 3a − 6a− 8

есть неотрицательные числа.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что при фиксированных а наше уравнение почти всегда линейно относительно x. Тогда давайте для начала посмотрим, когда коэффициент при x будет равняться 0...

Подсказка 2

Для этого нам нужно разложить многочлен от a на множители. Видно, что -1 будет его корнем. После вынесения (a+1) остается множитель a³+2013a²+a+2013. Видно, что (a+2013) можно вынести. Какие тогда корни имеет наш многочлен?

Подсказка 3

Верно, -1 и -2013! Давайте пока что разберемся со случаем a≠-1, -2013. Тогда можно смело поделить обе части на многочлен при x. В итоге справа получается выражение (a³+3a²-6a-8)/(a+1)(a²+1)(a+2013). Хочется понять, когда эта штука меньше 0. Для этого, наверное, придется разложить числитель на множители...

Подсказка 4

Какое совпадение, -1 также является корнем числителя! Попробуйте подобрать остальные корни и разберитесь со случаями -1 и -2013!

Показать ответ и решение

Попробуем разложить $a4+ 2014a3+ 2014a2+ 2014a+ 2013.$ Заметим, что $a= −1$ корень данного выражения, значит, можно вынести $a+ 1.$

(4 3 2 ) 3 2 a + 2014a + 2014a + 2014a+ 2013 = (a+ 1)(a +2013a + a+ 2013).

Второй множитель раскладывается на $(a2 +1)(a+ 2013).$ Тогда

( 4 3 2 ) 2 a +2014a +2014a +2014a +2013 =(a+ 1)(a + 1)(a+ 2013).

Попробуем разложить правую часть:

3 2 3 2 a + 3a − 6a− 8= (a − 8)+3a(a− 2) =(a− 2)(a +5a+ 4)= (a − 2)(a+ 1)(a+ 4).

Таким образом получили уравнение, которые можно анализировать:

(a+ 1)(a2+ 1)(a+2013)x =(a− 2)(a+ 1)(a+ 4).

Разберём случаи:

1) $a= −1$ , то уравнение принимает вид $0 ⋅x = 0.$ Тогда $x$ любой, в частности неотрицательный. $a= −1$ - решение.

2) $a = −2013$ , то уравнение принимает вид $0⋅x= −2015 ⋅2012⋅2009.$ Такое уравнение не имеет корней. Значит, данное значение $a$ не подходит.

3) $a⁄= −1, a⁄= −2013$ , то уравнение можно переписать в таком виде:

x= --(2a− 2)(a-+4)-. (a + 1)(a+2013)

Остаётся найти все те значения a, при которых выполнено неравенство

x= -(a−-2)(a+-4)--≥0. (a2+ 1)(a+ 2013)

По методу интервалов получаем $(−2013;−4]∪[2;+ ∞).$

Объединяя с предыдущими ответами получаем ответ $(−2013;−4]∪{−1}∪ [2;+∞).$

Ответ:

$(−2013;−4]∪{−1}∪ [2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79929

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A1$ и $B1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $∘ 60 .$ Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A1B1O.$

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Несложным счёт углов докажите, что ∠AIB = 90° + ∠BCA/2, где I — инцентр. Какой вывод тогда мы можем сделать?

Подсказка 2

Верно! ∠BCA = 60°. Теперь, мы знаем, что A₁ и B₁ — середины дуг, значит, A₁O ⊥ ...?

Подсказка 3

Несложным счётом углов докажите, что ∠A₁OB₁ = 120°. Осталось найти радиус окружности... Как же это сделать?

Подсказка 4

Мы знаем сторону и угол, который на неё опирается. Дальше дело техники. Успехов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол между биссектрисами равен углу при вершине $C,∠C =$ $60∘.$ Точки $A1$ и $B1$ лежат на перпендикулярах к сторонам треугольника, опущенным из точки $O$ — центра описанной окружности. Отсюда следует, что угол $∠A1OB1 =120∘.$ Радиус окружности можно найти по теореме синусов $√- R= 2sin360∘ = 3.$ Тогда площадь искомого треугольника равна $√-√- √- S = 0,5 3 3 sin120∘ = 343$

Ответ:

$3√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80052

Решите неравенство

loglog x log log x (log5x) 3 2 + (log2x) 3 5 > 2

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь свойствами логарифмов.

Подсказка 2

На самом деле, слева находятся 2 одинаковых слагаемых. К какому неравенству можно перейти?

Подсказка 3

Вспомните про метод рационализации.

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства $x> 1.$ Заметим, что на самом деле по свойству логарифмов слева два одинаковых слагаемых. Действительно, возьмём логарифм в равенстве $log3log2x log3log5x (log5x) =(log2x)$ по основанию $3,$ откуда получим

log log x log log x log3((log5x) 3 2 )= log3log2x⋅log3log5x =log3((log2x) 3 5 )

Откуда получаем, что слагаемые равны, значит, достаточно найти решение неравенства:

log3log2x (log5x) > 1

Для анализа используем свойство: $ab > 1 ⇐ ⇒ (a− 1)⋅b> 0.$

Тогда получается, что

log3log2x (log5x) > 1 ⇐⇒ (log5x − 1)⋅log3log2x> 0

Множители:

$log5x − 1 >0 ⇐⇒ x> 5,$
$log3log2x> 0 ⇐ ⇒ log2x >1 ⇐ ⇒ x> 2.$

Произведение положительно при $x >5$ или $1 <x <2.$

Ответ:

$(1;2)∪ (5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#87802

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b ,b,b,... 1 2 3$ равна 60 , сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1200. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b1$ , а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся формулой суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как же записывается сумма самой прогрессии b₁, b₂, b₃,...?

Подсказка 2

Верно! b₁/(1-q) = 60, где q — знаменатель прогрессии. Что же делать с суммой квадратов этой прогрессии. Чем является эта последовательность?

Подсказка 3

Верно! Тоже бесконечной убывающей геометрической прогрессией с первым членом b₁², и знаменателем q². Тогда её сумма = b₁/(1-q²) = 1200. Теперь подумаем, как можно записать искомую сумму...

Подсказка 4

Верно! Снова с помощью той же формулы. Мы хотим найти b₁/(1+q). Как же это сделать?

Подсказка 5

С помощью полученных до этого равенств. Также не забывайте, что x²-1 = (x-1)(x+1). Успехов!

Показать ответ и решение

Из формул суммы геометричекой прогресии известно

-b1-- 1− q = 60 -b21-- 1− q2 =1200

Разделив второе уравнение на первое получим $1b1+q = 20$ , что является ответом.

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91245

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

(x+1)2- (x2 − 1) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos--2x-

имеет единственное решение.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти симметрию в данном уравнении.

Подсказка 2

Можем ли мы заменить x на 1/x?

Подсказка 3

Воспользуйтесь симметрией косинуса.

Подсказка 4

Корню x соответствует корень 1/x. Тогда, чтобы решение было единственным, каким должен быть x?

Подсказка 5

Не забудьте подставить для проверки найденные a.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= 0$ . Поэтому можем вместо $x$ подставить $1 x$ :

(1+1x)2 ( ( )2 ) 21+(1x)2 +a2− 4= 2acos -1x--− 1 2 ⋅ 1x

Домножив в обеих дробях и числитель, и знаменатель на $2 x$ , получаем:

(x+1)2- ( 2) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos 1-− x 2x

Но это ровно наше исходное уравнение, так как для косинуса верно, что $cos(α)= cos(−α)$

Значит, у нас есть симметрия: если есть корень $x0$ , то есть и корень $-1 x0$ . Тогда единственный корень при $x0 = 1- x0$ , то есть $x0 = ±1$ .

1.

$x =1$

22 +a2− 4= 2a

[ a= 0 a= 2

2.

$x =− 1$

0 2 2 +a − 4= 2a

a2− 2a − 3= 0

[ a= −1 a= 3

Мы получили 4 подозрительных значения для $a$ , осталось проверить каждое из них:

1.

$a =0$

(x+21)2- 2x +1 − 4 =0

2 (x+2-1)- =2 x +1

x2− 2x +1 =0

Получаем единственное решение $x =1$ . Значит, $a =0$ подходит.

2.

$a =2$

(x+12)2 ( x2− 1) 2 x+1 = 4cos -2x--

При $x= −1$ левая функция равна $20$ , а правая $4$ . И если мы найдём ещё один отрицательный $x$ такой, что значение левой функции будет больше, чем значение правой, то из их непрерывности (во всех точках кроме $0$ ) будет следовать, что уравнение имеет ещё один корень. Подберём такое значение. Пусть $x2−1 π 2x = 2$ , отрицательный корень этого уравнения - $π− √π2+4 x = ---2---$ . При подстановке его в уравнение правая функция будет точно положительной, а левая равна $0$ , как мы и искали.

Значит, $a =2$ не подходит.

3.

$a =− 1$

(x+1)2 ( 2 ) 2 x2+1 − 3= −2cos x2−x-1

Будем доказывать аналогичным способом, что и в предыдущем случае. При $x =− 1$ получаем $22 − 3> −2$ . Найдём такой $x$ , что значение правой функции меньше значения левой. Хотим $x2−1 2x = π$ . При $2π+√4π2+4- x= 2$ выполняется желаемое.

4.

$a =3$

( ) 2(xx+21+)21-+5 =6cos x2−-1 2x

Правая часть всегда $≥ 6$ , а левая $≤6$ . Тогда равенство выполняется, только при $(x+1)2 ( ) 2 x2+1 + 5= 6cos x22−x1 = 6$ . Выражая $x$ из $(x+21)2- 2 x+1 +5 =6$ , получаем единственный корень $x =− 1$ . Значит, $a= 3$ подходит.

Ответ: 0; 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92071

Решите уравнение

cos(11x+ π∕4)=sin(17x+ π∕4).

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли получить слева и справа одну тригонометрическую функцию?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для косинуса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно $sin(π∕4− 11x) =sin(17x +π∕4)$ . Откуда либо $π∕4 − 11x= 17x+π∕4+ 2πk,k ∈ℤ$ , либо $π − (π∕4− 11x)=$ $17x+ π∕4+2πn,n∈ ℤ$

Ответ:

$πk∕14,π∕12+ πn∕3,k,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92072

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA ,BB 1 1$ пересекаются в точке $O$ . Известно, что $2⋅AO =7 ⋅OA ,BO = 2⋅OB 1 1$ . Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$ , к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.