Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .03 Физтех 2011

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41317

Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму всех трёхзначных чисел без двух выбранных $x,y :x< y$

999+100 100+ ...+999− x− y = 2 ⋅900− x− y = 450⋅1099− x − y =494550− x− y

Из условия следует, что эта сумма в $770$ раз больше $x$ или $y,$ так что

494550− x− y7≡70 0.

494550 ≡ 210 ≡ x+ y. 770 770

Тогда $x+y ∈{210,980,1750}$ — другие значения невозможны, поскольку оба числа трёхзначные. Разберём эти три случая:

$x +y = 1750,494550− x− y = 640⋅770,$ то есть $x= 640,y = 1110$ — такое невозможно.
$x +y = 980,494550 − x− y = 641⋅770,$ тогда $y = 641,x= 339.$ Здесь наибольшее будет $641.$
$x +y = 210,494550 − x− y = 642⋅770,$ здесь $y = 642$ и $x< 0,$ также невозможно.

Итак, единственным возможным значением будет $641.$

Ответ:

$641$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51338

Найдите все значения параметра $b,$ для каждого из которых существует число $α,$ такое, что уравнение

2 x +(sinα +3cosα)x+b =0

имеет действительное решение.

Источники: Физтех-2011, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

2 (sinα +3cosα) − 4b≥ 0

2 (sin α+ 3cosα) ≥ 4b

Мы хотим чтобы для любого $b$ существовал $α$ , что равносильно

4b≤ max((sinα +3cosα)2)= maxf(α) α α

Используем формулу вспомогательного угла

√--( -1- -3- ) √-- ( -3-) sinα +3cosα= 10 √10sinα + √10cosα = 10sin α+ arcsin√10- =⇒

( ) f(α)= 10sin2 α +arcsin√3- ≤10 и равенство достигается, откуда 10

4b≤ 10 ⇐⇒ b≤ 5 2

Ответ:

$(−∞; 5] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70308

26 солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать 11 из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?

Источники: Физтех - 2011, 10 класс

Показать ответ и решение

Используем метод шаров и перегородок. Шары — не выбранные солдаты, а перегородки — выбранные. При этом перегородки не могут стоять рядом, но могут стоять в начале и конце. Подсчитаем количество способов: первую перегородку между $15$ шарами ставим на любое из $16$ мест, вторую на оставшиеся $15$ мест и так далее, последнюю перегородку ставим на одно из $6$ мест. Так как порядок выбора мест не важен, число способов:

16 ⋅15⋅14⋅...⋅6 -----11!------=4368

Ответ: 4368

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70326

Целые числа $m$ и $n$ таковы, что

4m+ 5n= mn − 9

Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$ .

Показать ответ и решение

Постараемся разложить на скобки:

mn − 4m− 5n− 9= 0

mn− 4m − 5n+ 20= 29

(m − 5)(n − 4)= 29

В правой части простое число, поэтому в левой части целые числа в скобках могут равняться только 1 и 29, либо -1 и -29. Наибольшее значение $m$ достигается при $m − 5 =29 ⇐⇒ m = 34.$