Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам .03 Физтех 2011

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти
Разделы подтемы Физтех - задания по годам
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41317

Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в 770  раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наши числа это x и y. В условии упоминается сумма всех трехзначных без них, получается нужно её записать. Тогда эта сумма делится на 770. Что тогда можно сказать об x + y?

Подсказка 2

Сумма всех чисел без x и это (999+100/2 * 900 - x - y, а т.к. это делится на 770, значит x+y = 210(mod 770). Какой тогда может быть их сумма? Остаётся лишь рассмотреть случаи x+y. Как после этого находить x и y по отдельности?

Подсказка 3

Поделив сумма всех чисел без x и y на 770, найдем x или y, а оттуда проверим, выполняется ли условие!

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму всех трёхзначных чисел без двух выбранных x,y :x< y

                   999+100
100+ ...+999− x− y =   2   ⋅900− x− y = 450⋅1099− x − y =494550− x− y

Из условия следует, что эта сумма в 770  раз больше x  или y,  так что

494550− x− y7≡70 0.

494550 ≡ 210 ≡ x+ y.
     770   770

Тогда x+y ∈{210,980,1750} — другие значения невозможны, поскольку оба числа трёхзначные. Разберём эти три случая:

  • x +y = 1750,494550− x− y = 640⋅770,  то есть x= 640,y = 1110  — такое невозможно.
  • x +y = 980,494550 − x− y = 641⋅770,  тогда y = 641,x= 339.  Здесь наибольшее будет 641.
  • x +y = 210,494550 − x− y = 642⋅770,  здесь y = 642  и x< 0,  также невозможно.

Итак, единственным возможным значением будет 641.

Ответ:

 641

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51338

Найдите все значения параметра b,  для каждого из которых существует число α,  такое, что уравнение

 2
x +(sinα +3cosα)x+b =0

имеет действительное решение.

Источники: Физтех-2011, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

           2
(sinα +3cosα) − 4b≥ 0

           2
(sin α+ 3cosα) ≥ 4b

Мы хотим чтобы для любого b  существовал α  , что равносильно

4b≤ max((sinα +3cosα)2)= maxf(α)
     α                 α

Используем формулу вспомогательного угла

            √--( -1-      -3-    )  √--  (        -3-)
sinα +3cosα=  10  √10sinα + √10cosα =  10sin  α+ arcsin√10-   =⇒

          (           )
f(α)= 10sin2 α +arcsin√3-  ≤10  и равенство достигается, откуда
                    10

4b≤ 10  ⇐⇒   b≤ 5
                2
Ответ:

 (−∞; 5]
     2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70308

26 солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать 11 из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?

Источники: Физтех - 2011, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним один метод, который всегда помогает в сложных комбинаторных ситуациях. Да, я про метод шаров и перегородок. Тогда пусть перегородками будут те солдаты, которых мы выбрали, а остальные будут шарами.

Подсказка 2

Получаем, что перегородки не могут стоять рядом, но могут стоять в начале и в конце. Тогда первую перегородку можно поставить на любое из 16 мест, вторую — на любое из 15 мест и т.д. Уверены, что вы знаете, как посчитать количество способов выставить 11 перегородок!

Показать ответ и решение

Используем метод шаров и перегородок. Шары — не выбранные солдаты, а перегородки — выбранные. При этом перегородки не могут стоять рядом, но могут стоять в начале и конце. Подсчитаем количество способов: первую перегородку между 15  шарами ставим на любое из    16  мест, вторую на оставшиеся 15  мест и так далее, последнюю перегородку ставим на одно из 6  мест. Так как порядок выбора мест не важен, число способов:

16 ⋅15⋅14⋅...⋅6
-----11!------=4368
Ответ: 4368

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70326

Целые числа m  и n  таковы, что

4m+ 5n= mn − 9

Найдите, какое наибольшее значение может принимать m  .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим выражение вида a * mn + b * n + c * m + d, то первым делом нам нужно попробовать его разложить на скобки, добавив некоторую константу к обеим частям уравнения. Попробуйте это сделать, ведь с множителями удобнее работать чем с слагаемыми!

Подсказка 2

Получится (m-5)(n-4)=29. Много ли целых чисел могут давать в произведении 29?

Показать ответ и решение

Первое решение. Постараемся разложить на скобки:

mn − 4m− 5n− 9= 0

mn− 4m − 5n+ 20= 29

(m − 5)(n − 4)= 29

В правой части простое число, поэтому в левой части целые числа в скобках могут равняться только 1 и 29, либо -1 и -29. Наибольшее значение m  достигается при m − 5 =29 ⇐⇒   m = 34.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Запишем равенство в виде

m = 9+-5n =5+ -29- ≤5+ 29= 34
     n− 4     n − 4

Равенство реализуется при n =5.

Ответ: 34
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!