Физтех - задания по годам → .03 Физтех 2011
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в раз больше одного из них. Найдите наибольшее из
этих чисел.
Подсказка 1
Пусть наши числа это x и y. В условии упоминается сумма всех трехзначных без них, получается нужно её записать. Тогда эта сумма делится на 770. Что тогда можно сказать об x + y?
Подсказка 2
Сумма всех чисел без x и это (999+100/2 * 900 - x - y, а т.к. это делится на 770, значит x+y = 210(mod 770). Какой тогда может быть их сумма? Остаётся лишь рассмотреть случаи x+y. Как после этого находить x и y по отдельности?
Подсказка 3
Поделив сумма всех чисел без x и y на 770, найдем x или y, а оттуда проверим, выполняется ли условие!
Посчитаем сумму всех трёхзначных чисел без двух выбранных
Из условия следует, что эта сумма в раз больше
или
так что
Тогда — другие значения невозможны, поскольку оба числа трёхзначные. Разберём эти три
случая:
то есть
— такое невозможно.
тогда
Здесь наибольшее будет
здесь
и
также невозможно.
Итак, единственным возможным значением будет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра для каждого из которых существует число
такое, что уравнение
имеет действительное решение.
Источники:
Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
Мы хотим чтобы для любого существовал
, что равносильно
Используем формулу вспомогательного угла
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
26 солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать 11 из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?
Источники:
Подсказка 1
Давайте вспомним один метод, который всегда помогает в сложных комбинаторных ситуациях. Да, я про метод шаров и перегородок. Тогда пусть перегородками будут те солдаты, которых мы выбрали, а остальные будут шарами.
Подсказка 2
Получаем, что перегородки не могут стоять рядом, но могут стоять в начале и в конце. Тогда первую перегородку можно поставить на любое из 16 мест, вторую — на любое из 15 мест и т.д. Уверены, что вы знаете, как посчитать количество способов выставить 11 перегородок!
Используем метод шаров и перегородок. Шары — не выбранные солдаты, а перегородки — выбранные. При этом перегородки не могут стоять
рядом, но могут стоять в начале и конце. Подсчитаем количество способов: первую перегородку между шарами ставим на любое из
мест, вторую на оставшиеся
мест и так далее, последнюю перегородку ставим на одно из
мест. Так как порядок выбора мест не
важен, число способов:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Целые числа и
таковы, что
Найдите, какое наибольшее значение может принимать .
Подсказка 1
Когда мы видим выражение вида a * mn + b * n + c * m + d, то первым делом нам нужно попробовать его разложить на скобки, добавив некоторую константу к обеим частям уравнения. Попробуйте это сделать, ведь с множителями удобнее работать чем с слагаемыми!
Подсказка 2
Получится (m-5)(n-4)=29. Много ли целых чисел могут давать в произведении 29?
Первое решение. Постараемся разложить на скобки:
В правой части простое число, поэтому в левой части целые числа в скобках могут равняться только 1 и 29, либо -1 и -29. Наибольшее
значение достигается при
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Запишем равенство в виде
Равенство реализуется при