Физтех - задания по годам → .04 Физтех 2012

Если , то в числе может быть любая степень двойки от до , любая степень пятёрки от до , обязательно первая степень тройки для того, чтобы она появилась в и больше никаких простых чисел, так как их нет в числе

Всего получается вариантов составления числа из множителей.

Пусть — данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число через Тогда Таким образом, полученная разность делится на Из промежутка на делятся числа

Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений

имеет целочисленное решение, где — пятизначное число, а — однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить и убедиться, что получающееся значение является пятизначным целым числом.

Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара второму — пара третьему — пара Значит, если в качестве исходных чисел взять то в результате перестановки и вычитания мы получим числа

ОДЗ:

В иоге .

Приведём все логарифмы к основанию за счёт свойств логарифмов:

В итоге .

На олимпиаде задача оценивалась в 5 баллов. Баллы суммируются:

Найдено ОДЗ – 1 балл;

Неравенство сведено к квадратному – 2 балла;

Решено полученное квадратное неравенство – 1 балл;

Полученные решения пересечены с ОДЗ – 1 балл;

Важно: неравносильное преобразование неравенства – 0 баллов за всю задачу.

Введём обозначения: — центр грани середина ребра — центр сферы, описанной около пирамиды (т.е. — центр грани ); — центр сферы, описанной около пирамиды .

(a)  3начит, объём пирамиды составляет две трети объёма призмы.

(b) Сторона равностороннего треугольника равна , следовательно, , как радиус описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольную трапецию . В ней известны стороны и диагональ По теореме Пифагора из треугольника находим, что Опустим из точки перпендикуляр на отрезок . Тогда

(c) Обозначим Тогда

Отрезки и равны как радиусы сферы. Решая получающееся уравнение, находим, что Тогда площадь поверхности призмы

Введём обозначения: — центр меньшей окружности, — центр большей окружности, — радиус меньшей окружности, радиус большей окружности, Рассмотрим прямоугольную трапецию Из точки опустим перпендикуляр на отрезок Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем, что Решая полученные уравнения, находим, что

Сначала разложим красные и зелёные шары. Для этого, не умаляя общности, надо выбрать места из для красных шаров. Между ними (а также слева и справа) остаётся мест, куда можно ставить синие шары. Из этих мест надо выбрать четыре. Итого

Заметим, что ответ “лжец” мог прозвучать только от рыцаря про лжеца, либо от лжеца про рыцаря. Рассмотрим двудольный граф, в одной доле вершины — рыцари, в другой — лжецы. Так как в каждой паре дважды прозвучало “лжец”, имеем , где — число одних, — число других. Не умаляя общности, вчера не было одного из учеников, аналогично получаем . Решив получившуюся систему, получаем .