Физтех - задания по годам → .02 Физтех 2010

Первое уравнение системы можно записать в виде

Второе уравнение системы преобразуется к виду и является уравнением окружности с центром в точке и радиусом . Эта окружность при любом значении проходит через точку и касается прямой Если то окружность лежит ниже прямой и данная система в этом случае имеет единственное решение При окружность вырождается в точку т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение Если же то окружность расположена выше прямой и система кроме решения будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой в том случае, когда окружность касается прямых и Это означает, что система

имеет единственное решение, т. е. уравнение имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так откуда т. е. Так как то получаем

Обозначим Пусть и проекции точки на прямые и соответственно. Пусть — радиус сферы.

Так как — перпендикуляр к плоскости , а то по теореме о трёх перпендикулярах получаем . Аналогично Из равенства прямоугольных треугольников и следует, что Из равенства прямоугольных треугольников и так как получаем, что Тогда Кроме того, из равенств отрезков касательных, проведённых к сфере из точки следует, что Для нахождения и выразим из треугольников и Так как и то где Следовательно, откуда получаем

T. e. Тогда .

Имеем . Пусть . Тогда

Пусть плоскость П пересекается с прямыми и в точках и соответственно.

В плоскости из прямоугольного имеем

Далее из прямоугольного имеем

В плоскости из прямоугольного имеем

Так как перпендикулярно плоскости , то углом между прямой и плоскостью является

Так как

то расстояние от точки до плоскости равно

В плоскости из по теореме косинусов находим

Рассмотрим . Пусть . Тогда по теореме косинусов получаем

Следовательно, , и искомая площадь сечения равна

По формулам

уравнение равносильно

Так как , то получаем

Что равносильно системе

Если , то , причём , т. е. это решения.

Если , то (иначе и равенство нулю невозможно). Поделив на , получим , т. е. . При этом , т. е. это решения.