Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .02 Физтех 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51340

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система уравнений

({|x− 1|+ |x+ 1|− 2y = 0 2 2 ( x +y − 2ay+2a= 1

имеет ровно три различных решения.

Источники: Физтех-2010, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два похожих модуля — явный намёк на графический метод!

Подсказка 2

Второе уравнение даст нам окружность, какие граничные случаи надо рассмотреть?

Подсказка 3

Выясните, при каких a окружность касается каждой из прямых первого уравнения.

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое уравнение системы можно записать в виде

( { 1, |x|≤ 1 y = (|x|, |x|> 1

Второе уравнение системы преобразуется к виду $x2+ (y− a)2 = (a− 1)2$ и является уравнением окружности с центром в точке $(0;a)$ и радиусом $|a− 1|$ . Эта окружность при любом значении $a$ проходит через точку $A (0;1)$ и касается прямой $y =1.$ Если $a <1,$ то окружность лежит ниже прямой $y =1,$ и данная система в этом случае имеет единственное решение $(0;1).$ При $a =1$ окружность вырождается в точку $A,$ т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение $(0;1).$ Если же $a >1,$ то окружность расположена выше прямой $y = 1,$ и система кроме решения $(0;1)$ будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой $x= 0)$ в том случае, когда окружность касается прямых $y = x$ и $y = −x.$ Это означает, что система

{ y =x x2+ (y− a)2 = (a− 1)2

имеет единственное решение, т. е. уравнение $x2+ (x − a)2 = (a − 1)2$ имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так $2x2− 2ax +2a− 1= 0,$ откуда $D = 4a2− 8(2a− 1)= 4(a2− 4a +2)= 0,$ т. е. $a =2± √2.$ Так как $a> 1,$ то получаем $a =2+ √2.$

Ответ:

$2+ √2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51628

Основанием треугольной пирамиды $SABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $8.$ Боковое ребро $SC$ перпендикулярно основанию и имеет длину $15.$ Сфера, центр $O$ которой лежит в плоскости $SBC,$ касается рёбер $SA$ , $AB$ и $AC$ в точках $A1,B1$ и $C1$ соответственно. Найдите $AA1,$ расстояние от точки $O$ до ребра $BC,$ и радиус сферы.

Источники: Физтех-2010, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите проекции О на ребра пирамиды.

Подсказка 2

Примените теорему о трех перпендикулярах и найдите равные прямоугольные треугольники.

Подсказка 3

Какие равные отрезки дает нам сфера?

Подсказка 4

Рассмотрите касательные, проведенные из точки А.

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = 2b =8,SC =h =15.$ Пусть $E$ и $K−$ проекции точки $O$ на прямые $BC$ и $SC$ соответственно. Пусть $OE = x,OA1 = OB1 =OC1 = R$ — радиус сферы.

$PIC$

Так как $OE$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$ , а $OB1 ⊥ AB,$ то по теореме о трёх перпендикулярах получаем $B1E$ $⊥AB$ . Аналогично $C1E ⊥ AC.$ Из равенства прямоугольных треугольников $OB1E$ и $OC1E$ следует, что $B1E = C1E.$ Из равенства прямоугольных треугольников $BB1E$ и $CC1E ($ так как $∠B = ∠C = π3)$ получаем, что $BE = CE =b =4.$ Тогда $√ - B1B = b2 = C1C,C1A= B1A = 32b,B1E = b23.$ Кроме того, из равенств отрезков касательных, проведённых к сфере из точки $A,$ следует, что $AA1 = AB1 = 32b= 6.$

Для нахождения $x$ и $R$ выразим $SO$ из треугольников $SKO$ и $SOA1.$ Так как $OK = CE = b$ и $SK =h − x,$ то $SO2 = (h− x)2+b2 = OA21+SA21,$ где $OA21 = R2 = OE2 +B1E2 = x2 + 34b2,SA1 = SA− AA1 =√h2-+4b2− 32b.$ Следовательно, $(h− x)2+ b2 = x2+ 3b2+ (√h2+-4b2− 3b), 4 2$ откуда получаем

x2 +h2− 2xh+ b2 = x2+ 3b2+ h2+4b2+ 9b2− 3b∘h2-+4b2 4 4

T. e. $x = 3b(√h2+-4b2− 2b)= 12(√15⋅15+-64− 8)= 2(17− 8)= 18. 2h 30 5 5$ Тогда $R =∘x2-+-3b2-=∘ 18⋅18+-3⋅16= 4√39 4 25 4 5$ .

Ответ:

$AA = 6,ρ= 18,R= 4√39 1 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69438

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $ABCD$ равна $√2$ , высота $SO$ равна $2.$ Точка $K$ лежит на высоте $SO$ , причём $KS :KO = 1:3$ . Через точку $K$ проведена плоскость $Π$ , перпендикулярная прямой $SA$ . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $Π$ , расстояние от точки $D$ до плоскости $Π$ и угол между плоскостью $Π$ и прямой $SD$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с поиска угла! Во-первых, давайте найдем, чему равны AO и AS - это можно сделать, исходя из условия, которое нам дано, и воспоминаний о теореме Пифагора. Если плоскость пересекает ребро AS в точке M, а ребро SD в точке P, то задачу можно переформулировать, как поиск угла SPM, а угол SMP мы знаем из перпендикулярности! Тогда как можно найти SPM?

Подсказка 2

SPM = 90 - MSP = 90 - ASD! Но мы знаем что-то про угол ASD - некоторые стороны в треугольнике, где он находится. Тогда мы можем узнать его синус!

Подсказка 3

Расстояние DP = DS - SP, а эти два расстояния попроще искать. DS мы уже знаем, а SP в треугольнике, где мы знаем угол, какие-то стороны можем тоже попробовать найти! Например, чтобы найти SP, попробуйте сначала найти SM и MP, чтобы вычислить расстояние

Подсказка 4

Площадь искомого треугольника можно найти, зная MN, MP и синус угла между ними. Попробуйте найти его, используя теорему косинусов! Для этого нам потребуются PM и PN, а значит надо найит PN (PM искали в прошлом пункте). А PN можно найти из теоремы косинусов в PNS!

Показать ответ и решение

Имеем $AO =1,AS =√5$ . Пусть $2α =∠ASC, 2β = ∠ASD$ . Тогда

1 -2- 1-- 4 3 tgα= 2,cosα= √5,sinα = √5,sin2α= 5,cos2α = 5

sinβ = √1-,cosβ = √-3-,sin 2β = 3,cos2β = 4,tg2β = 3 10 10 5 5 4

Пусть плоскость П пересекается с прямыми $AS,CS$ и $DS$ в точках $M, N$ и $P$ соответственно.

$PIC$

В плоскости $ASC$ из прямоугольного $△KSM$ имеем

1 SM =SK cosα= √5-

Далее из прямоугольного $△NMS$ имеем

SM √5 4 SN = cos2α-= -3 ,MN =SN sin2α = 3√5-

В плоскости $ASD$ из прямоугольного $△P MS$ имеем

√- MP = SM tg2β = √3-,SP =-SM--= -5- 4 5 cos2β 4

Так как $SM$ перпендикулярно плоскости $Π$ , то углом между прямой $SD$ и плоскостью $Π$ является

∠SP M = π− 2β = arcsin 4 2 5

Так как

√- √5- 3√5 DP = SD − SP = 5− -4-= -4-,

то расстояние от точки $D$ до плоскости $Π$ равно

DP sin∠SP M = 3√-- 5

В плоскости $CDS$ из $△PNS$ по теореме косинусов находим

PN2 = 5-+ 5− 5 ⋅ 4=-29- 16 9 6 5 9⋅16

Рассмотрим $△MP N$ . Пусть $∠PMN = φ$ . Тогда по теореме косинусов получаем

-29- = -9--+ 16-− 2cosφ 9 ⋅16 16 ⋅5 9⋅5 5

145- 9⋅9+16⋅16- 9⋅16 = 9⋅16 − 2cosφ

81+256− 145 192 2 cosφ = ---18⋅16----= 18⋅16 = 3

Следовательно, $√5 sinφ = 3-$ , и искомая площадь сечения равна

-1- MP ⋅MN ⋅sin φ= 3√5

Ответ:

Площадь равна $1√-- 35$

Расстояние равно $√3- 5$

Угол равен $4 arcsin5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85177

Решите уравнение

sin7xcosx−-sin5xcos3x cos2x− sin2x =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Итак, на первый взгляд не очень понятно, что делать с произведениями синуса на косинус. А если вспомнить формулу? Да давайте представим неудобное произведение в качестве приятный суммы синусов, может у нас даже что-то сократится. Действительно, sin(6x) сократился. Получаем в числителе sin(2x)4x.

Подсказка 2.

Кажется, мы можем уже дорешать задачу. Однако не спешим. Можно ещё сильнее упростить наше уравнение. Представим cos(4x) как (cos(2x) - sin(2x))(cos(2x) + sin(2x)). Ну, дальше уже сами... Мы получили незамысловатую дробь, числитель который должен равняться 0, а знаменатель не должен.

Показать ответ и решение

По формулам

1 sin 7x cosx= 2(sin8x+ sin6x)

1 sin5xcos3x = 2(sin8x +sin 2x)

уравнение равносильно

-sin6x−-sin2x-= -sin2xcos4x-= 0 2(cos2x− sin2x) cos2x− sin2x

Так как $cos4x= (cos2x− sin2x)(cos2x+ sin2x)$ , то получаем

sin2x⋅(cos2x−-sin2x)(cos2x+sin2x)- cos2x− sin2x =0

Что равносильно системе

{ sin2x(cos2x+ sin2x)=0 cos2x− sin2x⁄= 0

( [ |{ sin2x= 0 |( cos2x+ sin2x= 0 cos2x − sin2x ⁄=0

Если $sin2x= 0$ , то $πn x= 2 ,n ∈ℤ$ , причём $n cos2x− sin2x= (− 1) ⁄= 0$ , т. е. это решения.

Если $cos2x+ sin2x =0$ , то $cos2x⁄= 0$ (иначе $sin 2x =±1$ и равенство нулю невозможно). Поделив на $cos2x$ , получим $tg 2x =− 1$ , т. е. $π πn x= − 8 + 2$ . При этом $cos2x− sin2x= 2cos2x ⁄=0$ , т. е. это решения.

Ответ:

$πn, − π + πn, n∈ ℤ 2 8 2$

Предыдущая подтема

Следующая подтема