Всесиб - задания по годам → .03 Всесиб 2017

По условию первый игрок сыграл партию, поэтому всего было сыграно не менее партии. Из каждых двух партий подряд второй игрок хотя бы в одной должен участвовать, значит, партий было не более Следовательно, была сыграна всего партия, и второй игрок участвовал в каждой из них. В партиях он встречался с первым, а в оставшихся партиях — с третьим. Пример такого турнира: первый игрок встречается со вторым в партиях с чётными номерами, а с третьим – в партиях с нечётными номерами.

 Если ответ угадан и приведѐн пример турнира: 1 балл.

Присутствует замечание, что из каждых двух партий подряд второй игрок хотя бы в одной должен участвовать: 2 балла.

Не приведѐн пример турнира: минус 1 балл.

Предположим противное: что можно представить как сумму натуральных чисел и причём сумма цифр вдвое больше суммы цифр

При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма (если она меньше ), либо их сумма минус (если она больше а единица уходит в следующий разряд). Таким образом, сумма цифр равна сумме цифр плюс сумма цифр минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на

По условию сумма цифр вдвое больше суммы цифр поэтому их общая сумма делится на значит, и сумма цифр должна делиться на — противоречие с тем, что сумма цифр числа равна

Если число меньше но больше то умножением на можно получить число, которое меньше Если число меньше но больше то вычитанием (возможно, два раза) можно получить число между и Таким образом, единственное число, из которого нельзя сделать ход — это

Докажем, что никто получить не мог. Заметим, что исходное число не делится на Если мы умножаем его на или вычитаем из него то новое число снова не делится на

Таким образом, Алексей и Данила могли бы продолжать свою игру вечно и никто не проиграл.