Всесиб - задания по годам → .03 Всесиб 2017
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трое играют в настольный теннис, причём игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось,
что первый игрок сыграл 
партию, а второй 
Сколько партий сыграл третий игрок?
Источники:
По условию первый игрок сыграл 
партию, поэтому всего было сыграно не менее 
партии. Из каждых двух партий подряд второй
игрок хотя бы в одной должен участвовать, значит, партий было не более 
Следовательно, была сыграна всего 
партия, и
второй игрок участвовал в каждой из них. В 
партиях он встречался с первым, а в оставшихся 
партиях — с третьим. Пример
такого турнира: первый игрок встречается со вторым в партиях с чётными номерами, а с третьим – в партиях с нечётными
номерами.
Если ответ угадан и приведѐн пример турнира: 1 балл.
Присутствует замечание, что из каждых двух партий подряд второй игрок хотя бы в одной должен участвовать: 2 балла.
Не приведѐн пример турнира: минус 1 балл.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли представить число 2017 в виде суммы двух натуральных чисел, сумма цифр одного из которых вдвое больше суммы цифр другого?
Источники:
Подсказка 1
На что нам намекает сумма чисел? С каким из известных фактов можно попробовать найти противоречие?
Подсказка 2
Сумма чисел намекает на модуль 3! Число дает такой же остаток по модулю 3, что и его сумма цифр :) Разберем случаи!
Предположим противное: что 
можно представить как сумму натуральных чисел 
и 
причём сумма цифр 
вдвое больше
суммы цифр 
При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма (если она меньше 
), либо их сумма минус 
(если она больше
а единица уходит в следующий разряд). Таким образом, сумма цифр 
равна сумме цифр 
плюс сумма цифр 
минус число
переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на 
По условию сумма цифр 
вдвое больше суммы цифр 
поэтому их общая сумма делится на 
значит, и сумма цифр 
должна делиться на 
— противоречие с тем, что сумма цифр числа 
равна 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Однажды Алексей и Данил играли в такую игру. Если на доске записано некоторое число 
то его можно стереть, а вместо него записать
или 
Проигрывает тот, кто получил число не больше 
или не меньше 
Оба игрока стремятся победить. В какой-то
момент ребята перестали играть. Кто проиграл, если первым числом было 
Подсказка 1
Попробуем понять, из каких чисел нельзя сделать ход. Если, например, число меньше 2000, но больше 1000, то можно его 1 раз умножить на 2 и получить число, между 2000 и 4000. А что можно сделать с числом, которое находится между 2000 и 4000?
Подсказка 2
Верно! Можно два раза вычесть 1000. Из какого числа тогда не получится сделать ход?
Подсказка 3
Конечно, только из числа 2000! А как доказать, что никто не мог получить 2000?
Если число меньше 
но больше 
то умножением на 
можно получить число, которое меньше 
Если число меньше 
но больше 
то вычитанием 
(возможно, два раза) можно получить число между 
и 
Таким образом, единственное
число, из которого нельзя сделать ход — это 
Докажем, что 
никто получить не мог. Заметим, что исходное число не делится на 
Если мы умножаем его на 
или вычитаем
из него 
то новое число снова не делится на 
Таким образом, Алексей и Данила могли бы продолжать свою игру вечно и никто не проиграл.
Никто не проиграл
