Всесиб - задания по годам → .02 Всесиб 2016

Первое решение.

Обозначим От проведения высот нам понадобятся следующие результаты:

Также известно, что угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым, так что

По условию — медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому

Из и следует, что в четырехугольнике противоположные углы в сумме дают значит, он вписанный. А вписанные углы, опирающиеся на дугу равны:

Получаем, что соответственные углы и равны, поэтому прямая параллельна высоте , так что тоже перпендикулярна стороне , что и требовалось.

Второе решение.

Так как , то четырёхугольник — вписанный. Значит, . Так как и высоты, то .

По условию — медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому Отсюда следует, что четырехугольник вписанный.

Отсюда . Мы знаем, что , поэтому четырехугольник вписанный. Значит

Тогда

Кузнечник делает прыжки длиной вдоль оси а длиной — вдоль оси Покажем, что по оси он не сможет попасть в тогда и в начале координат он не окажется. Действительно, рассмотрим остатки прыжков по модулю — это то есть по нулей и двоек. Поскольку двоек нечётное количество, то при любой расстановке знаков получится число, дающее остаток при делении на значит, кузнечик не сможет попасть в и не попадёт в начало координат.

Если бы первый островитянин был рыцарем, то своим ответом он бы солгал, чего не может быть. Следовательно, первый — лжец и всего рыцарей на острове не больше Значит, двадцатый островитянин своим ответом сказал правду, поэтому он рыцарь, в частности, на острове не меньше одного рыцаря. Тогда, если бы второй островитянин оказался рыцарем, их вместе с двадцатым было бы уже два, и он бы солгал, значит, второй — лжец и всего рыцарей не больше Поэтому девятнадцатый сказал правду и он — рыцарь. Продвигаясь так дальше, несложно убедиться, что все островитяне с первого по десятого — лжецы, а все с -ого по -ого — рыцари.

Рассмотрим некоторую команду Поделим все остальные команды на три группы — те, кого команда выиграла, те, кому проиграла, и те, с кем у ничья(группы могут быть пустыми).

Возьмём две команды и из первой группы, если в этой группе не меньше двух команд. Пусть выиграла Тогда в тройке команд и у 6 очков, у 3 очка, а у — 0, что противоречит условию о том, что для любой тройки команд найдутся две команды из этой тройки, набравшие равное число очков в играх с командами из этой тройки. Аналогично, команда не могла победить то есть между и ничья. А так как и выбраны произвольно, то можно сделать вывод, что между любыми двумя командами из первой группы ничья.

Теперь возьмём две команды и из второй группы. Если выиграла то у 0 очков, у 6 очков, а у — 3, что опять же противоречит условию. Таким образом, между любыми двумя командами из второй группы ничья.

Наконец, возьмём две команды и из третьей группы. Если выиграла то у 2 очка, у 4 очка, а у — 1, что невозможно по условию. Получается, между любыми двумя командами из третьей группы ничья.

Разобьём команды на три подгруппы так, чтобы любые две команды из одной подгруппы сыграли между собой вничью: первая подгруппа это те, кого команда выиграла, вторая — те, кому проиграла, и третья — те, с кем сыграла в ничью и сама команда Первая и вторая подгруппы могут быть пустыми, а значит, всего подгрупп не более трёх, и внутри каждой все команды сыграли вничью.