Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Всесиб - задания по годам → .01 Всесиб 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Разделы подтемы Всесиб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38862Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что в любой компании из $13$ человек либо найдётся человек, знающий четырёх других, либо найдутся четверо, попарно не знакомых. Знакомства обоюдны — если А знает Б, то и Б знает А.

Источники: Всесиб-2015, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Хм, какие-то попарные знакомства, это же граф! Давайте посмотрим на условие с таким взглядом. Нам нужно найти вершину степени хотя бы 4...

Подсказка 2!

2) Давайте попробуем идти от противного! То есть мы хотим попробовать из того, что степени всех вершин меньше трех, получить, что тогда есть независимое множество!

Подсказка 3!

3) Может рассмотрим первого человека и посмотрим, сколько тогда с ним незнакомых, поищем независимое множество там..

Показать ответ и решение

Будем говорить в терминах графа — либо найдётся вершина степени хотя бы $4$ , либо независимое множество размера $4$ . Пусть степень каждой вершины не больше $3$ . Выберем человека $A$ , он не знаком хотя бы с $9$ другими, поэтому достаточно найти независимое множество размера $3$ на них. Теперь выберем произвольную вершину $B$ из этих $9$ . Она соединена не более, чем с тремя из них, потому достаточно показать, что среди оставшихся $5$ найдутся две, между которыми нет ребра, что очевидно, поскольку любая из них имеет степень меньше $4$ , то есть в качестве $C$ берём любую из пяти, а в качестве $D$ ту, с которой $C$ не знаком.

Ответ:

что и требовалось доказать

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47237Максимум баллов за задание: 7

Периметр треугольника $ABC$ равен $24$ cм, а отрезок, соединяющий точку пересечения его медиан с точкой пересечения его биссектрис, параллелен стороне $AC$ . Найти длину $AC$ .

Источники: Всесиб-2013, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, нужны дополнительные построения... Даны две параллельные прямые — давайте возьмём и через середину стороны BC проведём третью прямую, параллельную им обеим!

Подсказка 2

Какая теорема помогает считать отношения отрезков, когда дано много параллельных прямых? Верно, теорема Фалеса, именно её и стоит применить. Если к этому знанию мы также добавим основное свойство биссектрисы, мы без труда выразим длину AC через длины оставшихся сторон треугольника, т.е. выразим AC через периметр треугольника.

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Обозначим через $AK$ медиану из вершины $A$ , через $M$ - точку пересечения медиан $ABC$ , через I - точку пересечения его биссектрис $AA1,BB1,CC1$ . Проведём через $K$ прямую параллельно $AC$ , пересекающую биссектрису $BB1$ в точке $P$ - её середине. По теореме Фалеса $PI :IB1 =KM :MA = 1:2,$ поэтому $BI :IB1 = 2:1$ . По свойству биссектрис $AI$ и $CI$ в треугольниках $ABB1$ и $CBB1$ имеем $AB :AB1 = BI :IB1 = CB :CB1 =2 :1$ . Отсюда $AC = 12(AB + BC)= 13(AB +BC + AC)= 8.$

Второе решение.

$PIC$

Пусть $AA2,BB2$ — биссектрисы, $BB1,CC1$ — медианы, $BH$ — высота, $P$ — периметр $△ABC.$ Пусть $I =AA2 ∩BB2,Z = BB1∩ CC1$ , тогда $IZ ∥ AC.$ Отсюда следует

3 ρ(I,AC)= r= ρ(Z,AC ) =⇒ ρ(C1,AC )= 2r

ρ(C1,AC)= 3r =⇒ ρ(B,AC )= BH =2ρ(C1,AC )= 3r 2

Из отношения высот получим

SAIC- -r⋅AC-- 1 SABC = BH ⋅AC = 3

S r ⋅AC AC 1 P SAABICC--=-P-⋅r- =-P- = 3 =⇒ AC = 3-= 8

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91383Максимум баллов за задание: 7

Даны две пересекающиеся окружности радиусов $√2-$ см и $√17$ см, расстояние между центрами которых равно 5 см.

$PIC$

Прямая пересекает эти окружности в точках $A,B,C$ и $D$ так, как это показано на рисунке, причём длины отрезков $AB,BC$ и $CD$ равны. Найти длину этих отрезков.

Подсказки к задаче

Задача 1

Чтобы стало проще жить, введём некоторые обозначения. Пусть 2 * x — величина, которую просят найти по условию задачи, p и q — длины перпендикуляров из центров окружностей к AD. Теперь вспомнив теорему Пифагора, мы можем записать систему из 3 уравнений для нахождения x, p и q.

Задача 2

Подставив два уравнения в третье, мы получаем уравнение на x, которое легко сводится к биквадратному. Осталось его решить!

Показать ответ и решение

Обозначим длины искомых отрезков за $2x$ , отметим центры $P$ и $Q$ окружностей и опустим из них перпендикуляры $P S$ и $QT$ на прямую $AB$ , обозначим их длины за $p$ и $q$ соответственно.