Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Формула единства - задания по годам → .02 Формула единства 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Разделы подтемы Формула единства - задания по годам

Формула единства до 2020

Формула единства 2020

Формула единства 2021

Формула единства 2022

Формула единства 2023

Формула единства 2024

Формулы единства 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39873

На доске написано число $2$ . Двое играют в игру, делая ходы по очереди: каждый из игроков своим ходом может написать на доске любую степень двойки (то есть число вида $k 2 ,k ≥1$ ). Игрок, после хода которого на доске появятся две одинаковые цифры, проигрывает. У кого из игроков (у того, кто начинает, или у его соперника) есть способ выиграть при любой игре другого? Как он должен действовать?

Источники: ФЕ-2020, 8.4 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Тот, кто начинает, может написать число $214 = 16384$ и победить, потому что любая степень двойки оканчивается на цифры $2,4,6,8$ , а все эти цифры уже будут написаны на доске.

Ответ:

У ходящего первым игрока. Он может написать число $16384$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73601

При каком наибольшем $n$ множество ${3,4,5,...n}$ можно так покрасить в синий и красный цвета, чтобы произведение двух любых (в том числе одинаковых) чисел одного цвета имело другой цвет?

Источники: ФЕ-2020, 11.5 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Докажем, что число $35 = 243$ не может быть покрашено. Действительно, пусть $3,$ например, синее, тогда $9 =3⋅3$ красное, $81= 9⋅9$ синее, $243= 3⋅81$ красное. Заметим, что $27$ не может быть ни красным, ни синим: если $27$ красное, то в пример $27⋅9= 243$ входят три красных числа, а если $27$ синее, то в пример $27⋅3= 81$ входят три синих числа.