Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .06 ОММО 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31833

Натуральное $61$ -значное число $A$ записывается только цифрами $2$ , $3$ и $4$ . При этом двоек на $19$ больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$ .

Источники: ОММО-2014, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, чему равен остаток от деления числа на 9.

Подсказка 2

При делении на 9 остаток равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Тогда давайте найдем её.

Подсказка 3

Пускай двоек было x, тогда четверок было x - 19, а троек 61 - 2x + 19 = 80 - 2x. Теперь можно найти сумму цифр и остаток от деления на 9.

Показать ответ и решение

Пусть в числе $a$ двоек, $b$ троек, $a− 19$ четвёрок. Тогда всего цифр $2a +b− 19= 61 ⇐⇒ 2a+ b= 80$ . При делении на $9$ число даёт такой же остаток, какой даёт его сумма цифр, то есть

2⋅a+ 3⋅b+4 ⋅(a− 19)=6a+ 3b− 76 =3⋅80− 76= 164≡9 2

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47135

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$ . Точки $M, N,P$ и $Q−$ середины сторон $AB,BC,CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$ , если $AE = 7$ .

Источники: ОММО-2014, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем отрезок MQ выразить двумя разными способами, чтобы приравнять и вычислить HK. Для этого в вычислениях должен встречаться HK. Попробуйте записать MQ двумя различными способами

Подсказка 2!

Например, как две покрывающие его ломаные, например, MH + HK + KQ. И вторая ломаная, MB + BC + CD + DQ

Подсказка 3!

То есть теперь попробуем выразить все отрезки через AB, BC, CD, DE и отношения с ними, а Hk оставить нетронутым, чтобы выразить!

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем. Выразим $MQ$ двумя способами

MQ = MH + HK + KQ = MB + BC +CD + DQ = AB-+ BC+ CD + DE- (1) 2 2

Распишем более подробно первое равенство

MP- -A2B+-BC-+-CD2- NQ- -B2C+-CD-+-DE2- MH = 2 = 2 ; KQ = 2 = 2

AB 3BC 3CD DE MQ = NH +HK +KQ =-4- +--4-+ --4-+ -4-+ HK (2)

Приравнивая $(1)$ и $(2)$ , имеем

AB + BC +CD + DE AE |AE | 7 HK = --------4--------= -4- =⇒ |HK |= -4--= 4

Ответ:

$7 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47250

Найдите все решения уравнения

2 2 2 (y(x− 1)) +(x− 1) +y + 1− 4y|x− 1|= 0.

Источники: ОММО-2014, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заменим $t= |x − 1|≥ 0$ , а также перепишем уравнение в виде

2 2 (y + 1)(t +1)= 4yt

Как известно $a2+ 1≥2|a|$ , при этом $a2+ 1= 2|a| ⇐⇒ |a|= 1$ , откуда

2 2 4yt= (y + 1)(t + 1)≥ 4|yt|=4t|y|

и равенство достигается тогда и только тогда, когда $|y|=|t|= 1$ , при этом $|y|= y$ , поскольку иначе $4yt⁄=4t|y|$ . Получаем $y =1,|x − 1|= 1 ⇐ ⇒ x ∈{0,2}$ .

Ответ:

$(0;1);(2;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49754

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30∘$ . Основания имеют длины $6$ и $2.$ Найдите высоту трапеции.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти высоту трапеции. Давайте подумаем, как это будет проще всего сделать. Например, если обозначить угол между основанием и диагональю за α, то высота это BD * sinα. А как можно выразить диагональ, зная угол?

Подсказка 2

Ага, так как диагонали перпендикулярны, то образуются прямоугольные треугольники, и все отрезки диагоналей легко выражаются через α. Выходит, что высота это 8cos(α)sin(α). Теперь наша задача найти угол α. Какое дополнительное построение удобно сделать в данном случае, зная угол между боковыми сторонами?

Подсказка 3

Верно, давайте достроим нашу трапецию до параллелограмма. Получается треугольник с углом при вершине в 30 градусов. Заметим, что все его стороны мы можем выразить из прямоугольных треугольников внутри трапеции, используя только угол α. Какой добивающей теоремой теперь можно воспользоваться?

Подсказка 4

Да, воспользуемся теоремой косинусов, потому что все стороны и угол в 30 градусов нам известны. Осталось только аккуратно найти α и выразить высоту. Победа!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть эта трапеция $ABCD, BC = 2,AD =6$ . При этом $AB ∩CD = X,∠AXD =30∘$ , а также $AC ∩BD =O,AC ⊥ BD$ .

Построим $DN ∥AB,N ∈ BC$ , тогда $∠CDN = 30∘$ , $DN = AB$ . Кроме того, из $AD =BN$ получаем $CN =4$ . Введём также $∠ADB =α$ . Используем прямой угол между диагоналями $AO = 6sinα,OD = 6cosα,OC = 2sinα,OB = 2cosα$ . Отсюда $∘ -------------- ∘ --------- ---- CD = 4sin2α+ 36cos2α= 4+ 32sin2α = √4+ t$ , $∘ -------------- ----- AB = DN = 36sin2α+ 4cos2α= √ 36 − t$ ( $t= 32sin2α$ ). Теперь мы готовы написать теорему косинусов для $△CDN$

CD2 + DN2 − 2CD ⋅DN cos∠CDN = CN2

√- 36 − t+ 4+ t− 2∘ (4+-t)(16− t)⋅-3-= 16 2

√ -- (4+ t)(16 − t)= 192 ⇐⇒ t2− 32t+ 48 =0 ⇐ ⇒ t= 16± 4√13- =⇒ sin2α = 4±--13 8

Оба значения подходят, поскольку обозначения в условии симметричны. Не умаляя общности, $∘ 4+√13 sinα= 8$ , откуда $∘ --√-- cosα= 4−813$ . Осталось заметить, что высота трапеции равна $∘ --√-----√--- √- BDsinα= 8cosα sinα= 8 (4−-13)(644+-13)= 3.$

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#58040

В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: “Вы живете в квартале А?”, “Вы живете в квартале Б?”, “Вы живете в квартале В?”, “Вы живете в квартале Г?”. На первый вопрос утвердительно ответило $105$ жителей, на второй — $45$ , на третий — $85$ и на четвёртый — $65.$ В каком квартале лжецов живет больше, чем рыцарей и на сколько?

Источники: ОММО-2014, задача 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем составить уравнения на количество рыцарей и лжецов в каждом квартале. Например, пусть x₁ это количество рыцарей в первом квартале, а у₁ это количество лжецов в нем. И так же сделаем для остальных кварталов. Тогда попробуйте переписать условия по количеству ответов в виде уравнений!

Подсказка 2

У нас должна получиться такие уравнения!

Подсказка 3

Теперь в каждом уравнении встречается xₐ- yₐ. А это как раз то, что нас интересует - разница между лжецами и рыцарями. Давайте сделаем еще одну замену на z₁ = x₁ - y₁ для каждого квартала.

Показать ответ и решение

Первое решение.

На четыре вопроса каждый рыцарь даёт один утвердительный ответ, а лжец — три. Всего было получено $105+ 45 +85+ 65= 300$ утвердительных ответов. Если бы все жители города были рыцарями, в сумме всех утвердительных ответов было бы 200. 100 лишних ответов «да» происходят от вранья лжецов. Таким образом, лжецов $100- 2 =50$ . Пусть в квартале Б живет $k$ рыцарей, тогда $45 − k$ —число утвердительных ответов на второй вопрос, которые дали лжецы. Значит число лжецов, живущих в квартале Б, равно $50− (45− k)= k+5$ . В остальных кварталах число лжецов меньше числа рыцарей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть $xk$ и $yk$ — количества рыцарей и лжецов в $k$ -м квартале из $4$ соответственно, $x$ — рыцарей всего, $y = 200− x$ — лжецов всего. Тогда

( ( ||||{ x1+ y2+y3+ y4 = 105 ||||{ x1+ y− y1 = 105 x2+ y1+y3+ y4 = 45 =⇒ x2+ y− y2 = 45 ||||( x3+ y1+y2+ y4 = 85 ||||( x3+ y− y3 = 85 x4+ y1+y2+ y3 = 65 x4+ y− y4 = 65

Введём обозначения $zk = yk− xk$ — насколько в $k$ квартале больше лжецов, получим

( ||||{ y = 105+ z1 y = 45 +z2 ||||( y = 85 +z3 y = 65 +z4

В итоге наибольшее $zk$ достигается для $k= 2$ . Далее просуммируем уравнения, получим

4y =300+ y− x ⇐⇒ 3y =300− x= 300− 200+ y ⇐⇒ y = 50

Имеем $(z1,z2,z3,z4)= (− 55,5,− 35,−15)$ . Отсюда лжецов больше только во втором квартале на $5$ .

Ответ:

в квартале Б на $5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64568

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA B C D 1 1 1 1$ с рёбрами $AB =3,AD = 4$ и $AA = 5 1$ проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ $A1C$ , и плоскостью, проходящей через диагональ $B1D$ . Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.

Источники: ОММО-2014, номер 10, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте картинку и попробуйте понять: что точно, вне зависимости от положения сечений будет содержаться в искомой сумме? Можем ли мы как-то избежать попадания в эту сумму какой-то части исходного параллелепипеда? А сколько раз туда попадут части наших сечений?

Подсказка 2

Итак, получается, что как бы ни были расположены сечения, их площади дважды войдут в искомые площади поверхностей. Значит надо эти площади максимизировать!

Подсказка 3

Какой фигурой будет являться каждое сечение? Как площади сечений связаны с длинами диагоналей? Исследуйте, где должны быть расположены вершины параллелограмма-сечения, чтобы расстояние до диагонали параллелепипеда было наибольшим.

Подсказка 4

Осталось лишь посчитать все нужные длины, призвав на помощь теорему Пифагора. Будьте внимательны к арифметике и задача окажется убита!

Показать ответ и решение

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед сечениями, равна сумме площади поверхности параллелепипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площадей сечений.

Найдем наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через диагональ $XY$ произвольного параллелепипеда с ребрами $a≤ b≤ c$ . Сечением является параллелограмм $ZXT Y$ , вершины которого лежат на противоположных рёбрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали $XY$ на расстояние от точки $Z$ до $XY$ .

$PIC$

Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали $XY$ . На рисунке видно, что расстояние от точки $Z$ ломаной $ABC$ до точки $Y$ , то есть до диагонали $XY$ , наибольшее, если $Z$ совпадает с одной из вершин $A,B$ или $C$ .

$PIC$

Значит, сечение проходит через одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей

∘----- ∘------ ∘ ------ S1 = a b2+ c2,S2 = b a2+ c2 и S3 =c b2+ a2.

Из условия $a ≤b ≤c$ следует, что, $22 22 2 2 2 2 a b +a c ≤c b +a c$ , и $22 22 22 22 a b+ c b ≤c b+ a c$ . Поэтому $S1 ≤ S3$ и $S2 ≤ S3$ . Значит, наибольшую площадь имеет сечение, проходящее через наибольшее ребро. По условию наибольшую длину имеет ребро $AA1$ , значит, наибольшую площадь $√-2---2 5 4 + 3 = 25$ имеют сечения $AA1C1C$ и $BB1D1D$ .

$PIC$

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна

2(AA1⋅AB + AA1⋅AD +AB ⋅AD )+4 ⋅25= 194.

Ответ: 194

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80511

Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.

Показать доказательство

Пусть даны числа $x ,x,...,x 1 2 2014$ . Тогда

x1x2⋅x35 < 1

xx ⋅x < 1 2 3 36

...

x1981x1982⋅x2014x1 <1

Перемножим все эти неравенства и получится

(x1x2...x2014)34 <1

Тогда

x1x2...x2014 < 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90848

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

|ln |x||= ax

имеет три решения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай $a >0$ . Так как $0≤ |ln|x||=ax$ , то и $x> 0$ и поэтому $|x|= x$ . Построим график функции $y = |lnx|$ . Прямая $y =ax$ должна пересекать этот график в трех точках.

$PIC$

На рисунке видно, что это выполняется тогда и только тогда, когда прямая проходит внутри угла, образованного осью абсцисс и касательной $y = a0x$ к графику функции $y = lnx$ при $x> 1$ .