Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .03 ОММО 2011

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43113

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ , пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$ . Найдите радиус окружности, если $∘ AC = 6,∠AEC = 5∠BAF, ∠ABC = 72$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим, что окружность проходит через какие-то 4 точки, имеет смысл рассматривать эти 4 точки как вершины вписанного четырехугольника. Какие тогда выводы можно сделать об углах? Как связать известный нам угол с углами четырехугольника?

Подсказка 2

AEC = 5α, EAF = α. Тогда можем посчитать обе дуги, которые отсекает известный нам угол ABC, а значит, связать его с α. Чему тогда равен α?

Подсказка 3

5α - α = 72°, а значит, α = 18°. Тогда угол AEC = 90°, тогда центр окружности лежит на AC и мы с легкостью можем узнать радиус по длине AC)

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению $AEF C$ вписан, потому $∠EAF = ∠ECF = α =⇒ ∠AEC =5α$ . По определению угла между секущими $∠ABC =5α− α =72∘ =⇒ α = 18∘ =⇒ ∠AEC = 90∘$ . Осталось применить теорему синусов $R = 2sinA∠CAEC-= 3$ .

Ответ:

$3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64372

Решите уравнение

2|x +2|cosx =x+ 2

Источники: ОММО-2011, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Если $x =− 2$ , то равенство верно, иначе

$x +2> 0$
$1 π 2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐ ⇒ cosx =2 ⇐⇒ x =± 3 + 2πn(n∈ℤ) >− 2$
Подходят $x= ± π+ 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .
$x +2< 0$
$1 2π −2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐⇒ cosx= −2 ⇐⇒ x =± 3-+ 2πn(n ∈ℤ)< −2$
Здесь подойдут $x = 2π-− 2πn,n∈ ℕ 3$ , а также $x= − 2π− 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .

Ответ:

${−2;π;− π;− 2π} ∪{±π +2πn,n∈ ℕ}∪ {± 2π− 2πn,n ∈ℕ} 3 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69857

Одна тетрадь, 3 блокнота и 2 ручки стоят 98 рублей, а 3 тетради и блокнот — на 36 рублей дешевле 5 ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит натуральное число рублей.)

Внесите в ответ через пробелов без знаков препинания, сколько стоят тетрадь, блокнот и ручка (именно в таком порядке).

Источники: ОММО-2011, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым и самым очевидным шагов будет составление системы уравнений. Пусть тетрадь стоит z рублей, блокнот — y рублей, а ручка — z рублей. Подумайте, как в данную систему привести к уравнению, которое можно будет использовать в дальнейшем решении. Не забудьте про дополнительное условие на стоимость тетради, его дали нам не просто так.

Подсказка 2

Достаточно очевидно, что y стоит сохранить, чтобы воспользоваться в дальнейшем его четностью, от z будет сложнее избавиться из-за неудобных коэффициентов. Поэтому избавляемся от x путем домножения на 3 одного из уравнений и сложения его со вторым. И получаем 8y+11z=330. Подумайте, на что должен делиться y и какие значения может принимать.

Подсказка 3

Из уравнения 8y+11z=330 следует, что y обязан делиться на 11. Но при этом стоит отметить, что y > 22 нам не подойдет. Докажите, почему это так, а после найдите остальные переменные.

Показать ответ и решение

Пусть тетрадь стоит $x$ рублей, блокнот — $y$ рублей, а ручка — $z$ рублей. $x, y, z ∈ℕ$ . Составим систему уравнений:

{ x +3y+ 2z = 98 5z− (3x +y)= 36

Домножим первое уравнение на $3$ и сложим со вторым, получим

8y+ 11z =330

Так как $11z и 330$ делятся на $11$ , то $y$ должно делиться на $11$ .

Рассмотрим первое уравнение. Так как $x$ четное по условию и $2z, 98$ — четные, то $3y$ — тоже четное, следовательно $y$ — четное.

Единственным возможным значением $y$ , кратным $22$ , является $22$ (если $y ≥44$ , то первое уравнение не имеет решений, так как переменные натуральные).

Находим остальные переменные: $z = 14, x = 4.$

Ответ: 4 24 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83953

Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за 8 часов. Второй потратил больше 2 часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на 3 часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через 1 час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Источники: ОММО-2011, номер 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это что-то в задаче неизвестное обозначить за переменную. Что в этой задаче идеально подходит на эту роль?

Подсказка 2

Верно, давайте обозначим за x время наладки оборудования. Значит, нам нужно получить какое-то соотношение, чтобы найти это время. Мы понимаем, что второй работал 8 - 3 - x = 5 - x часов. Теперь осталось воспользоваться вторым условием задачи. Если обозначить объём работы за единицу (как обычно в задачах такого рода), то сколько сделает за час второй?

Подсказка 3

Да, он выполнит 1/(5 - x) часть работы. Получается, что для уравнения нам только не хватает понять, сколько к тому времени сделал первый. Но мы ведь знаем, что он уже работал x+1 часов к тому моменту. Тогда как можно найти количество сделанной работы за это время?

Подсказка 4

Верно, давайте просто составим пропорцию. Мы знаем, что за 8 часов первый сделал всю работу, а за x+1 часов неизвестно. Отсюда найти неизвестное количество работы легко. Теперь из условия получается уравнение на x. Какие значения у вас получились? А все ли из них удовлетворяют условию?

Подсказка 5

Ага, по условию сказано, что второй чинил оборудование больше двух часов, поэтому остаётся только один вариант. Теперь мы знаем производительность первого и второго, осталось только посчитать отношение. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — время, потраченное на наладку оборудования. Тогда второй рабочий работал (на оборудовании) $8− 3− x= 5− x$ часов, делая за час столько же, сколько первый за $x+ 1$ час. Следовательно,