Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

ОММО - задания по годам → .02 ОММО 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Разделы подтемы ОММО - задания по годам

ОММО 2009

ОММО 2010

ОММО 2011

ОММО 2012

ОММО 2013

ОММО 2014

ОММО 2015

ОММО 2016

ОММО 2017

ОММО 2018

ОММО 2019

ОММО 2020

ОММО 2021

ОММО 2022

ОММО 2023

ОММО 2024

ОММО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43116

Вершины $K,L,M,N$ четырехугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB,BC,CD, DA$ квадрата $ABCD.$ Найти наименьший возможный периметр четырехугольника $KLMN,$ если $AK = 2$ см, $BK =4$ см и $AN =ND.$

Источники: ОММО-2010, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень часто, когда просят найти наименьший периметр, помогает сводить задачу к неравенству ломаной. Т.е. все нужные нам отрезки "сложить" в одну ломаную. Каким образом это удобнее всего сделать в нашем случае, учитывая, что у нас квадрат?

Подсказка 2

Квадрат удобно отражать и переносить. Осталось лишь подумать, относительно каких сторон это делать, чтобы каждый раз у нас появлялся новый кусочек ломаной, которую хотим создать из нужных отрезков.

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

(везде ниже единицы измерения — сантиметры)

Из первого условия $AB =6 =⇒ AN = ND = 3.$ Сведём задачу к неравенству ломаной. Для этого отразим квадрат относительно $CD$ ( $A → A′,B → B′),$ а затем относительно $BC ′$ ( $D → D ′,A′ → A′′,M → M ′).$ Легко видеть, что $LM = LM ′.$ Далее отразим $N$ относительно $C$ в точку $N′ ∈ D′A ′′.$ Можно считать, что точку $M$ мы ранее также отражали относительно $C,$ потому $M ′N ′ =MN.$ По неравенству ломаной $KN ′ ≤ KL+ LM ′+M ′N′ = PKLMN − NK.$ Отрезок $NK =√32-+22 = √13$ фиксирован, потому достаточно посчитать длину $KN ′$ (нетрудно видеть, что минимум достигается подбором точек $L$ и $M ).$ Используем теорему Пифагора $xKN ′ =6 +3= 9$ (“проекция на $Ox$ ”) и $yKN′ = 4+ 6= 10,$ откуда $KN ′ = √181.$

Второе решение.

Введём систему координат с центром в точке $A,$ ось $Ox$ направим вдоль $AD,$ ось $Oy$ вдоль $AB,$ возьмём за единицу измерения $1$ см. Обозначим координату точки $L$ по оси $x$ за $a,$ координату точки $M$ по оси $y$ — за $b.$ Тогда по теореме Пифагора периметр четырёхугольника $KLMN$ равен

∘a2+-42+ ∘(6−-a)2+-(6− b)2+∘32-+-y2+∘32-+-22

Отметим точки с соответствующими им координатами: $R (a;4),P(6;10− b);Q(9;10).$ По неравенству ломаной

∘-2----2 AR+ RP +P Q≥ AQ = 9 + 10

причём равенство достигается при $x4 = 106−b = 190 =⇒ a= 158 ,b= 103 .$

Итак, минимальный периметр равен $√92-+102+ √32+-22.$

Ответ:

$√13-+√181$ см

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80595

Решите уравнение

f(f(x))=f(x),

где

∘5----3--- f(x) = 3− x − x.

Показать ответ и решение

Уравнение $f(x)= x$ имеет корень $x= 1.$ Этот же корень имеет уравнение $f(f(x)) =f(x).$ Других корней быть не может, поскольку функция $f(x)$ убывает, а $f(f(x))$ — возрастает.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80647

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее:

sin π sin 2π sin(2021π) --23 +--232-+ ...+ --220231-- =

( √- √- √ - √ - ) = -3⋅ 1 +-3⋅-1 +0⋅-1 −--3⋅-1− --3⋅ 1-+ 0⋅ 1 + 2 2 2 22 23 2 24 2 25 26

(√- √- √- √ - ) + -3-⋅ 17 +-3-⋅ 18-+0 ⋅ 19-−-3⋅-110 −-3⋅-111 + 0⋅ 112 + ...+ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2

( √3 1 √3 1 1 √3 1 √3 1 1 ) + 2-⋅ 22011-+ 2-⋅22012 +0 ⋅22013-− 2-⋅22014 − 2-⋅22015 +0⋅ 22016- +

( √- √- √- √- ) + -3-⋅-1--+ -3-⋅-1--+ 0⋅-1--− -3-⋅-1--− -3-⋅-1-- + = 2 22017 2 22018 22019 2 22020 2 22021

√- ( ) √-( ) = -3- 1 +-12 −-14 − 15- + -3- 17 + 18 −-110-− 111 +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

√- √- = -3-(-1--+ --1-− --1- −--1-) + -3( -1--+ -1--− -1--− --1-) = 2 22011 22012 22014 22015 2 22017 22018 22020 22021

21√3-( 1 1 1 1 1 ) = -2-- 25 +211 + ...+ 22009 + 22015 + 22021 =

√- 1-( ( 1-)337) √- 21-3 25-1−--26-----= 21-3(1 − -1--) 2 1− 126 26 − 1 22022

Ответ:

$21√3(1−--1-) 26−1 22022$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91037

В диване живут клопы и блохи. Боря лежит на диване и рассуждает: если клопов станет в несколько раз больше, то всего насекомых будет $2012,$ а если блох станет во столько же раз больше, а число клопов не изменится, то всего насекомых будет $2011.$ Сколько же насекомых живет в диване сейчас?

Показать ответ и решение

Пусть в диване живут $x$ клопов и $y$ блох. Через $n$ обозначим количество, в которое будем увеличивать. Тогда по условию имеем $nx +y = 2012,x+ ny = 2011.$ Если вычесть из второго равенства первое, мы получим $(n− 1)(x− y)= 1.$ То есть $n − 1$ делит $1,$ а значит $n − 1$ равно либо $1,$ либо $− 1.$ Второй вариант нам не подходит, потому что тогда $n= 0.$ Следовательно, $n =2.$ Если сложить равенства, полученные выше, и поделить на $3,$ получим: $x+ y = 1341.$

Ответ:

$1341$

Предыдущая подтема

Следующая подтема