Тема ИТМО (Открытка)

ИТМО - задания по годам → .03 ИТМО 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Разделы подтемы ИТМО - задания по годам

ИТМО 2015 и ранее

ИТМО 2016

ИТМО 2017

ИТМО 2018

ИТМО 2019

ИТМО 2020

ИТМО 2021

ИТМО 2022

ИТМО 2023

ИТМО 2024

ИТМО 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65464

Докажите, что не существует функции $f(x)$ , определённой для всех $x> 1$ , такой, что $f(x2)=2f(x)$ и $f (x + 1)=f(x)+ 3. x$

Источники: ИТМО 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим два уравнения с различными аргументами. Тогда сначала попробуем подставить x² во второе уравнение, а х+1/х в первое из условия и посмотреть, что выйдет. Что тогда можно общего заметить?

Подсказка 2

Верно, x²+1/x² есть в аргументах обоих уравнениях. Тогда можно обозначить его за у, учитывая все ограничения, и выразить f(y) через f(y+2). Получим новое функциональное уравнение. Как теперь можно добиться противоречия, что такой функции нету?

Подсказка 3

Ага, функция не может принимать разные значения в одной точке. Теперь попробуйте подставлять 3 и 5 в получившиеся уравнения и добиться противоречия, что в точке 5 функция принимает различные значения.

Показать доказательство

С одной стороны,

( 2 1-) ( 2) f x + x2 =f x + 3= 2f(x)+ 3

С другой стороны,

( ) (( )2) ( ) f x2+ 2+ 1- = f x+ 1 =2f x+ 1 = 2(f(x)+ 3) =2f(x)+6. x2 x x

Сравнивая эти равенства, получаем, что для любого числа $y$ , представимого в виде $2 -1 x + x2$ при $x> 1$ , то есть для любого $y > 2$ , выполняется равенство $f(y+ 2)= f(y)+3$ . Тогда

( ) 2f(3)= f 32 =f(9)=f(7+ 2)=f(5+ 2)+3= f(3+ 2)+ 6= f(3)+ 9,

откуда $f(3)=9$ . Следовательно, $f(5)=f(3)+3 =12$ . С другой стороны,

2f(5)= f(25)= f(5+ 2⋅10)=f(5)+30,

откуда $f(5)=30⁄= 12$ . Получаем противоречие, значит, такой функции действительно не существует.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68311

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB = 2,BC =8,AC =8.$ Из точки $B$ провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке $D.$ Найдите, чему равно $DI,$ где $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$

Источники: ИТМО-2017, 9.7 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть пересечение биссектрисы с окружностью. Тогда можно сразу применить лемму о трезубце! Т.е. DI = AD. Значит, нам надо посчитать AD. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Нам даны все три стороны треугольника. Возможно, стоит воспользоваться теоремой синусов для каких-то треугольников?

Подсказка 3

Например, мы знаем что угол ADB = углу ABC! И из теоремы синусов для треугольника ADB мы можем получить, что AD выражается через AB и синусы углов ABC/2 и ACB. Дальше просто техника выражения синусов и косинусов из т.косинусов или т.синусов для упрощения вычислений)

Показать ответ и решение

$PIC$

Согласно лемме о трезубце $DI =AD$ , а по теореме синусов в треугольнике $ADB$

AD = AB-sin∠ABD--=---AB---sin∠ ABC-. sin∠ADB sin∠ACB 2

По теореме синусов в треугольнике $ABC$ имеем $sinA∠BACB-= 2RABC = sinA∠CABC-$ , поэтому по формуле синуса двойного угла

--AC-sin∠-AB2C---- ---AC---- AD = 2sin∠AB2C-cos∠ AB2C-= 2cos∠ AB2C-

По формуле косинуса половинного угла

cos2 ∠ABC = 1+cos∠ABC-= 1+-1∕8= 9-, 2 2 2 16

поэтому

--8-- 16 DI = AD = 2⋅3∕4 = 3

Ответ:

$16 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72125

Дана функция $f(x)= P(x)ex$ , где $P(x)$ — многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть $g(x)$ — сороковая производная $f(x)$ . Докажите, что

g(1000) 40 f(1000) < 2 .

Источники: ИТМО 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в задаче дали какое-то большое число - 40, если мы не найдём закономерность, то нам надо будет считать все 40 производных, так давайте попробуем найти её и доказать.

Подсказка 2

Хм, написав первые несколько производных P(x)e^x, получаются какие-то уж больно знакомые коэффициенты, да и сумма количества значков производных тоже знакомая - она совпадает с номером производной, ещё и число такое 2^40, да тут все намёки на ...

Подсказка 3

Своеобразный бином Ньютона!!! Попробуйте доказать этот факт через индукцию.

Подсказка 4

Раз уж мы разгадали главную тайну задачи, то мы примерно понимаем, откуда возьмётся коэффициент

Подсказка 5

Может поможет какая-то мудрая оценка, причём мы уже знаем нашу конечную цель, которая намекает нам на то, как оценить каждое из слагаемых. Подумайте, на что бы очень хотелось заменить каждое из P...(x), чтобы получить то, что от нас требуют.

Подсказка 6

Эх, если бы могли как-то заменить их все на P(x), вот тогда бы зажили: мы бы могли его вынести, склеить с e^x, а в скобках был бы наш желанный коэффициент (1+1)^40.

Подсказка 7

Хорошо, что P(x) это многочлен, а производная суммы есть сумма производных, может получится оценить в лоб?

Подсказка 8

Рассмотрите произвольный одночлен P(x), помните, что нам надо оценить только для x=1000, посмотрите, всегда ли достигается равенство в полученной оценке или где-то знак получается строгим?

Показать доказательство

Рассмотрим какой-то одночлен $a xk k$ . Его $n$ -ая производная равна $k(k− 1)...(k− n+ 1)a xk−n k$ , а поскольку и $k$ , и $n$ не больше тысячи, эта производная не превосходит $n k−n 1000 akx$ , причём равенство достигается только когда $n= 1$ и $k= 1000$ . Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо $x$ число 1000, и получаем, что $(k) P (1000)≥ P (1000).$

По индукции легко доказать:

(n) ( ) (P (x)ex) =ex C0nP (x)+ C1nP′(x)+ ...+ CnnP(n)(x)

Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что

g(1000)= (P(x)ex)(40)(1000)=

( ) =e1000 C040P(1000)+ C140P ′(1000)+ ...+C4040P(40)(1000) ≤

( ) ≤e1000 C040P(1000)+C140P(1000)+ ...+ C4400P (1000) ≤

≤ e1000(C040+ C140+...+C4400)P(1000)= 240e1000P(1000)= 240f(1000).

Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак $≤$ на $<$ .

Таким образом, мы получили, что $g(1000) <240f(1000)$ , откуда делением на $f(1000)$ получаем требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74602

Согласно нормативам Международной Федерации Рофлинга, поле для рофлинга состоит из двух площадок, одна из которых квадратная, а вторая имеет ту же ширину, а длину от 20 до 25 метров включительно. При этом все размеры должны составлять целое число метров, а общая площадь поля должна находиться в диапазоне от 200 до 240 квадратных метров (включительно). Найдите наибольший и наименьший возможные размеры квадратной площадки.

Источники: ИТМО 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что нам нужно максимизировать или минимизировать сторону этого квадрата, пускай она x. Что нам нужно сделать максимальным/минимальным, чтобы получить максимальный/минимальный x?

Подсказка 2

Если увеличить площадь поля, а длину прямоугольника оставить на месте, то x должен увеличиться..Попробуйте провести аналогичную логику с уменьшением/увеличением длины прямоугольника)

Подсказка 3

Да, нам нужно максимальное поле и минимальная длина прямоугольника для максимального x, и наоборот для минимального! Осталось составить уравнения на площадь и найти x)

Показать ответ и решение

Пусть сторона квадрата равна $x∈ℕ$ .

При минимальной длине прямоугольника и максимальной площади поля мы находим максимальное $x$ :

2 √ --- xmax+ 20xmax = 240 ⇐⇒ xmax = −10+ 340

При максимальной длине прямоугольника и минимальной площади поля мы находим минимальное $x$ :

2 −25+ √1425 xmin+ 25xmin =200 ⇐⇒ xmin =----2-----

Размеры должны составлять целое число метров, поэтому с учётом $6< xmin <7 <8 <xmax <9$ получаем $x ∈{7;8}.$

При стороне $7$ площадь равна $49$ , при стороне $8$ площадь равна $64.$

Ответ:

$49;64$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79898

Сфера радиуса 10 вписана в каркас тетраэдра (т.е. касается всех его рёбер). Сумма длин рёбер тетраэдра составляет 180. Докажите, что объём тетраэдра не превосходит 3000.

Источники: ИТМО 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, нам надо понять, через что оценивать. Если у нас есть сфера, которая касается ребер, то это значит, что её сечения гранями - это вписанные в треугольники этих граней окружности. А это значит, что мы можем оценивать объем тетраэдра через маленькие тетраэдры OABC, OABD, OACD, OBCD , где О - центр сферы.

Подсказка 2

Понятно, что ситуация относительно каждого тетраэдра равноправна, потому, нам надо получить оценку только на 1 (то есть, если мы получили какую-то оценку на один маленький тетраэдр, то сможем получить эту же оценку и на другие). Возьмем тогда тетраэдр OABC. Если центр вписанной окружности - это I, то объём OABC равен 1/3 * OI * S(ABC). Как нам тогда связать периметр и объем?

Подсказка 3

Верно, нам надо выразить площадь треугольника как p_abc*r (p_abc - полупериметр). Тогда у нас в силу равнозначности тетраэдров и равнозначности сторон треугольника здесь, при суммировании объемов будет один и тот же коэффициент при каждом ребре тетраэдра и значит, мы выразим площадь. Остается связать r*OI(то, что вылезает при подсчете объема) и R(R - радиус сферы). Как связаны эти три отрезка?

Подсказка 4

Они образуют прямоугольный треугольник. При этом, OI^2 + r^2 = R^2. Значит, у нас есть у нас есть факт, что сумма квадратов OI и r равна квадрату R, а мы хотим оценить произведение. Что нам это должно напомнит?

Подсказка 5

Конечно, неравенство о среднем квадратичном и геометрическом. Тогда, произведение OI*r оценивается сверху как R^2/2. Осталось только сложить все неравенства(ведь мы это проделали только относительно одной грани) и получить требуемое.

Показать доказательство

Обозначим тетраэдр $ABCD,$ центр сферы, вписанной в каркас — $O,$ а саму сферу — $S.$ Объём тетраэдра равен сумме объёмов маленьких тетраэдров $OABC,$ $OABD,$ $OACD$ и $OBCD.$

$PIC$

Пересечение $S$ и плоскости $ABC$ это вписанная окружность треугольника $ABC.$ Обозначим за $I$ её центр, тогда $OI$ — высота тетраэдра $OABC.$ Пусть $R$ — радиус сферы $S,$ $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC.$ Тогда выполняется равенство $2 2 2 R =OI +r .$ Тогда