Тема ИТМО (Открытка)

ИТМО - задания по годам → .03 ИТМО 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Разделы подтемы ИТМО - задания по годам

ИТМО 2015 и ранее

ИТМО 2016

ИТМО 2017

ИТМО 2018

ИТМО 2019

ИТМО 2020

ИТМО 2021

ИТМО 2022

ИТМО 2023

ИТМО 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65464

Докажите, что не существует функции $f(x)$ , определённой для всех $x> 1$ , такой, что $f(x2)=2f(x)$ и $f (x + 1)=f(x)+ 3. x$

Источники: ИТМО 2017

Показать доказательство

С одной стороны,

( 2 1-) ( 2) f x + x2 =f x + 3= 2f(x)+ 3

С другой стороны,

( ) (( )2) ( ) f x2+ 2+ 1- = f x+ 1 =2f x+ 1 = 2(f(x)+ 3) =2f(x)+6. x2 x x

Сравнивая эти равенства, получаем, что для любого числа $y$ , представимого в виде $2 -1 x + x2$ при $x> 1$ , то есть для любого $y > 2$ , выполняется равенство $f(y+ 2)= f(y)+3$ . Тогда

( ) 2f(3)= f 32 =f(9)=f(7+ 2)=f(5+ 2)+3= f(3+ 2)+ 6= f(3)+ 9,

откуда $f(3)=9$ . Следовательно, $f(5)=f(3)+3 =12$ . С другой стороны,

2f(5)= f(25)= f(5+ 2⋅10)=f(5)+30,

откуда $f(5)=30⁄= 12$ . Получаем противоречие, значит, такой функции действительно не существует.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68311

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB = 2,BC =8,AC =8.$ Из точки $B$ провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке $D.$ Найдите, чему равно $DI,$ где $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$

Источники: ИТМО-2017, 9.7 (см. olymp.itmo.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Согласно лемме о трезубце $DI =AD$ , а по теореме синусов в треугольнике $ADB$

AD = AB-sin∠ABD--=---AB---sin∠ ABC-. sin∠ADB sin∠ACB 2

По теореме синусов в треугольнике $ABC$ имеем $sinA∠BACB-= 2RABC = sinA∠CABC-$ , поэтому по формуле синуса двойного угла

--AC-sin∠-AB2C---- ---AC---- AD = 2sin∠AB2C-cos∠ AB2C-= 2cos∠ AB2C-

По формуле косинуса половинного угла

cos2 ∠ABC = 1+cos∠ABC-= 1+-1∕8= 9-, 2 2 2 16

поэтому

--8-- 16 DI = AD = 2⋅3∕4 = 3

Ответ:

$16 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72125

Дана функция $f(x)= P(x)ex$ , где $P(x)$ — многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть $g(x)$ — сороковая производная $f(x)$ . Докажите, что

g(1000) 40 f(1000) < 2 .

Источники: ИТМО 2017

Показать доказательство

Рассмотрим какой-то одночлен $a xk k$ . Его $n$ -ая производная равна $k(k− 1)...(k− n+ 1)a xk−n k$ , а поскольку и $k$ , и $n$ не больше тысячи, эта производная не превосходит $n k−n 1000 akx$ , причём равенство достигается только когда $n= 1$ и $k= 1000$ . Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо $x$ число 1000, и получаем, что $(k) P (1000)≥ P (1000).$

По индукции легко доказать:

(n) ( ) (P (x)ex) =ex C0nP (x)+ C1nP′(x)+ ...+ CnnP(n)(x)

Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что

g(1000)= (P(x)ex)(40)(1000)=

( ) =e1000 C040P(1000)+ C140P ′(1000)+ ...+C4040P(40)(1000) ≤

( ) ≤e1000 C040P(1000)+C140P(1000)+ ...+ C4400P (1000) ≤

≤ e1000(C040+ C140+...+C4400)P(1000)= 240e1000P(1000)= 240f(1000).

Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак $≤$ на $<$ .

Таким образом, мы получили, что $g(1000) <240f(1000)$ , откуда делением на $f(1000)$ получаем требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74602

Согласно нормативам Международной Федерации Рофлинга, поле для рофлинга состоит из двух площадок, одна из которых квадратная, а вторая имеет ту же ширину, а длину от 20 до 25 метров включительно. При этом все размеры должны составлять целое число метров, а общая площадь поля должна находиться в диапазоне от 200 до 240 квадратных метров (включительно). Найдите наибольший и наименьший возможные размеры квадратной площадки.

Источники: ИТМО 2017

Показать ответ и решение

Пусть сторона квадрата равна $x∈ℕ$ .

При минимальной длине прямоугольника и максимальной площади поля мы находим максимальное $x$ :

2 √ --- xmax+ 20xmax = 240 ⇐⇒ xmax = −10+ 340

При максимальной длине прямоугольника и минимальной площади поля мы находим минимальное $x$ :

2 −25+ √1425 xmin+ 25xmin =200 ⇐⇒ xmin =----2-----

Размеры должны составлять целое число метров, поэтому с учётом $6< xmin <7 <8 <xmax <9$ получаем $x ∈{7;8}.$

При стороне $7$ площадь равна $49$ , при стороне $8$ площадь равна $64.$

Ответ:

$49;64$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79898

Сфера радиуса 10 вписана в каркас тетраэдра (т.е. касается всех его рёбер). Сумма длин рёбер тетраэдра составляет 180. Докажите, что объём тетраэдра не превосходит 3000.

Источники: ИТМО 2017

Показать доказательство

Обозначим тетраэдр $ABCD,$ центр сферы, вписанной в каркас — $O,$ а саму сферу — $S.$ Объём тетраэдра равен сумме объёмов маленьких тетраэдров $OABC,$ $OABD,$ $OACD$ и $OBCD.$

$PIC$

Пересечение $S$ и плоскости $ABC$ это вписанная окружность треугольника $ABC.$ Обозначим за $I$ её центр, тогда $OI$ — высота тетраэдра $OABC.$ Пусть $R$ — радиус сферы $S,$ $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC.$ Тогда выполняется равенство $2 2 2 R =OI +r .$ Тогда