Миссия выполнима - задания по годам → .09 Миссия выполнима 2023

Пусть — количество абонементов, проданных с максимальной ( pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой , где . При этом общая сумма скидок, равная (руб.), равна с другой стороны (руб.)

Уравнение при не имеет целых корней, а при получается Искомое теперь находим как частное от деления 515 на

Для данного равенства возможны два случая.

1.

при этом

Отсюда . Далее,

По формуле вспомогательного аргумента

2.

Поскольку

то в этом случае решений нет.

Пусть в последнем слагаемом цифр. По условию десятичная запись суммы оканчивается на

то есть при некотором натуральном верно

откуда с учётом натуральности сразу следует условие для сократимости дроби

Следовательно,

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

Область допустимых значений переменных задается условиями

Из первого уравнения получаем

откуда .

Подставив во второе уравнение, получим

Мы должны найти все такие , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.

Если , то единственный корень. Но .

Если же и дискриминант - отрицателен, то действительных корней нет вообще.

Итак при исходная система решений не имеет. При хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то и уравнение имеет также корень , а исходная система имеет решение

Докажем, что . Для этого положим , и воспользуемся теоремой синусов.

Имеем:

откуда

С учетом условия это означает, что . Равенству противоречит условие задачи.

Поэтому , откуда и

Теперь найдем периметр треугольника . Пусть окружность с центром касается стороны в точке , а продолжений сторон и - в точках и соответственно.

Тогда и

Рассмотрим векторы

Так как

то

Равенство выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения является корнем уравнения и равно .

Пусть отмечены красные точки , синие точки , и зеленые точки .

Поскольку для каждой точки выполняется неравенство треугольника , то

Откуда .

Аналогично, просуммировав неравенства , получим .

Далее перебором можно установить, что найденным соотношениям и равенству удовлетворяют ровно две тройки натуральных чисел

Покажем, что оба найденных варианта могут быть реализованы на прямой. Каждую из отмеченных точек будем задавать ее координатой.

Первый вариант:

Второй вариант: .

Указанную сумму обозначим через , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и .

Поэтому выполнено равенство , где - некоторое натуральное число. Отсюда

Наименьшее , при котором делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение равно .

Будем представлять детей в виде вершин графа, а факт дружбы между детьми в виде ребра, соединяющие вершины, соответствующие друзьям. Давайте сразу предварительно удалим изолированные вершины, то есть детей, которые ни с кем не дружат. Они никак не повлияют на задачу. Оставшееся число обозначим за Если то сумма степеней вершин не меньше чем

Сумма степеней вершин четная, есть то она равна как минимум а тогда ребер хотя бы из чего следует, что найдется цикл, а значит при заведомо найдётся несколько детей, которых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый знал обоих своих соседей (очевидно, что друзья знают друг друга). Если же то можно построить пример, когда цикла не будет и, следовательно, указанная рассадка не возможна. Например, возьмем вершин, соединим их путем ( ребер) и затем ко всем вершинам, кроме концов добавим “висячую” вершину.

Пусть — количество телефонов, проданных с максимальной руб.) скидкой. Количество остальных акционных телефонов тогда выражается формулой , где . При этом общая сумма скидок, равная (руб.), равна с другой стороны (руб.).

Уравнение при и не имеет целых корней, а при получается . Искомое теперь находим как неполное частное от деления 495 на .