Миссия выполнима - задания по годам → .08 Миссия выполнима 2022

Тогда подставим в и поделим почленно:

Значит,

Откуда

Через где — произвольный город, обозначим число городов, соединённых беспосадочными авиалиниями с Будем рассматривать авиамаршрут, который проходит последовательно через города и все перелёты на котором централизующие. Ясно, что тогда

Равенство невозможно, поскольку имело бы своими следствиями взаимоисключающие равенства и так как еще соединена с

Допустим, что и Тогда то есть город соединён либо с либо с Но соединён с и а — с и

Наконец, предположим, что и Тогда соединён с соединён с и Получается, что город не соединён ни с ни с а тогда равенство невозможно. Итак, Приведём пример системы авиалиний, для которой все перелёты на маршруте, проходящем последовательно через города централизующие. Пусть города и () соединены, если выполнено хотя бы одно из следующих трёх условий:

В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось Поэтому можно полагать, что там было женщин и мужчин, где n В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно женщин. Поскольку

то число делит и может быть равным Соответствующие значения равны

Каждая такая плоскость проходит через пару параллельных диагоналей противоположных граней куба. Поэтому каждая грань разбита на а вся поверхность куба —на треугольника, каждые два из которых отделены друг от друга хотя бы одной из проведённых плоскостей. А поскольку все проведённые плоскости пересекаются в центре куба, то каждая часть содержит в качестве одной из своих граней один из этих треугольников. Следовательно, число частей разбиения также равно

Точки и симметричные относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек Следовательно, треугольник — правильный, и его центр, который мы обозначим через совпадает с центром треугольника

Заметим, далее, что пирамида —- образ пирамиды при гомотетии с центром и коэффициентом С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид и равно А поскольку у этих пирамид общая высота то и отношение площади треугольника к площади треугольника равно В качестве следствия получается равенство которое будет нами использовано.

Обозначив величину двугранного ребра при ребре через , точкой, симметричной относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать

Тогда где — середина ребра ; треугольник — равнобедренный откуда

А поскольку

то

При левая часть последнего равенства равна что позволяет найти

Последовательно сложив равенства

приведя подобные члены и сократив на получим Поэтому искомая сумма А поскольку

то

Так как из условий следуют равенства и соответственно, то

Заметим, далее, что точка лежит на описанной окружности треугольника (и делит пополам дугу не содержащую ). Поэтому

с учётом того, что и лежат в одной полуплоскости относительно прямой заключаем, что - ортоцентр треугольника

Рассмотрим теперь треугольник Используя равенства

и равнобедренность треугольника нетрудно найти углы и Применив теорему синусов, получим откуда

Ясно, что Полагая неравенство перепишем в виде а неравенства - в виде Согласно условию, для некоторого натурального числа выполнены неравенства Из них следует, что

Таким образом, неравенствам обязательно удовлетворяет четвёрка чисел и, возможно , одно или оба числа пары

Приведём три соответствующих примера. При имеем и

при имеем и выполняются неравенства

наконец, если то и

Рассмотрим десятичную запись числа Пусть число оканчивается на нулей. Если последняя ненулевая цифра числа равна , то у числа последняя ненулевая цифра будет Если предпоследняя цифра , то у числа предпоследняя цифра будет и т.д. А в начале числа будут идти цифры числа

Далее легко видеть, что сумма цифр будет равна .

Таким образом, условию удовлетворяет число .