Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Миссия выполнима - задания по годам → .04 Миссия выполнима 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Разделы подтемы Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2015 и ранее

Миссия выполнима 2016

Миссия выполнима 2017

Миссия выполнима 2018

Миссия выполнима 2019

Миссия выполнима 2020

Миссия выполнима 2021

Миссия выполнима 2022

Миссия выполнима 2023

Миссия выполнима 2024

Миссия выполнима 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66355

Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В $2016$ году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в $2017$ году стали получать на $50%$ больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце $2016$ года. Средняя зарплата всех сотрудников в $2017$ году стала на $20%$ больше, чем была в $2016$ году. Найдите, сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в $2017$ году трудяги, если в $2016$ году их было $10%.$

Источники: Миссия выполнима - 2018, 11.4 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо придумать, какие бы такие переменные ввести, чтобы они нормально описывали происходящее. Подумаем, какие есть независимые “составляющие” у задачи. Во-первых, число людей, его для удобства в начале можно обозначить за 10х. Во-вторых, зарплаты этих людей, и в-третьих, доля сотрудников, которых уволили. Вводя эти три величины, можно описать всё, что происходит в задаче. Неважно, например, какую вводить переменную: “зарплата трудяги” или “зарплата лентяя” — они все равно выражаются друг через друга. Поэтому вводим переменные из соображений удобства подсчетов.

Подсказка 2

Понятно, что такое средняя зарплата — количество всех денег, отнесенное к числу сотрудников. Как раз от этой величины и надо отталкиваться — записываем через наши три переменные, чему средняя зарплата была равна в начале и чему стала равна в конце. Отсюда получится выразить k — долю уволенных лентяев, а зная k, легко понять, как изменилась доля трудяг среди работников.

Показать ответ и решение

Пусть в $2016$ было $9x$ лентяев и $x$ трудяг, при этом зарплата лентяев была $y,$ трудяг — $2y.$ Отсюда в $2017$ зарплата трудяг стала $3y,$ то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю $k <1$ всех лентяев (остальных $1− k$ уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В $2016$ она была

9x⋅y+ x⋅2y 11 ----10x----= 10y

а в $2017$ стала

9kx⋅y+ x⋅3y 9k+ 3 12 11 ---x+9kx---= 9k+-1y = 10 ⋅10y

где последнее равенство следует из повышения зарплаты в $1.2$ раза.

В итоге $900k+ 300= 132⋅9k+ 132 ⇐⇒ k= 172,$ то есть лентяев осталось $9x⋅ 712 = 241x.$ Тогда доля трудяг равна $x+x21∕4x = 425 = 16%.$

Ответ:

$16$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70796

В алфавите языка альфов три буквы А, Л и Ф. Все слова этого языка можно построить, применяя последовательно следующие правила к любому слову из этого языка:

(1) поменять порядок букв в слове на противоположный;

(2) заменить две последовательные буквы так: ЛА $→$ ФФ, АФ $→$ ЛЛ, ФЛ $→$ АА, ЛЛ $→$ АФ, ФФ $→$ ЛА или АА $→$ ФЛ. Известно, что ЛЛАФАЛАФФАЛАФФФАЛАФФФФАЛЛ — это слово из языка альфов. Есть ли в языке альфов слово ЛФАЛФАЛФАЛФАЛАФЛАФЛАФЛАФЛ?

Источники: Миссия выполнима - 2018, 11.8 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Строка довольно большая, кажется, что уследить за всем в процессе ее преобразований сложно. Поэтому попробуем найти какую-то несложную для восприятия характеристику, что не меняется в процессе преобразований.

Подсказка 2

Самое простое — обратить внимание на количество каждой из букв. Очевидно, что количество каждой буквы меняется. Помним, что часто при доказательстве неизменности свойства используют какой-то модуль. Чтобы что-то заметить, можно попробовать выписать короткие строки и записать количество каждой буквы, постепенно преобразовывая строку.

Подсказка 3

Обратим внимание на разность количества букв А и Л!

Показать ответ и решение

Пусть $a(w),ℓ(w)$ определяют по слову $w$ языка альфов количество в нём букв А и Л соответственно. Заметим, что все операции не меняют значения величины $a(w)− ℓ(w)$ по модулю $3.$ Действительно, порядок букв на это свойство не влияет. Остальные же операции либо просто не меняют эту разность (ЛА $→$ ФФ, ФФ $→$ ЛА), либо изменяют ровно на $3$ (АФ $→$ ЛЛ, ФЛ $→$ АА, ЛЛ $→$ АФ, АА $→$ ФЛ). Но тогда значение $a(w)− ℓ(w)$ должно совпадать по модулю $3$ для двух рассмотренных слов. Для ЛЛАФАЛАФФАЛАФФФАЛАФФФФАЛЛ оно равно $8− 7 =1,$ а для ЛФАЛФАЛФАЛФАЛАФЛАФЛАФЛАФЛ равняется $8− 9= −1.$ Эти числа не равны по модулю $3.$

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74605

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=|x|+2|x − 1|+ 3|x− 2|+ ...+ 11|x− 10|

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?

Подсказка 2

Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?

Подсказка 3

Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.

Подсказка 4

Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что как бы ни раскрывались модули, $f(x)$ будет линейной функцией, которая имеет вид $f(x)= kx+ b, i i$ где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на $12$ отрезков: $(−∞;0),(0;1),(1;2),...,(9;10),(10;+∞ ).$ Тогда $ki$ это угловой коэффициент на $i$ -том промежутке.

Заметим, что $− 66≤ k1 <k2 <k3 < ...< k10 < k11 = 66.$ Это значит, что $f(x)$ сначала убывает, а потом возрастает, так как $k8 = 1+ 2+ 3+...+7− 8− ...− 11= −10$ при $x ∈(6;7),$ а $k9 = 1+ 2+3 +...+ 8− 9− 10 − 11= 6$ при $x∈ (7;8).$ Значит, наименьшее значение функции достигается при $x= 7.$ Оно равно $f(7)=146.$

Ответ: 146

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74606

По регламенту шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым один раз. После того как было сыграно ровно 99 партий, оказалось, что множество участников турнира можно разбить на две неравные по численности группы так, что все соперники, относящиеся к одной и той же группе, уже сыграли партии между собой. При этом были сыграны, но не более четырех, партии между соперниками, которые относятся к разным группам. Каково наибольшее возможное число участников этого шахматного турнира?

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скорее перейдём от этих длинных условий к красивому математическому уравнению. Нам понадобятся всего 3 переменные: n - кол-во игроков, k - кол-во игроков в первой группе, m - партии между разными группами. Если внутри группы были сыграны все игры, то у нас получился полный граф на k вершинах. А сколько рёбер в полном графе на k вершинах?

Подсказка 2

Верно k*(k-1)/2. Теперь у нас есть все знания, чтобы составить уравнение на кол-во партий.

Подсказка 3

Немножечко преобразований, и у нас получится квадратное уравнение. Подумайте, относительно какой переменной его лучше решать?

Подсказка 4

Да, лучше решать относительно k, ведь тогда в дискриминанте будет участвовать n, а это хорошо, потому что, с одной стороны, у нас получится неравенство, и мы сможем оценить n сверху, а с другой - в нашем неравенстве не будет k, которое противно связано с нашим n тем, что k < n.

Подсказка 5

Ура, мы получили понятные выражения на n и можем воспользоваться тем, что 0 < m <= 4, к сожалению, нам теперь остаётся только оценить большее из них и пытаться найти пример или доказывать, что такого не бывает.

Подсказка 6

Из наших выражений следует, что n <= 20, не бойтесь перебирать каждое из них с конца и подставлять в исходное квадратное уравнение. Так же помните, что k - целое, да ещё и в силу того, что в другой команде n-k игроков, то не имеет особого смысла рассматривать k < n/2, это такой же случай, просто мы поменяли местами номера команд.

Показать ответ и решение

Пусть число участников турника равно $n,$ а число попавших в $1$ -ю группу равно $k$ . Тогда число сыгранных партий равно:

k(k− 1) (n − k)((n− k)− 1) ---2-- + ------2-------+ m = 99,

где $0 <m ≤ 4$

k2− k+ (n − k)2− (n − k)+ m − 198= 0

k2 − k+ k2− 2kn +n2− n+ k+ 2m− 198= 0

2 2 2k − 2kn+ (n − n +2m − 198)= 0;

D-=n2 − 2(n2− n +2m − 198)≥ 0 4

(n− 1)2− (397− 4m)≤ 0

откуда $√------- nmax =1+ 397− 4m≤ 20.$

Если $n= 20,$ то:

2k2− 40k+(400− 20+ 2m − 198)= 0⇔

⇔ k2− 20k +91+ m = 0,

тогда $k= 10,n− k = 10,m =9$ - противоречие;
$k =11,n− k= 9,m = 8$ - противоречие;
$k =12,n− k= 8,m = 5$ - противоречие;
$k =13,n− k= 7,m = 0$ - противоречие;
при $k > 13$ и $m < 0.$

Если $n= 19,$ то:

2k2− 38k+(361− 19+ 2m − 198)= 0⇔

⇔ k2− 19k +72+ m = 0,

тогда $k= 10,n− k = 9,m = 18$ - противоречие;
$k =11,n− k= 8,m = 16$ - противоречие;
$k =12,n− k= 7,m = 12$ - противоречие;
$k =13,n− k= 6,m = 6$ - противоречие;
при $k > 13$ и $m < 0.$

Если $n= 18,$ то:

2k2− 36+ (324− 18+ 2m − 198)= 0⇔

⇔ k2− 18+ 54+ m= 0,

тогда $k= 9,n− k= 9,m = 27$ - противоречие;
$k =10,n− k= 8,m = 26$ - противоречие;
$k =11,n− k= 7,m = 23$ - противоречие;
$k =12,n− k= 6,m = 18$ - противоречие;
$k =13,n− k= 5,m = 11$ - противоречие;
$k =14,n− k= 4,m = 2$ - решение.
при $k > 13$ и $m < 0.$

Итак, наибольшее возможное число участников равно $18$ , группы участников насчитывают $4$ и $14$ человек, количество «межгрупповых» партий равно $2$ .

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97441

Определите знак числа

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 − 2 −3 + 4 + 5 − 6 −7 +⋅⋅⋅+2012 + 2013 − 2014-− 2015 + 2016

Знаки расставлены так: «+» перед первой дробью, затем идут два «-» и два «+» по очереди. Перед последней дробью стоит «+».

Источники: Миссия выполнима 2018

Показать ответ и решение

Разобьём все числа на группы по четыре числа:

( 1 1 1 1 ) 4k+-1 − 4k+2-− 4k+3-+ 4k-+4

Сумма чисел в каждой группе положительная:

( ) --1--− --1--− --1--+ --1-- > 0⇔ 1 1 4k+ 11 4k+ 21 4k+ 3 4k+1 4 1 ⇔ 4k-+1-−4k+-2 > 4k-+3-−4k-+4 ⇔ (4k-+1)(4k+-2) > (4k-+3)(4k+-4)

Следовательно, и число $A$ положительное.

Ответ:

$A > 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98021

Найдите наименьшее значение функции $f(x)= |x|+ |x +1|+...+|x+ 2022|.$

Источники: Миссия выполнима 2018

Показать ответ и решение

Разобьем выражение на следующие пары:

(|x|+ |x+2022|)+ (|x+ 1|+ |x +2021|)+ (|x+ 2|+ |x+ 2020|)+...

Рассмотрим первую пару.

|x|+ |x+ 2022|≥ (− x)+(2022+ x)= 2022

Аналогично для всех пар вида

|x +k|+ |x+ 2022 − k|, k≤ 1010

Так как можно оценить как

|x+ k|+ |x +2022− k|≥ (−x− k)+(x+ 2022− k)= 2022− 2k

Тогда исходное выражение принимает минимальное значение, если в каждой паре достигается равенство, а оно достигается при $x =− 1011.$

Следовательно, наименьшее значение равно:

0+ 2+ 4+6 +8+ ...+ 2020+ 2022= 2⋅(0+ 1+ 2+3 +4+ ...+ 1011)= 2⋅ 1011⋅1012= 1023132 2

Ответ: 1023132

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#104671

Иван и Петр играют в следующую игру. Из кучки, которая содержит $2018$ камней, они по очереди берут некоторое количество камней. Если перед ходом в кучке имеется $N$ камней, то игрок может взять $k$ камней, только если $k$ является делителем числа $N.$ Проигрывает тот игрок, который возьмет последний камень. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если первым берет камни Иван?

Источники: Миссия выполнима 2018

Показать ответ и решение

Покажем, что Иван имеет выигрышную стратегию. Для того чтобы выиграть Ивану, достаточно каждым ходом брать один камень. В этом случае после его хода количество камней будет нечетным. Поскольку делители нечетного числа являются нечетными числами, то Петр должен будет взять нечетное число камней. Так как перед ходом Ивана число камней четно, а он берет один камень, то Иван никогда не возьмет последний камень. В это же время число камней конечно, и не позже чем через $2018$ ходов камней не останется. Следовательно, последний камень возьмет Петр.

Ответ:

Иван

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема