Миссия выполнима - задания по годам → .03 Миссия выполнима 2017

Первое решение.

Из равенства мы получаем формулу . Кроме того, . Но тогда

Второе решение.

Докажем, что для любого целого верно откуда будет следовать

Шаг индукции: если то при подстановке в равенство получаем и при подстановке в равенство получаем Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.

Для чётных при получаем , а для нечётных при тоже формула верна.

Пусть человек изучают английский язык, – немецкий язык, а – оба языка. Тогда Известно, что и

Следовательно,

Тогда наибольшее а достигается при

Если апреля все сотрудники компании сказали правду, то для сотрудника с наибольшей заработной платой второе утверждение будет ложно, что быть не может. Если же все они солгали, то первое утверждение для сотрудника с наибольшой сложной работой будет верно, то есть вновь получаем противоречие. Таким образом, существует хотя бы один солгавший и хотя бы один сказавший правду.

Возьмем сотрудника, сказавшего правду с наибольшей зарплатой из всех правдивых сотрудников. Поскольку из его второго утверждения следует, что по меньшей мере «лжецов» имеют большую зарплату, чем он. Второе утверждение солгавшего сотрудника, имеющего наименьшую зарплату среди «лжецов» ложно, таким образом, не более «лжецов» имеют большую зарплату и не более «лжецов» всего. То есть лжецов всего

Первое утверждение для «лжеца» с наиболее трудной работой среди всех «лжецов» ложно, поэтому существуют по меньшей мере правдивых сотрудников, имеющих более трудную работу.

Первое утверждение для правдивого сотрудника с наименее сложной работой среди всех правдивых сотрудников верно, поэтому существует не более правдивых сотрудников всего. То есть правдивых сотрудников ровно Окончательно получаем, что в компании работают сотрудника.

Пусть первый игрок своим первым ходом положит монеты, а следующими ходами класть столько монет, чтобы сумма его монет и монет, положенных перед этим вторым игроком была равна В этом случае после третьего хода первого игрока в ряду будут лежать монет. Далее, как бы не сходил второй игрок своим третьим ходом и как бы после этого не сходил первый игрок монета будет положена первым игроком.

Первым ходом Петя может, например, стереть все цифры Оставшиеся группы одинаковых цифр можно разбить на пары:

После этого Петя (относительно средней черты) повторяет ходы Васи: стирает цифры “парные” ходу Васи и в таком же количестве.

По принципу Дирихле как минимум в одном филиале как минимум 41 участник и как минимум 21 из них одного пола. Требуется доказать, что по меньшей мере 5 из этих 21 участника одного возраста.

Если это не так, то существует не более 4 участников из каждой возрастной группы. В группе из 21 человека как минимум 6 возрастных групп, и если мы возьмем по представителю из каждой возрастной группы, то получим противоречие с одним из условий задачи.