Миссия выполнима - задания по годам → .03 Миссия выполнима 2017
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
такова, что 
и 
для любого 
. Найдите 
, если 
.
Источники:
Подсказка 1
Как воспользоваться одновременно двумя равенствами из условия? Быть может, попробуем преобразовать одно из них?
Подсказка 2
Возьмите функцию от обеих частей в одном из равенств, чтобы воспользоваться другим.
Подсказка 3
Отлично, теперь мы умеем связывать (x+2) и f(x). Обратите внимание, что мы ещё не воспользовались f(0). Осталось лишь придумать, как же добраться от значения в нуле к значению в 2017, используя полученные равенства ;)
Первое решение.
Из равенства 
мы получаем формулу 
. Кроме того, 
. Но
тогда 
Второе решение.
Докажем, что для любого целого 
верно 
откуда будет следовать 
Шаг индукции: если 
то при подстановке 
в равенство 
получаем 
и при подстановке
в равенство 
получаем 
Таким образом, переход доказан для всех чисел
одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных
отдельно.
Для чётных при 
получаем 
, а для нечётных при 
тоже 
формула
верна.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от 
до 
от общего
числа учащихся, а оба языка изучают от 
до 
. Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий
язык?
Источники:
Подсказка 1
Что надо сделать с количеством учеников, которые изучают английский язык или оба языка, чтобы максимизировать число тех, кто изучает немецкий?
Подсказка 2
Для ответа на предыдущий вопрос, давайте составим уравнение на количество учеников! 2017 = A + C - B(это можно понять с помощью кругов Эйлера), где A - те, кто изучает только английский, C - количество тех, кто изучает только немецкий, B - оба языка! Отсюда видно, что C = 2017 - A + B, то есть надо минимизировать число тех, кто изучает английский и максимизировать число тех, кто изучает обо языка!
Подсказка 3
Английский изучает не менее 2017*0.7 = 1411.9, а оба языка изучают не более 2017*0.08 = 161.31, остаётся в правильную сторону округлить числа, и задача решена!
Пусть 
человек изучают английский язык, 
– немецкий язык, а 
– оба языка. Тогда 
Известно, что
и 
Следовательно, 
Тогда наибольшее 
а достигается при 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В некоторой компании ни у каких двух сотрудников нет работы одинаковой сложности, и никакие двое не получают одинаковую зарплату. 1 апреля каждый сотрудник сделал два утверждения:
(a) Не найдется 12 сотрудников с более сложной работой.
(b) По меньшей мере 30 сотрудников имеют большую зарплату.
Сколько сотрудников в компании, если часть сотрудников дважды сказали правду, а остальные дважды солгали?
Источники:
Подсказка 1
Надо понимать, что под частью могут так же подразумевать всех или никого, когда все солгали или сказали правду, поэтому довольно разумно начать проверку условий с тривиальных случаев, когда все сотрудники солгали и все сказали правду.
Подсказка 2
Понятно, что такие случаи приводят к противоречию, а значит хотя бы 1 солгал и хотя бы 1 сказал правду. Часто бывает, что в задачах, в которых каждый элемент группы обладает количественным свойством, полезно взять самого сильного или самого слабого из них, потому что он потенциально несёт в себе намного больше полезной информации. А у нас как раз образовалось 2 группы: с правдивыми сотрудниками и лжецами.
Подсказка 3
Попробуйте порассуждать о самом богатом правдивом сотруднике и самом бедном лжеце. Нам хотелось бы как-то оценить кол-во каких-то сотрудников, очень удобно, что одна и та же фраза для лжеца и правдивого сотрудника даёт оценки сверху и снизу, поэтому в теории могла бы дать точное число каких-то сотрудников. (P.S. из численных данных о сотрудниках у нас есть только 2 числа, поэтому очень велика вероятность, что ответ - это сумма или разность этих чисел, что тоже стоит держать в уме при решении подобных задач, но это не означает, что так происходит всегда!)
Подсказка 4
Остаётся только провести аналогичные рассуждения о правдивом сотруднике с самой простой работой и для лжеца с самой трудной работе, и радоваться победе.
Если 
апреля все сотрудники компании сказали правду, то для сотрудника с наибольшей заработной платой второе утверждение будет
ложно, что быть не может. Если же все они солгали, то первое утверждение для сотрудника с наибольшой сложной работой будет верно,
то есть вновь получаем противоречие. Таким образом, существует хотя бы один солгавший и хотя бы один сказавший
правду.
Возьмем сотрудника, сказавшего правду с наибольшей зарплатой из всех правдивых сотрудников. Поскольку из его второго утверждения
следует, что по меньшей мере 
«лжецов» имеют большую зарплату, чем он. Второе утверждение солгавшего сотрудника, имеющего
наименьшую зарплату среди «лжецов» ложно, таким образом, не более 
«лжецов» имеют большую зарплату и не более 
«лжецов»
всего. То есть лжецов всего 
Первое утверждение для «лжеца» с наиболее трудной работой среди всех «лжецов» ложно, поэтому существуют по меньшей мере 
правдивых сотрудников, имеющих более трудную работу.
Первое утверждение для правдивого сотрудника с наименее сложной работой среди всех правдивых сотрудников верно, поэтому
существует не более 
правдивых сотрудников всего. То есть правдивых сотрудников ровно 
Окончательно получаем, что в компании
работают 
сотрудника.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два игрока по очереди выкладывают монеты в ряд. За один ход можно положить две или три монеты. Выигрывает тот, кто выложит 
монету. Определите, какой игрок (первый или второй) обладает стратегией, которая позволит ему выиграть вне зависимости от ходов
другого игрока. Опишите эту стратегию.
Источники:
Подсказка 1
По условию двое игроков у нас выкладывают по 2 или 3 монеты. Но тогда за два хода суммарно какое число монет удобно выложить? Попробуйте перебрать хорошо известные стратегии.
Подсказка 2
Верно, мы сможем всегда дополнять количество до 5, то есть за два хода выкладывать 5 монет. Но теперь нужно понять, кому это выгодно. Учитывая, что первый может создать благоприятную ситуацию для себя, то, наверное, ему и будет полезно в дальнейшем дополнение. Но какой же первый ход ему нужно сделать?
Подсказка 3
Да, он может выложить, например, две монеты. А дальше он будет просто дополнять количество до пяти. Нужно только проверить концовку и убедиться, что первый выигрывает таким образом. Победа!
Пусть первый игрок своим первым ходом положит 
монеты, а следующими ходами класть столько монет, чтобы сумма его монет и монет,
положенных перед этим вторым игроком была равна 
В этом случае после третьего хода первого игрока в ряду будут лежать 
монет.
Далее, как бы не сходил второй игрок своим третьим ходом и как бы после этого не сходил первый игрок 
монета будет положена
первым игроком.
Первый игрок
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя и Вася играют в игру. На доске написано число 
За один ход разрешается стереть любое число одинаковых
цифр. Выигрывает тот, кто сотрет последнюю цифру. Петя ходит первым. Может ли он ходить так, чтобы гарантированно
выиграть?
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала внимательно посмотрим на ряд из чисел. Замечаете ли вы какую-то особенность среди них? Попробуйте ещё подумать, как это применить с точки зрения игр.
Подсказка 2
Да, почти все повторяющиеся цифры можно разбить на пары, кроме семёрок. Это значит, что у нас на самом деле нечётное число ходов. Какой же первый ход в таком случае нужно сделать Пети для выигрыша?
Подсказка 3
Верно, ему нужно просто стереть всё семёрки. После чего останутся ряды цифр, разбитые по парам. Значит, Петя сможет ходить симметрично после первого хода. Победа!
Первым ходом Петя может, например, стереть все цифры 
Оставшиеся группы одинаковых цифр можно разбить на
пары:
После этого Петя (относительно средней черты) повторяет ходы Васи: стирает цифры “парные” ходу Васи и в таком же количестве.
Да, может.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В конференции принял участие 
сотрудник из 
различных филиалов фирмы. В каждой группе из шести участников конференции по
меньшей мере двое были одного возраста. Докажите, что среди всех участников можно найти пятерых одного возраста, одного пола и из
одного филиала фирмы.
Источники:
По принципу Дирихле как минимум в одном филиале как минимум 41 участник и как минимум 21 из них одного пола. Требуется доказать, что по меньшей мере 5 из этих 21 участника одного возраста.
Если это не так, то существует не более 4 участников из каждой возрастной группы. В группе из 21 человека как минимум 6 возрастных групп, и если мы возьмем по представителю из каждой возрастной группы, то получим противоречие с одним из условий задачи.
