Тема Бельчонок

Бельчонок - задания по годам → .03 Бельчонок 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Разделы подтемы Бельчонок - задания по годам

Бельчонок до 2020

Бельчонок 2020

Бельчонок 2021

Бельчонок 2022

Бельчонок 2023

Бельчонок 2024

Бельчонок 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34648

В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды несколько бельчат, среди которых был, по крайней мере, один рыцарь, собрались на поляне и сказали по фразе:

$1$ -й бельчонок: “Среди нас ровно один рыцарь.”

$2$ -й бельчонок: “Среди нас ровно два лжеца.”

$3$ -й бельчонок: “Среди нас ровно три рыцаря.”

$. ..$

$2k$ -й бельчонок: “Среди нас ровно $2k$ лжецов.”

$(2k+ 1)$ -й бельчонок: “Среди нас ровно $2k+ 1$ рыцарей.”

Определите количество собравшихся на поляне бельчат.

Источники: Бельчонок-2021, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задачи с неизвестным количеством высказываний для понимания можно начинать с частных случаев: пусть бельчонок всего один – что тогда? Дальше замечаем, что бельчат 2k+1 – нечётное количество! Дальше можно посмотреть на случаи с 3-мя, 5-тью, … бельчатами и попробовать понять, что не так с их высказываниями

Подсказка 2

В глаза бросается, что у нас очень много противоречивых высказываний – рыцарей, например, не может же быть одновременно и 1, и 3, и 5… А среди всех противоречащих высказываний правдиво максимум одно – попробуйте теперь ограничить количество рыцарей, а потом понять, сколько их точно, опираясь на их количество и количество лжецов в высказываниях

Подсказка 3

Зная количество рыцарей, можно и количество лжецов без труда определить, ведь все кроме рыцарей лгут! Но ещё раз напомню, что всего у нас нечётное количество бельчат – возможно ли вообще наличие лжецов при таком раскладе?

Показать ответ и решение

Заметим, что $k= 0$ подходит. В этом случае бельчонок всего один. Раз по условию среди бельчат есть хотя бы один рыцарь, то этот единственный бельчонок является рыцарем. А его фраза, что рыцарь всего один, верна.

Теперь предположим, что $k ≥1.$ В этом случае бельчат хотя бы трое. Заметим, что слова бельчат с номерами одинаковой чётности противоречат друг другу, потому что они называют разные числа рыцарей (лжецов). Значит, может быть лишь один рыцарь с чётным номером и лишь один рыцарь с нечётным номером. Всего рыцарей, таким образом, не больше двух.

Бельчата с нечётными номерами говорят, что количество рыцарей нечётно. А бельчата с чётными номерами говорят, что количество лжецов чётно, соответственно количество рыцарей по мнению каждого из них тоже нечётно.

По условию на полянке был хотя бы один рыцарь. Значит, хотя бы одно высказывание верно и рыцарей должно быть нечётное число. А если рыцарей не больше двух, то рыцарь может быть только один.

Предположим, что первый является рыцарем. Тогда все остальные — лжецы, а их ровно $2k.$ Значит, бельчонок под номером $2k$ сказал правду, а должен быть лжецом. Противоречие. Значит, первый соврал.

Если первый соврал, то на полянке не один рыцарь. Но мы поняли, что больше одного рыцаря быть не может. В итоге случай $k≥ 1$ невозможен.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73446

Неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a +b + c +abc= 4

Докажите, что

0≤ ab+ bc+ ac− abc≤ 2

Источники: Бельчонок-2021, 8.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $a,b,c$ не могут быть все одновременно быть больше $1,$ это противоречило бы условию. Пусть, например, $a≤ 1.$ Запишем $ab+ bc +ac− abc= ab+ ac +bc(1− a).$ Очевидно, это выражение неотрицательно, и оценка снизу доказана.

Для доказательства оценки сверху рассмотрим три данных числа. Два из них не меньше $1$ или два из них не больше $1,$ пусть такие числа — это $b$ и $c.$ В любом случае $(1 − b)(1− c)≥0.$

В условии $2 2 2 a +b + c +abc= 4$ заменим $2 2 b +c$ на не большее выражение $2bc,$ получим неравенство $2 a +2bc+ abc≤ 4,$ или $2 bc(2+ a)≤ 4− a .$ После сокращения получаем $bc≤2 − a.$ Тогда

ab+ bc +ac− abc≤ ab+ 2− a +ac(1 − b)= 2− a(1− c)(1− b)≤ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94773

Решите уравнение

2 3sin x− 3cosx− 6 sinx+ 2sin2x+ 3= 0.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении встречаются как sin(x), так и cos(x), поэтому не получается так просто свести всё к одной переменной... Формулки тоже особо не применить тут, разве что синус двойного расписать. Тогда как тут можно попробовать решить, какие методы остаются?

Подсказка 2

Ага, остаётся метод оценки и разложение на множители. И если немного подумать, можно понять, что оценка тут ни к чему не приводит, тогда остаётся раскладывать на множители!

Подсказка 3

Тут можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Мы хотим получить sin²(x), тогда можем поставить в обе скобки sin(x) с коэффами A и B перед ними, при этом B сразу выражается через А. 3 можно расписывать по-разному, применяя основное тригонометрическое тождество, рассмотрите несколько способов.

Подсказка 4

Ура, разложили на множители! Остаётся решить парочку несложных уравнений (помните же про метод вспомогательного угла?) и записать ответ!

Интересный способ решения!

Угадывать разложение на множители, конечно, весело, но есть ещё один способ решения! Можно записать левую часть как стандартный тригонометрический многочлен (погуглите) и выразить скобку с sin(2x) и cos(2x) через скобку с sin(x) и cos(x) (вам может помочь возведение в квадрат). Тогда можно будет ввести замену и решить уравнение!

Показать ответ и решение

Запишем левую часть уравнения как стандартный тригонометрический многочлен:

(4sin2x− 3cos2x)− 6(2sinx +cosx)+9= 0

Обозначим линейную часть (без коэффициента -6 ) через $y$ :

y = 2sin x+cosx

и посчитаем величину $y2$ (при этом запишем её как стандартный тригонометрический многочлен):

y2 =4sin2 x+4sinxcosx +cos2x = 41− cos2x+ 2sin2x+ 1+-cos2x = 1(4sin 2x − 3cos2x)+ 5 2 2 2 2

Видно, что квадратный блок исходного уравнения может быть выражен через квадрат линейного блока:

2 4sin2x− 3cos2x= 2y − 5

Поэтому наше уравнение можно решать с помощью новой неизвестной $y = 2sinx +cosx$ :

y2− 3y +2 =0⇔ y = 1 или y = 2

Возвращаясь к основной неизвестной $x$ , мы получим совокупность из двух уравнений:

[ 2sinx+ cosx =1 2sinx+ cosx =2

⌊ 1- 1- ⌈ cos(x− arccos √15)= √25 cos(x− arccos √5)= √5

⌊ ⌈ x− arccos√15-= ±arccos√15 +2πk,k∈ℤ x− arccos√15-)=± arccos 2√5 + 2πk,k∈ ℤ

⌊ x = π2 + 2πk,k ∈ℤ ||| x = 2πk,k∈ ℤ |⌈ x = 2arccos√15-+2πk,k∈ ℤ x = − π2 + 2arccos√15 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk,2πk,2arccos√1 +2πk,− π +2arccos√1 +2πk, k∈ ℤ 2 5 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94775

Серединный перпендикуляр к боковой стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекает боковую сторону $AB$ в точке $L$ , а продолжение основания — в точке $K$ . Найдите углы треугольника $ABC$ , если известно, что треугольники $ALC$ и $KBL$ равновелики.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть M — середина АС. Тогда KM — серединный перпендикуляр к АС, что из этого следует? И нас просили найти углы АВС, тогда давайте обозначим ∠ACB = α и посчитаем остальные.

Подсказка 2

Да, AK = CK! Чем являются KL и KM? Что тогда можем записать? Условием про серпер воспользовались, теперь нужно использовать равенство площадей... Треугольники не связаны друг с другом, ничего общего у них нет... Тогда стоит поискать ещё равновеликие треугольники и заменить площадь(-и) △ALC или △KBL на какую-то другую или выразить её через другую. И сделать это так, чтобы у новой пары треугольников было что-то общее.

Подсказка 3

KL и KM — биссектрисы, тогда можно записать равенство отношений! А с площадями воспользуйтесь CM = MA. И запишите, какие произведения равны из равенства площадей. Ну и раз уж мы с отношениями работаем — видите подобные треугольники на картинке?

Подсказка 4

Ага, △ABC ~ △KAC! И из этого мы получаем ещё одно равенство отношений. Но даже если посмотреть на все полученные до этого равенства, мы не сможем сделать какой-то вывод, который поможет решить задачу... И всем, что есть на картинке, мы уже воспользовались. Или нет? Какие теоремы нам помогают, когда хотим найти отношение?

Подсказка 5

Теорема Фалеса (обобщённая), Чевы, Менелая... Какая тут поможет? Можно воспользоваться ей или же сделать доп. построение — провести через M среднюю линию △ABC. Так мы сами создадим пару параллельных прямых для теоремы Фалеса!

Подсказка 6

Менелая можно было применить, к примеру, для △ABC и секущей ML. Фалес помогал для секущих KM и KN. Остаётся только воспользоваться всеми найденными соотношениями и заметить что-то хорошее. Попробуйте выразить через них АВ и KB. А дальше останется только простой счёт углов!

Показать ответ и решение

Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BC$ соответственно, $α = ∠ABC$ . Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC, MN ∥AB$ . Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре в $AC$ , отрезки $KA$ и $KC$ равны, откуда $∠KAC =∠KCA = α$ .

$PIC$

В силу условия

SKBL KL ⋅LB LB LM 2 = SAML-= LM-⋅AL-⇔ AL-= 2⋅KL-.

Так как $KL$ — биссектриса треугольника $AKB$ , мы получим

LB-= KB-. AL AK

Кроме того,

2⋅ LM = 2⋅ BN-= BC-. KL KB KB

Тогда из этих двух соотношений

KB- KB- LB- LM- BC- 2 CK = AK = AL = 2⋅KL = KB ⇒ KB =BC ⋅CK.

Треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны по двум углам, откуда

CK AB AB- = BC-⇒ AB2 =BC ⋅CK

Поэтому $KB =AB$ , то есть треугольник $ABK$ равнобедренный. Заметим, что

∠BAK = ∠CAK − ∠CAB = α− (180∘− 2α)= 3α − 180∘,∠AKB = 180∘− 2α.

Мы получаем $∘ ∘ 3α− 180 =180 − 2α$ , откуда $∘ α =72$ . Таким образом, углы $ABC$ и $ACB$ равны $∘ 72$ , а угол $BAC$ равен $36∘$ .

Ответ:

$36∘,72∘,72∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94776

Найдите количество пар натуральных чисел $(a;b)$ , каждое из которых меньше миллиона, удовлетворяющих равенству

Н ОК (a,b+ 1)= HOK (b,a+ 3)

Источники: Бельчонок - 2021, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут главное — вспомнить, что такое НОК! Это наименьшее общее кратное чисел, НОК(x, y) ⋮ x, ⋮ y. А нам хотелось бы наоборот понять, какими свойствами обладают числа a и b, можем ли записать какое-то выражение с их помощью, которое будет делиться на НОКи в левой и правой части?

Подсказка 2

Ага, можем записать произведение a(b+1) к примеру! Оно будет делиться на НОК(a, b+1), а на что ещё? Аналогично можно составить ещё одно произведение из правой части.

Подсказка 3

Выходит, что a(b + 1) ⋮ b, ⋮ (a+3), в каких случаях такое может быть? И ещё выходит, что b(a+3) ⋮ a, ⋮ (b+1). Разберите все возможные варианты и поймите, какими свойствами обладают a и b!

Подсказка 4

После того как определили, как а выражается через b, можно подставить это в изначальное равенство на НОКи и подумать, когда оно возможно. Так там будут встречаться тройки, можно подумать про этот модуль. И найти количество подходящих пар!

Показать ответ и решение

Заметим, что $b(a+ 3)$ делится на НОК $(b,a+ 3)$ , который равен НОК $(a,b+ 1)$ и в свою очередь делится на $a$ . Также $a(b+ 1)$ делится на НОК $(a,b+ 1)=HOK (b,a +3)$ , а последнее выражение делится на $b$ , поэтому $a$ делится на $b$ . Значит, либо $a= b$ , либо $a=$ $3b$ . В первом случае получаем

a(a+ 1)=HOK (a,a+ 3)

следовательно, $a(a+1)= (a+ 3)(a− 2)+ 6$ делится на $a+ 3$ . Таким образом, $a+ 3$ есть делитель 6 , откуда $a= 3,b= 3$ — увы, эта пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем

НО К (3b,b+ 1)=HOK (b,3(b+1))

Если $b$ кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если $b+1$ кратно 3, то правая часть делится на большую степень тройки, чем левая. Если же $b$ дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны $3a(a+1)$ . Итак, требуется найти количество натуральных чисел $b= 3x+ 1$ , таких что $3b< 1000000$ . Их ровно 111111.

Ответ: 111111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94777

Дана квадратная таблица $n× n$ , где $n≥ 2$ . В каждую из некоторых $k$ клеток таблицы ставится по одной фишке так, чтобы в любом квадрате $2 ×2$ было ровно 2 фишки. Найдите все значения $k$ , при которых это можно сделать.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разберите случаи чётного и нечётного n. Попробуйте разбить доску на такие фигурки, в которых мы можем оценить количество фишек!

Подсказка 2

В случае чётного n несложно разбить на квадраты 2 на 2 и оценить общее количество фишек! Но что делать в случае нечётного n? Если мы попробуем разбить на квадраты, то в правом нижнем углу образуется уголок шириной в 1 клетку, в котором мы не сможем явно оценить количество фишек. А если попробовать "затронуть" эту полоску, примыкающую к квадратам?

Подсказка 3

Обратите внимание на полоски площадью 2, примыкающие к квадратам 2 на 2 справа и снизу? Сколько в них должно быть фишек? А что если попробовать скомбинировать в разбиении такие фигуры и квадраты?

Показать ответ и решение

Если $n = 2m$ — четное число, то вся таблица разбивается на $m2 = n2 4$ квадратов $2× 2$ , в каждом из которых находится ровно 2 фишки. Поэтому общее число фишек равно $2 n2- 2m = 2$ .

Пусть теперь $n= 2m +1$ . Разобьем таблицу на квадраты $2× 2$ и фигуры вида:

$PIC$

так, как показано на рисунке:

$PIC$

В любой такой фигуре должна стоять хотя бы одна фишка, иначе в квадрате $2× 2$ , примыкающем к данной, должно быть не менее 3 фишек — противоречие.

$PIC$

Таким образом, общее число фишек в таблице не менее $2m2+ m$

С другой стороны, поскольку в любом квадрате $2× 2$ должно быть ровно 2 пустых клетки (незанятых фишками), то аналогично получаем, что пустых клеток в таблице также не менее $2m2 +m$ . И зн̆ачит, фишек в таблице не более