Тема Бельчонок

Бельчонок - задания по годам → .03 Бельчонок 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Разделы подтемы Бельчонок - задания по годам

Бельчонок до 2020

Бельчонок 2020

Бельчонок 2021

Бельчонок 2022

Бельчонок 2023

Бельчонок 2024

Бельчонок 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34648

В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды несколько бельчат, среди которых был, по крайней мере, один рыцарь, собрались на поляне и сказали по фразе:

$1$ -й бельчонок: “Среди нас ровно один рыцарь.”

$2$ -й бельчонок: “Среди нас ровно два лжеца.”

$3$ -й бельчонок: “Среди нас ровно три рыцаря.”

$. ..$

$2k$ -й бельчонок: “Среди нас ровно $2k$ лжецов.”

$(2k+ 1)$ -й бельчонок: “Среди нас ровно $2k+ 1$ рыцарей.”

Определите количество собравшихся на поляне бельчат.

Источники: Бельчонок-2021, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $k= 0$ подходит. В этом случае бельчонок всего один. Раз по условию среди бельчат есть хотя бы один рыцарь, то этот единственный бельчонок является рыцарем. А его фраза, что рыцарь всего один, верна.

Теперь предположим, что $k ≥1.$ В этом случае бельчат хотя бы трое. Заметим, что слова бельчат с номерами одинаковой чётности противоречат друг другу, потому что они называют разные числа рыцарей (лжецов). Значит, может быть лишь один рыцарь с чётным номером и лишь один рыцарь с нечётным номером. Всего рыцарей, таким образом, не больше двух.

Бельчата с нечётными номерами говорят, что количество рыцарей нечётно. А бельчата с чётными номерами говорят, что количество лжецов чётно, соответственно количество рыцарей по мнению каждого из них тоже нечётно.

По условию на полянке был хотя бы один рыцарь. Значит, хотя бы одно высказывание верно и рыцарей должно быть нечётное число. А если рыцарей не больше двух, то рыцарь может быть только один.

Предположим, что первый является рыцарем. Тогда все остальные — лжецы, а их ровно $2k.$ Значит, бельчонок под номером $2k$ сказал правду, а должен быть лжецом. Противоречие. Значит, первый соврал.

Если первый соврал, то на полянке не один рыцарь. Но мы поняли, что больше одного рыцаря быть не может. В итоге случай $k≥ 1$ невозможен.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73446

Неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a +b + c +abc= 4

Докажите, что

0≤ ab+ bc+ ac− abc≤ 2

Источники: Бельчонок-2021, 8.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $a,b,c$ не могут быть все одновременно быть больше $1,$ это противоречило бы условию. Пусть, например, $a≤ 1.$ Запишем $ab+ bc +ac− abc= ab+ ac +bc(1− a).$ Очевидно, это выражение неотрицательно, и оценка снизу доказана.

Для доказательства оценки сверху рассмотрим три данных числа. Два из них не меньше $1$ или два из них не больше $1,$ пусть такие числа — это $b$ и $c.$ В любом случае $(1 − b)(1− c)≥0.$

В условии $2 2 2 a +b + c +abc= 4$ заменим $2 2 b +c$ на не большее выражение $2bc,$ получим неравенство $2 a +2bc+ abc≤ 4,$ или $2 bc(2+ a)≤ 4− a .$ После сокращения получаем $bc≤2 − a.$ Тогда

ab+ bc +ac− abc≤ ab+ 2− a +ac(1 − b)= 2− a(1− c)(1− b)≤ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94773

Решите уравнение

2 3sin x− 3cosx− 6 sinx+ 2sin2x+ 3= 0.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Запишем левую часть уравнения как стандартный тригонометрический многочлен:

(4sin2x− 3cos2x)− 6(2sinx +cosx)+9= 0

Обозначим линейную часть (без коэффициента -6 ) через $y$ :

y = 2sin x+cosx

и посчитаем величину $y2$ (при этом запишем её как стандартный тригонометрический многочлен):

y2 =4sin2 x+4sinxcosx +cos2x = 41− cos2x+ 2sin2x+ 1+-cos2x = 1(4sin 2x − 3cos2x)+ 5 2 2 2 2

Видно, что квадратный блок исходного уравнения может быть выражен через квадрат линейного блока:

2 4sin2x− 3cos2x= 2y − 5

Поэтому наше уравнение можно решать с помощью новой неизвестной $y = 2sinx +cosx$ :

y2− 3y +2 =0⇔ y = 1 или y = 2

Возвращаясь к основной неизвестной $x$ , мы получим совокупность из двух уравнений:

[ 2sinx+ cosx =1 2sinx+ cosx =2

⌊ 1- 1- ⌈ cos(x− arccos √15)= √25 cos(x− arccos √5)= √5

⌊ ⌈ x− arccos√15-= ±arccos√15 +2πk,k∈ℤ x− arccos√15-)=± arccos 2√5 + 2πk,k∈ ℤ

⌊ x = π2 + 2πk,k ∈ℤ ||| x = 2πk,k∈ ℤ |⌈ x = 2arccos√15-+2πk,k∈ ℤ x = − π2 + 2arccos√15 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk,2πk,2arccos√1 +2πk,− π +2arccos√1 +2πk, k∈ ℤ 2 5 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94775

Серединный перпендикуляр к боковой стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекает боковую сторону $AB$ в точке $L$ , а продолжение основания — в точке $K$ . Найдите углы треугольника $ABC$ , если известно, что треугольники $ALC$ и $KBL$ равновелики.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BC$ соответственно, $α = ∠ABC$ . Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC, MN ∥AB$ . Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре в $AC$ , отрезки $KA$ и $KC$ равны, откуда $∠KAC =∠KCA = α$ .

$PIC$

В силу условия

SKBL KL ⋅LB LB LM 2 = SAML-= LM-⋅AL-⇔ AL-= 2⋅KL-.

Так как $KL$ — биссектриса треугольника $AKB$ , мы получим

LB-= KB-. AL AK

Кроме того,

2⋅ LM = 2⋅ BN-= BC-. KL KB KB

Тогда из этих двух соотношений

KB- KB- LB- LM- BC- 2 CK = AK = AL = 2⋅KL = KB ⇒ KB =BC ⋅CK.

Треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны по двум углам, откуда

CK AB AB- = BC-⇒ AB2 =BC ⋅CK

Поэтому $KB =AB$ , то есть треугольник $ABK$ равнобедренный. Заметим, что

∠BAK = ∠CAK − ∠CAB = α− (180∘− 2α)= 3α − 180∘,∠AKB = 180∘− 2α.

Мы получаем $∘ ∘ 3α− 180 =180 − 2α$ , откуда $∘ α =72$ . Таким образом, углы $ABC$ и $ACB$ равны $∘ 72$ , а угол $BAC$ равен $36∘$ .

Ответ:

$36∘,72∘,72∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94776

Найдите количество пар натуральных чисел $(a;b)$ , каждое из которых меньше миллиона, удовлетворяющих равенству

Н ОК (a,b+ 1)= HOK (b,a+ 3)

Источники: Бельчонок - 2021, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $b(a+ 3)$ делится на НОК $(b,a+ 3)$ , который равен НОК $(a,b+ 1)$ и в свою очередь делится на $a$ . Также $a(b+ 1)$ делится на НОК $(a,b+ 1)=HOK (b,a +3)$ , а последнее выражение делится на $b$ , поэтому $a$ делится на $b$ . Значит, либо $a= b$ , либо $a=$ $3b$ . В первом случае получаем

a(a+ 1)=HOK (a,a+ 3)

следовательно, $a(a+1)= (a+ 3)(a− 2)+ 6$ делится на $a+ 3$ . Таким образом, $a+ 3$ есть делитель 6 , откуда $a= 3,b= 3$ — увы, эта пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем

НО К (3b,b+ 1)=HOK (b,3(b+1))

Если $b$ кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если $b+1$ кратно 3, то правая часть делится на большую степень тройки, чем левая. Если же $b$ дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны $3a(a+1)$ . Итак, требуется найти количество натуральных чисел $b= 3x+ 1$ , таких что $3b< 1000000$ . Их ровно 111111.

Ответ: 111111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94777

Дана квадратная таблица $n× n$ , где $n≥ 2$ . В каждую из некоторых $k$ клеток таблицы ставится по одной фишке так, чтобы в любом квадрате $2 ×2$ было ровно 2 фишки. Найдите все значения $k$ , при которых это можно сделать.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Если $n = 2m$ — четное число, то вся таблица разбивается на $m2 = n2 4$ квадратов $2× 2$ , в каждом из которых находится ровно 2 фишки. Поэтому общее число фишек равно $2 n2- 2m = 2$ .

Пусть теперь $n= 2m +1$ . Разобьем таблицу на квадраты $2× 2$ и фигуры вида:

$PIC$

так, как показано на рисунке:

$PIC$

В любой такой фигуре должна стоять хотя бы одна фишка, иначе в квадрате $2× 2$ , примыкающем к данной, должно быть не менее 3 фишек — противоречие.

$PIC$

Таким образом, общее число фишек в таблице не менее $2m2+ m$

С другой стороны, поскольку в любом квадрате $2× 2$ должно быть ровно 2 пустых клетки (незанятых фишками), то аналогично получаем, что пустых клеток в таблице также не менее $2m2 +m$ . И зн̆ачит, фишек в таблице не более