Бельчонок - задания по годам → .02 Бельчонок 2020

Заметим, что на поляне может быть рыцарей, если все остальные там — лжецы.

Если на поляне хотя бы один рыцарь, то из его слов следует, что на ней есть ещё рыцарь, лжец и хитрец. Если на поляне будет второй лжец, то он скажет правду, поскольку рыцарь, хитрец и второй лжец для него найдутся. Но лжец не может говорить правду. Потому лжец ровно один.

Пусть на поляне хотя бы два хитреца. Тогда каждый из них скажет правду. Значит, до них стояли лжецы. А лжец всего один. Противоречие.

Потому на поляне ровно один хитрец и рыцаря, а хитрец говорит неправду после какого-то из них. Это единственная подходящая нам расстановка при наличии на поляне рыцарей.

Воспользуемся делимостью на 4, чтобы получить ограничение на значение . При имеем

Следовательно, Переберем возможные варианты и выберем те, при которых

Пусть По условию

Рассмотрим дугу описанной окружности Опирающийся на неё центральный угол будет в два раза больше вписанного угла Значит,

Перейдём к рассмотрению окружности, проходящей через точки и Можно найти величину дуги так как мы знаем вписанный угол , опирающийся на неё.

С другой стороны, можно представить в виде суммы дуг и

Угол между хордами и находится как

Тогда

Вычислим величину дуги Используя угол заключенный между хордами и , получим

Угол между секущими и находится как

Поэтому

Cложим последние два равенства и получим

Теперь выражаем через сумму дуг:

Но в самом начале мы показали, что Значит,

Тогда

Из условия имеем:

Так как по условию то

В результате имеем:

Запишем уравнение как

оно эквивалентно системе

Уравнения этой системы имеют решения:

где — целые.

Приравнивая выражения для , получаем уравнение

Поскольку то тогда

Подставляя значение в решение второго уравнения, получаем

Обозначим через знаменатель прогрессии. Тогда по условию

что равносильно соотношению

Нам же требуется доказать, что

По условию задачи значит, Таким образом, достаточно проверить неравенство

которое можно записать в виде тривиального неравенства

Разобьём доску на квадратов В каждый квадрат можно поставить не больше двух фишек (по диагонали этого квадрата). Значит, в каком-то из квадратов стоит одна фишка, в остальных по две фишки. Если в одном квадрате две фишки стоят на чёрных полях, то и в соседнем квадрате две фишки также стоят на чёрных полях. В выделенном квадрате, если он не является угловым, две возможных позиции, чтобы поставить одну фишку, но в двух угловых квадратах по три возможных позиции (см. рисунок).

Столько же расстановок будет, если поставить две первые фишки в квадрате на белые поля. Таким образом, число возможных расстановок равно

Обозначим Заметим, что и делится на тогда и только тогда, когда делится на (*)

Аналогично и делится на тогда и только тогда, когда делится на (**) Запишем соотношение для :

Отсюда видно, что если — делитель то — делитель если — делитель и то — делитель , и так далее, то есть делитель для любого натурального

Будем искать упорядоченные тройки ( ), для которых выполняются условия (*) и (**), то есть и делятся на Пусть имеет простой делитель Тогда делится на , и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел делится на . Но тогда не может делиться на , и значит, на . Пусть делится на , тогда делится на и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел делится на тогда не может делиться на и значит, на . Пусть делится на , тогда делится на и ровно одно из чисел , делится на тогда нечётное и не может делиться на Следовательно, имеет вид где и принимают значения или при этом откуда Подходят тройки