Тема Бельчонок

Бельчонок - задания по годам → .02 Бельчонок 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Разделы подтемы Бельчонок - задания по годам

Бельчонок до 2020

Бельчонок 2020

Бельчонок 2021

Бельчонок 2022

Бельчонок 2023

Бельчонок 2024

Бельчонок 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34646

На поляне в лесу собралось $25$ бельчат. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо хитрец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, хитрецы говорят правду, если предыдущий бельчонок лгал, и лгут, если предыдущий бельчонок говорил правду (хитрец никогда не говорит первым). Каждый бельчонок заявил другим бельчатам: “Среди вас есть хотя бы по одному рыцарю, лжецу и хитрецу.” Сколько рыцарей могло быть на поляне?

Источники: Бельчонок-2020, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как прекрасно, что нам дали конкретное количество бельчат – мы ведь снова может перебрать количество рыцарей от 0 до 25. Что если рыцарей нет? Если такая ситуация возможна, то нужно определить, кто есть кто из остальных бельчат. А вот когда на полянке есть рыцарь, то мы уже можем получить довольно много информации из его уст – зацепитесь за его утверждение и раскрутите, кто может быть кем из остальных.

Подсказка 2

Сильные условия: лжец не может сказать правду и количество хитрецов зависит от количества лжецов/рыцарей за ними. Мы точно знаем со слов рыцаря, что ≥1 лжец и ≥1 хитрец у нас есть – по одному точно должно быть, но попробуйте подобавлять их и с помощью сильных условий получить противоречие!

Показать ответ и решение

Заметим, что на поляне может быть $0$ рыцарей, если все остальные там — лжецы.

Если на поляне хотя бы один рыцарь, то из его слов следует, что на ней есть ещё рыцарь, лжец и хитрец. Если на поляне будет второй лжец, то он скажет правду, поскольку рыцарь, хитрец и второй лжец для него найдутся. Но лжец не может говорить правду. Потому лжец ровно один.

Пусть на поляне хотя бы два хитреца. Тогда каждый из них скажет правду. Значит, до них стояли лжецы. А лжец всего один. Противоречие.

Потому на поляне ровно один хитрец и $23$ рыцаря, а хитрец говорит неправду после какого-то из них. Это единственная подходящая нам расстановка при наличии на поляне рыцарей.

Варианты правильных ответов:

0 или 23
0,23
23,0
23 или 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70328

Выражение $n$ ! означает произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ включительно, т. е. $n!= 1⋅2⋅...⋅n$ . Решите в натуральных числах уравнение

2 2 n!− 4n +18= m +4nm − 20m

Показать ответ и решение

Воспользуемся делимостью на 4, чтобы получить ограничение на значение $n$ . При $n ≥ 4$ имеем

n!− 4n2+ 18≡ 2 ⇒ m2+ 4nm − 20≡ 2⇔ m2 ≡ 2 4 4 4 что невозможно, так как квадраты даю т остатки 0,1,3 по модулю 4.

Следовательно, $n≤ 3.$ Переберем возможные варианты $n$ и выберем те, при которых $m ∈ℕ.$

⌊ | n= 1 и m(m − 16)= 15 ⇒ m ∕∈ℕ ⌈ n= 2 и m(2m − 12)= 4⇒ m ∕∈ℕ n= 3 и m − 8m +12= 0⇒ m = 2;6

Ответ:

$(2,3),(6,3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#87883

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ остроугольного треугольника $ABC$ , пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, а также проходит через центр описанной около треугольника $PQC$ окружности. Отрезки $AQ$ и $BP$ пересекаются в точке $K$ , а $∠ACB = 2∠AKP$ . Найдите $∠ACB$ .

Источники: Бельчонок - 2020, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим угол AKP через х, тогда угол ACB равен 2x. Можно ли выразить ещё какие-то углы через x?

Подсказка 2

Обратите внимание на угол POQ. Он же является центральным в окружности (PCQ).

Подсказка 3

Итак, вы, скорее всего пришли к выводу, что угол POQ равен 4х. Если нет, то обязательно разберитесь, почему это так. Значит, дуга ABQP равна 8х. А можно ли посчитать её величину другим способом?

Подсказка 4

Как насчёт того, чтобы рассмотреть её как сумму маленьких дуг AP, AB и BQ?

Подсказка 5

Чтобы посчитать величину суммы этих дуг, вспомните, как выражается угол между хордами и секущими через высекаемые дуги.

Показать ответ и решение

Пусть $∠AKP =x.$ По условию $∠ACB = 2∠AKP = 2x.$

Рассмотрим дугу $⌣ PQ$ описанной окружности $△PCQ.$ Опирающийся на неё центральный угол $∠P OQ$ будет в два раза больше вписанного угла $∠PCQ.$ Значит, $∠POQ = 4x.$

$PIC$

Перейдём к рассмотрению окружности, проходящей через точки $A$ и $B.$ Можно найти величину дуги $PABQ,$ так как мы знаем вписанный угол $∠POQ$ , опирающийся на неё.

⌣ PABQ = 2∠POQ = 8x

С другой стороны, $⌣ PABQ$ можно представить в виде суммы дуг $⌣ PA,⌣AB$ и $⌣ BQ.$

Угол $∠AKP$ между хордами $AQ$ и $BP$ находится как

∠AKP = ⌣-AP+-⌣-BQ- 2

Тогда $⌣ AP+ ⌣BQ = 2∠AKP = 2x.$

Вычислим величину дуги $⌣AB.$ Используя угол $∠PKQ =180∘− x,$ заключенный между хордами $AQ$ и $BP$ , получим

⌣ AB+ ⌣P Q= 2∠PKQ = 360∘− 2x

Угол $∠ACB$ между секущими $AP$ и $QB$ находится как

∠ACB = ⌣-AB−-⌣P-Q- 2

Поэтому $⌣AB − ⌣P Q= 2∠ACB = 4x.$

Cложим последние два равенства и получим

(⌣AB+ ⌣P Q)+(⌣ AB− ⌣ PQ)= (360∘− 2x)+ 4x

⌣ AB = 180∘+ x

Теперь выражаем $⌣ PABQ$ через сумму дуг:

⌣ PABQ = (⌣P A+ ⌣BQ )+ ⌣ AB =2x +(180∘+ x)= 180∘+ 3x

Но в самом начале мы показали, что $⌣ PABQ = 8x.$ Значит,

∘ 8x= 180 +3x

x= 36∘

Тогда $∠ACB = 2x =72∘.$

Ответ:

$72∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89287

Для различных положительных действительных чисел $a,b$ справедливо равенство

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

Найдите значение выражения

13− a2b− b2a -2+-a2b+-b2a-

Источники: Бельчонок - 2020, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично задаться целью узнать, чему равно (a^2)b+(b^2)a, ведь тогда посчитается искомое выражение. Что вообще можно сделать с равенством, которое дано?

Подсказка 2

Верно, знаменатели нам не полезны, поэтому домножим на них. Дальше логично перенести всё в одну часть и разложить на скобки.

Подсказка 3

Получаем (b-a)((a^2)b+(b^2)a-1)=0. a и b по условию не равны, следовательно нулю равна вторая скобка, цель достигнута, осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

Из условия имеем:

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

ab3+ ab+ a= a3b+ ab+b

3 3 ab − a b+ a− b =0

(b− a)(a2b+ ab2− 1)= 0

Так как по условию $a⁄= b,$ то

a2b+ b2a =1.

В результате имеем:

13− a2b− ab2 13− 1 -2+-a2b+-ab2-= -2+1-= 4

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103394

Решите уравнение

9x 9x 2sin-8 cos-8 +cosx= 2.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает удвоенное произведение? По какой формуле его можно преобразовать?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой синуса двойного угла! Теперь перед нами сумма синуса и косинуса, которая должна быть равна двум. Часто ли такое бывает?

Подсказка 3

И синус, и косинус должен равняться единице! Тогда решим систему уравнений, а затем подумаем, как выразить друг через друга целые переменные в них.

Показать ответ и решение

Запишем уравнение как

9x sin 4 +cosx= 2,

оно эквивалентно системе

{ 9x sin4 = 1 cosx= 1

Уравнения этой системы имеют решения:

{ x= 2π∕9+ 8kπ∕9 x= 2mπ

где $m, n$ — целые.

Приравнивая выражения для $x$ , получаем уравнение

9m =1+ 4k.

Поскольку $9m =8m + m,$ то $m − 1= 4n,$ тогда

m = 4n +1,k= 9(4n-+1)−-1= 9n+ 2. 4

Подставляя значение $m$ в решение второго уравнения, получаем

x =2(4n+ 1)π = 2π+ 8nπ,n = 0,±1,±2,...

Ответ:

$x =2π+ 8πn,n= 0,±1,±2,...$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#103395

Дана возрастающая положительная геометрическая прогрессия $b. n$ Известно, что $b + b − b − b =9. 4 3 2 1$ Докажите, что $b5+ b6 ≥36.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж нам дана геометрическая прогрессия, давайте выразим первые её члены через q (знаменатель прогрессии) и b₁. Как тогда будет выглядеть равенство из условия?

Подсказка 2

В левой части равенства из условия можно вынести b₁, тогда в скобках можно воспользоваться суммой геометрической прогрессии! А что нам нужно доказать? Давайте запишем так же при помощи q и b₁.

Подсказка 3

То, выражение, которое нам нужно оценить, в q⁴ раз больше суммы из условия! Получается, мы можем перейти к неравенству для q ;)

Показать доказательство

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

(3 2 ) b1q + q − q − 1 = 9,

что равносильно соотношению

--9-- b1(q+1)= q2− 1.

Нам же требуется доказать, что

9q4 b6+ b5 = b1q4(q+ 1)= q2− 1-≥36.

По условию задачи $b2 = b1q > b1,$ значит, $q > 1.$ Таким образом, достаточно проверить неравенство

q4 ≥4 (q2− 1),

которое можно записать в виде тривиального неравенства

(q2− 2)2 ≥0.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#103396

Сколькими способами можно поставить $17$ фишек на шахматную доску $6 ×6,$ если фишки нельзя ставить на клетки, имеющие общую сторону?

Источники: Бельчонок - 2020, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Классическая идея в задачах на расстановки: попробуем разбить нашу доску на объекты, относительно которых не так уж и много вариантов размещения.

Подсказка 2

Попробуйте разбить доску на квадратики и разместить фишки в одном из них. Какие ограничения накладываются на остальные?

Подсказка 3

Размещение фишек в одном квадрате почти однозначно задает размещение в остальных. Но сколько вариантов есть разместить одну фишку в каждом из таких квадратов?

Показать ответ и решение

Разобьём доску на $9$ квадратов $2× 2.$ В каждый квадрат можно поставить не больше двух фишек (по диагонали этого квадрата). Значит, в каком-то из квадратов стоит одна фишка, в остальных по две фишки. Если в одном квадрате $2×2$ две фишки стоят на чёрных полях, то и в соседнем квадрате две фишки также стоят на чёрных полях. В выделенном квадрате, если он не является угловым, две возможных позиции, чтобы поставить одну фишку, но в двух угловых квадратах по три возможных позиции (см. рисунок).

$PIC$

Столько же расстановок будет, если поставить две первые фишки в квадрате $2× 2$ на белые поля. Таким образом, число возможных расстановок равно $2⋅(7⋅2+ 2⋅3)= 40.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#103409

Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел $(a,b,c) (a ≤b≤ c),$ для которых $an +bn+ cn$ делится на $a+b +c$ для всех натуральных $2≤ n≤ 12.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумму n-ых степеней a, b и c стоит попробовать выразить через n-ую степень суммы a+b+c. В связи с этим было бы удобно рассмотреть выражение A(n), которое равно сумме n-ых степеней a, b и c. Можно ли найти связь между A(n), A(n-1) и, возможно, другими A(j) (для некоторых j)?

Подсказка 2

Для A(2) получаем A(2) = A²(1) - 2(ab + bc + ca), при этом A(2) делится на a+b+c если и только если 2(ab + bc + ac) делится на A(1). А какое выражение через A(1) и A(2) получится, скажем, для A(3)?

Подсказка 3

Верно! Получится A(3) = A(1)A(2) - (ab + bc + ac)A(1) + 3abc. Тогда A(3) делится на A(1) тогда и только тогда, когда 3abc делится на A(1). А какое выражение будет для случая произвольного n > 3?

Подсказка 4

Конечно! A(n) = A(1)A(n-1) - (ab+bc+ac)A(n-2) + abcA(n-3). В каких случаях A(n) делится на A(1)?

Подсказка 5

Точно! Необходимо и достаточно, чтобы A(1) было делителем A(2) и A(3). А это верно ровно в тех случаях, которые мы заметили в прошлых подсказках! Тогда нужно найти тройки (a,b,c), обладающие двумя свойствами. Как это сделать?

Подсказка 6

Сначала попробуем исследовать свойства подходящих троек. Напомним, нам необходимо, чтобы 3abc и 2(ab+bc+ac) делились на a+b+c. Может ли тогда a+b+c обладать простым делителем, большим 3?

Подсказка 7

Верно, не может, иначе abc делится на p, поэтому хотя бы одно из чисел a,b,c делится на p (и на самом деле ровно одно в силу взаимной простоты!). Тогда ab+bc+ca не делится на a+b+c! Следовательно, все простые делители a+b+c — это 2 или 3. А может ли a+b+c делиться на 9?

Подсказка 8

Верно, не может, ведь тогда (снова из-за взаимной простоты) ровно одно из чисел a, b, c делится на 3, а потому ab+bc+ca не делится на a+b+c. Рассуждая аналогично, легко прийти к тому, что a+b+c и на 4 не делится. Осталось перебрать всего несколько вариантов чисел a+b+c!

Показать ответ и решение

Обозначим $A =an+ bn+ cn. n$ Заметим, что $A = A 2− 2(ab+ bc +ac), 2 1$ и $A 2$ делится на $A = a+ b+ c 1$ тогда и только тогда, когда $2(ab+bc+ ac)$ делится на $A1.$ (*)

Аналогично $A3 = A1⋅A2 − (ab+bc+ ac)A1+ 3abc,$ и делится на $A1 = a+ b+ c$ тогда и только тогда, когда $3abc$ делится на $A1.$ (**) Запишем соотношение для $n> 3$ :

An = A1⋅An−1− (ab+bc+ ac)An−2+ abcAn−3.

Отсюда видно, что если $A 1$ — делитель $A , 2$ то $A 1$ — делитель $A , 4$ если $A 1$ — делитель $A 2$ и $A , 3$ то $A 1$ — делитель $A 5$ , $A , 6$ и так далее, то есть делитель $An$ для любого натурального $n.$

Будем искать упорядоченные тройки ( $a,b,c$ ), для которых выполняются условия (*) и (**), то есть $2(ab +bc+ ac)$ и $3abc$ делятся на $a+ b+ c.$ Пусть $a +b+ c$ имеет простой делитель $p≥5.$ Тогда $abc$ делится на $p$ , и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел $a,b,c$ делится на $p$ . Но тогда $ab+ bc+ ac$ не может делиться на $p$ , и значит, на $a +b+ c$ . Пусть $a+b+ c$ делится на $2 3$ , тогда $abc$ делится на $3,$ и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел $a,b,c$ делится на $3,$ тогда $ab +bc+ac$ не может делиться на $3,$ и значит, на $a+ b+ c$ . Пусть $a +b+ c$ делится на $2 2$ , тогда $abc$ делится на $4,$ и ровно одно из чисел $a,b,c$ , делится на $4,$ тогда $ab+ bc+ac$ нечётное и $2(ab+ bc+ac)$ не может делиться на $4.$ Следовательно, $a+ b+ c$ имеет вид $k m 2 ⋅3 ,$ где $k$ и $m$ принимают значения $0$ или $1,$ при этом $a+b ≥3,$ откуда $3≤ a+ b+c≤ 6.$ Подходят тройки $(1,1,1),(1,1,4).$

Ответ:

$(1,1,1);(1,1,4).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126025

Около пятиугольника $ABCDE$ описана окружность, $P$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD, Q$ — точка касания отрезка $CE$ и описанной около треугольника $ABP$ окружности. Найдите $∠CQP,$ если известно, что $∘ ∠ECD = 40 .$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем обозначения: ∠CQP = x, ∠ECA = α. Какие углы им равны?

Подсказка 2

Заметим, что ∠QBP = x как вписанный угол, опирающийся на дугу QP, ∠ABE = α как вписанный угол, опирающийся на дугу AE. Попробуйте посчитать другие углы.

Подсказка 3

Докажите, что ∠QPA = x + α.

Подсказка 4

Заметим, что ∠QPA = ∠QBA. Чему равен ∠QBE?

Подсказка 5

∠QBE = ∠QBA - ∠ABE = x. Мы знаем ∠ECD, хотелось бы выразить через него x.

Подсказка 6

Чему равен ∠DBE?

Подсказка 7

С одной стороны, ∠ECD = ∠DBE = 40°, как ещё можно выразить ∠DBE?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $∠CQP =x,$ $∠ECA =α.$ Тогда $∠QBP =x$ как вписанный угол, опирающийся на дугу $QP;$ $∠ABE =α$ как вписанный угол, опирающийся на дугу $AE.$

Далее, $∠QP A= x+ α$ как внешний угол в треугольнике $QP C,$ тогда $∠QBA =x +α$ как угол, опирающийся на ту же дугу. Теперь находим, что $∠QBE = ∠QBA − ∠ABE = x.$

Таким образом, $∠DBE = ∠QBP + ∠QBE = 2x,$ при этом $∠DBE = ∠DCE =40∘.$ Значит, $2x= 40∘,$ $x =20∘$ и $∠CQP = 20∘.$

Ответ:

$20∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126026

Решите систему уравнений

{ sin7x+ sin4x= 1 sin27x+ sin24x =1

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во втором уравнении мы видим квадраты синусов. Что можно сделать с квадратами, если мы получим квадраты синусов из первого уравнения?

Подсказка 2

Хотя бы один из двух синусов равен 0, тогда чему равен синус другого угла?

Подсказка 3

Решите две системы уравнений в целых числах.

Подсказка 4

Одна из систем не имеет решений, почему?

Подсказка 5

Вторая система дает решение: x=-π/2+2πn. Проверьте, везде ли переходы были равносильными?

Показать ответ и решение

Возведём первое уравнение в квадрат и вычтем из второго, получим $− 2 sin7xsin4x= 0,$ значит, система распадётся на две:

⌊ { sin7x= 0 || || { sin4x= 1 |⌈ sin7x= 1 sin4x= 0

Решения уравнения первой системы:

( mπ ||{ x= -7- | π kπ , где m,k∈ ℤ |( x= 8 +-2

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $8m = 7+ 28k,$ у которого нет решений в целых числах, так как слева чётное число, а справа нечётное.

Решения уравнения второй системы:

( m π ||{ x= -4- | π 2kπ , где m, k∈ℤ |( x= 14 +-7-

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $7m= 2+ 8k.$ Поскольку $2+ 8k= 7k+ k+2,$ то $k +2 =7n,$ тогда $k =7n− 2,m= 2-+8(7n-− 2) =8n− 2. 7$ Подставляя значение $n$ в решение второго уравнения, получаем

(8n-− 2)π π x= 4 = − 2 + 2πn, где n =0,±1,±2,...

Проверка показывает, что найденные значения $x$ удовлетворяют уравнениям системы.

Ответ:

$− π + 2πn, где n∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126027

Натуральное число $N$ имеет 30 делителей, а число $5N$ имеет 40 делителей. Приведите пример такого числа.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой вид может иметь число N?

Подсказка 2

Пусть N = 5ᵏ ⋅ m, где m не делится на 5.

Подсказка 3

Обозначим d(a) как количество делителей a. Вычислите d(N) и d(5N).

Подсказка 4

d(N) = (k + 1)d(m), d(5N) = (k + 2)d(m). Запишите соотношение и подберите m.

Показать ответ и решение

Пусть $N$ имеет вид $5k⋅m,$ где $m$ не делится на $5.$ Обозначим как $d(a)$ число делителей $a.$ Тогда

d(N)= (k+1)d(m ), d(5N) =(k+ 2)d(m)

Отсюда получаем, что

k+-2 4 k+ 1 = 3

k= 2

Осталось подобрать число $m,$ имеющее $10$ делителей. Подойдет, например, число $m = 3⋅24.$

Ответ:

$52⋅3⋅24$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126028

Фигура (см. рисунок) состоит из одинаковых квадратных клеток, и две из них покрасили в синий цвет, а остальные клетки остались белыми. Сколько существует таких раскрасок, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются за одну?

$PIC$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала поймём, сколько всего существует способов раскрасить в синий 2 клетки на поле. Ведь это же можно легко посчитать! Действительно, количество способов равно 21 × 20 / 2 = 210.

Подсказка 2

Теперь давайте подумаем, сколько из этих раскрасок являются центрально-симметричными. Для того, чтобы раскраска была центрально-симметричной, необходимо выбрать любую клетку поля, отличную от центральной, и ей будет соответствовать одна симметричная. Получается, что таких раскрасок целых 10 штук!

Подсказка 3

Чтобы решить задачу, необходимо учесть подсказки 1 и 2, а также понять, сколько раскрасок можно получить поворотом из центрально-симметричных и не являющихся центрально-симметричными.

Показать ответ и решение

Всего способов выбрать две чёрные клетки $C2 = 21⋅20-=210. 21 2$ Если синие клетки центрально-симметричны, то для каждой такой раскраски можно поворотом (на $∘ 90$ ) получить ещё ровно одну раскраску. Всего центрально-симметричных раскрасок $20- 2 =10$ (в качестве первой клетки можно выбрать любую, кроме центральной, вторая клетка определяется из симметрии относительно центра единственным образом). Остальных раскрасок $210− 10= 200,$ и из каждой такой раскраски можно поворотом получить ещё три раскраски. Таким образом, число раскрасок, различных при поворотах, равно $10 200- 2 + 4 =55.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126029

Даны 50 неотрицательных чисел $a ≤ a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤ a . 1 2 49 50$ Сумма первых 48 чисел не превышает 50, и сумма двух последних также не превышает 50. Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $2 2 2 2 A =a1+ a2+ ⋅⋅⋅+a49+ a50,$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить как-то один из одночленов. Удобно оценить a₅₀. Действительно а₅₀ ≤ 50 - a₄₉. Теперь необходимо дать оценку на сумму квадратов, также удобно использовать, что сумма всех чисел не превышает 100.

Подсказка 2

Давайте учтём 2 ограничения из предыдущей подсказки и немного преобразуем наше неравенство. Надо постараться разложить полученное выражение на множители. Ага! Мы получили хорошую оценку на сумму квадратов, теперь надо понять, когда она достигается.

Подсказка 3

Давайте рассмотрим случай, когда может достигаться максимум. Необходимо, чтобы какое-то количество переменных обнулилось, а остальные равнялись какому-то одному числу. Находим 2 подходящих варианта и доказываем, почему другие подойти не могут.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $a ≤50− a 50 49$ и $a + a +...+a + a ≤ 100. 1 2 49 50$ Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a49+ a50 ≤ a1 +a2+ ...+ a49+ (50 − a49)=

2 2 2 2 2 2 2 2 = 50 + a1+ a2+...+2a49− 100a49 ≤50 + a1 +a2+ ...+ 2a49− (a1 +a2+ ...+ a49+ a50)a49 =

= 502+a (a − a )+a (a − a )+...+ a (a − a )+a (a − a ) 1 1 49 2 2 49 48 48 49 49 49 50

Поскольку все выражения в скобках неположительны, максимальное значение $A$ не превышает $502,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, обращаются в $0,$ а ограничение $a49+a50 ≤ 50$ выполняется как равенство. Заметим, что если все выражения в скобках одновременно равны $0,$ то максимум не достигается. Пусть $a1 =a2 = ...= ak = 0,ak+1 = ak+2 = ⋅⋅⋅= a50 =a.$ Если $k =49,$ получаем последовательность $(0,0,...,50),$ для которой достигается максимум $502.$ Если $k∈ {48,47},$ получаем соответственно последовательности $(0,0,...,0,25,25)$ и $(0,0,...,0,25,25,25),$ для которых максимум не достигается. Если $k= 46,$ получаем последовательность $(0,0,...,0,25,25,25,25),$ для которой достигается максимум $502.$ При $k< 46$ нарушаются ограничения $(a49 +a50 = 50,ak+1 = ak+2 =...=a50 = 25,$ но сумма первых $48$ чисел не превышает $50,$ значит, среди них может быть не больше двух элементов, равных $25).$

Ответ:

$502,$ достигается на $(0,0,...,50)$ и $(0,0,...,0,25,25,25,25)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126030

Квадрат $5× 5$ расчертили на 25 одинаковых клеток, и две из них покрасили в синий цвет, а остальные клетки остались белыми. Сколько существует таких раскрасок, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются за одну?

Источники: Бельчонок - 2020, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала поймём, сколько всего существует способов раскрасить в синий 2 клетки на поле. Ведь это же можно легко посчитать! Действительно, количество способов равно 25 × 24 / 2 = 300.

Подсказка 2

Подсказка 3

Показать ответ и решение

Всего способов выбрать две синие клетки $C2 = 25⋅24-=300. 25 2$ Если выбранные клетки симметричны относительно центра, то из такой раскраски можно получить еще ровно одну (поворотом на $∘ 90$ ). Чтобы построить такую раскраску, достаточно выбрать любую из $24$ не центральных клеток, а вторая определяется однозначно). Итого $24 2 = 12$ раскрасок.

Остальных раскрасок $300− 12 =288,$ из каждой такой раскраски можно поворотом на $∘ 90$ получить еще 3 раскраски. Таким образом, число раскрасок, различных при поворотах, равно $12- 288- 2 + 4 = 78.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126031

Даны 30 действительных чисел $a (1 ≤i≤ 30), i$ удовлетворяющих условиям:

(| 0≤a ≤a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤a { a +1a + 2⋅⋅⋅+ a ≤ 2930 30 |( 1 2 28 a29+ a30 ≤30

Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $A = a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2+ a2, 1 2 29 30$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать условия из системы и получить новую оценку.

Подсказка 2

Например, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉. Примените это ко 2 неравенству системы.

Подсказка 3

Получится, что a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Тогда какую оценку можно получить для A?

Подсказка 4

С одной стороны, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉, можно заменить a₃₀ на 30 - a₂₉. Раскройте скобки.

Подсказка 5

Теперь воспользуемся a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Приведите подобные слагаемые.

Подсказка 6

Получим следующее выражение: 30² + a₁(a₁ - a₂₉) + a₂(a₂ - a₂₉) + … + a₂₈(a₂₈ - a₂₉) + a₂₉(a₂₉ - a₃₀). Заметьте, что числа упорядочены по неубыванию.

Подсказка 7

Значит, все выражения в скобках неположительны. Какое максимальное А тогда возможно?

Подсказка 8

Максимальное значение A не превосходит 30². Когда такое возможно?

Подсказка 9

Когда все слагаемые, начиная со второго, равны 0, а ограничение a₂₉ + a₃₀ ≤ 30 обращается в равенство.

Подсказка 10

Если все выражения в скобках равны 0, то a₁ = a₂ = ... = a₃₀ ≤ 60/30 = 2. Какую оценку можно тогда написать для A?

Подсказка 11

А не превосходит 30 ⋅ 2² < 30², следовательно, максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны 0, а начиная с некоторого k будут равны a. Рассмотрите возможные k.

Подсказка 12

Например, если k = 29, получим последовательность (0,0,...,0,30), для которой максимум в 30² достигается.

Подсказка 13

При k < 26 воспользуйтесь условием a₂₉ + a₃₀ = 30.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

a30 ≤30− a29, a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤60

Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤ a1 +a2+ ...+ a29+ (30 − a29)=

= 302+a2+ a2+ ...+ 2a2 − 60a29 1 2 29

Подставляя неравенство на сумму чисел, получаем

302 +a21+ a22+ ...+2a229− 60a29 ≤ 302+ a21+ a22 +...+ 2a229 − (a1+a2 +...+ a29+a30)a29,

что равно

302+ a1(a1− a29)+a2(a2− a29)+...+a28(a28− a29)+a29(a29− a30)

Так как числа упорядочены по неубыванию, то все выражения в скобках неположительны. Тогда максимальное значение $A$ не превосходит $302,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, равны $0,$ а ограничение $a29+ a30 ≤30$ обращается в равенство.

Если же все в выражения скобках будут равны нулю, то $a1 =a2 =...=a29 = a30 ≤ 6300 =2.$ $A$ в таком случае не превосходит $30⋅22 < 302.$ Максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны нулю, а начиная с некоторого $k$ будут равны $a :$

a1 = a2 = ...= ak = 0, ak+1+...+a30 = a

Если $k= 29,$ получаем последовательность $(0,0,0,...,0,30),$ для которой максимум в $302$ достигается.

Если $k= 28$ или $k =27,$ то получаем $(0,0,0,...,0,15,15)$ и $(0,0,0,...,0,15,15,15),$ для которых максимум не достигается.

Если $k= 26,$ то получаем последовательность $(0,0,0,...,0,15,15,15,15),$ для которой достигается максимум в $302.$

Если $k< 26,$ то при условии $a29+a30 = 30,$ получаем, что последние $30 − k >4$ членов последовательности равны $15.$ Тогда сумма всех элементов будет больше 60 — противоречие с условием.

Ответ:

$302,$ последовательности $(0,0,...,30)$ и $(0,0,...,0,15,15,15,15).$

Предыдущая подтема

Следующая подтема