Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Межвед - задания по годам → .01 Межвед до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Разделы подтемы Межвед - задания по годам

Межвед до 2020

Межвед 2020

Межвед 2021

Межвед 2022

Межвед 2023

Межвед 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79623

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что для целых x и y выражение вида (x + y√2)ⁿ для всех n будет принимать тот же вид, то есть (x + y√2)ⁿ = x₁ + y₁√2, где x₁ и y₁ тоже целые числа.

Подсказка 2

Если найти такие целые x и y, что (x + y√2)ⁿ будет больше нуля, но меньше 0.001 при каком-то n, то 1 - (x + y√2)ⁿ будет в нужном нам по условию диапазоне. Какие x и y могут подойти для этого?

Подсказка 3

При x = -1 и y = 1 мы сможем получить число в промежутке от 0 до 0.001, так как √2 – 1 < 1/2. Тогда какой степени n точно будет достаточно, чтобы (√2 - 1)ⁿ было меньше 0,001?

Подсказка 4

√2 – 1 < 1/2, значит, (√2 - 1)¹⁰ < (1/2)¹⁰ < 1/1024 < 1/1000. Остается найти (√2 - 1)¹⁰ и вычесть данное число из единицы!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Мы знаем, что $√- 1.414213562< 2< 1.414213563$ . Давайте посчитаем приближения $√- x⋅ 2$ для маленьких $x$ и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что $√- 7.07106781< 5 2< 7.071067815$ . Теперь давайте посмотрим на $√- (5 2− 7)y$ и найдем такое $y$ , чтобы это число было близко к 1. Получим $√- 0.99494934< 14(5 2 − 7)< 0.99494941$ . Повторим эту операцию еще раз уже для $√- √ - 0.00505059< (1− 14(5 2− 7))t= (99− 70 2)t< 0.00505066t$ . Тогда при $t= 198$ мы получаем $√- 1 <198(99− 70 2)< 1.00003068$ . Значит, $√ - 0.999< 2− 198(99− 70 2)< 1$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $√- 2B2−A2 A+ B ⋅ 2= B√2−A-$ . Давайте найдем такие положительные $x$ и $y$ , что $2 2 |x − 2y |=1$ и $√- x+ y 2> 1000$ . Их можно таким способом. Начнем с $x =y =1$ . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим ( $x$ , $y$ ) на ( $x+2y$ и $x+ y$ ). Тогда $|(x+ 2y)2− 2(x +y)2|=|− x2− 2y2|=1$ и первое условие остается выполненным, а $√- x+ y 2$ увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных $x,y$ .

(1,1)→ (3,2)→ (7,5)→ (17,12)→ (41,29)→ (99,70)→ (239,169)→ (577,408)

Значит, при $x= 577$ и $y = 408$ мы знаем, что $2 2 x − 2y =1$ (так как знак постоянно меняется) и $√- x+ y 2> 1000$ . Значит,

1 x2− 2y2 √- x2 − 2y2 1− 1000 < 1− x+-y√2-=1 − (x− 2y)=1 −-x+y√2-< 1

Ответ:

$A = −3362, B = 2378$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100846

В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Известно, что $S = S = 3,BC = 3√2,cos∠ADC = √3- ABO CDO 2 10$ . Найдите синус угла между диагоналями этого четырёхугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.

Показать ответ и решение

Докажем, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Пусть $x ,x,y ,y 1 2 1 2$ — отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через $a$ .

$PIC$

По условию площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны, то есть

1 1 2x1y2sin a= 2x2y1sin a

Отсюда

x1 = y1, x2 y2

и, следовательно, треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по первому признаку подобия: две стороны ( $x1$ и $y1$ ) треугольника $BOC$ пропорциональны двум сторонам ( $x2$ и $y2$ ) треугольника $AOD$ , а углы, образованные этими сторонами ( $∠BOC$ и $∠AOD$ ), равны. Пусть $k = x1 = y1 x2 y2$ — коэффициент подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ . Обозначим через $S$ площади треугольников $ABO$ и $CDO$ (по условию $S = 3 2$ ). Тогда $SBOC = k⋅S$ и $SAOD = S∕k$ . В итоге, площадь четырехугольника $ABCD$ может быть представлена в виде:

( 1) SABCD = SAOD+ SCDO +SBOC + SABO =2S +S k+ k

Известно, что для $k> 0$ минимальное значение выражения $1 k +k$ достигается при $k= 1$ . Значит, $x1 = x2$ и $y1 = y2$ , то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $ABCD$ — параллелограмм. Его площадь $SABCD = 4S = 6$ .

Для нахождения синуса угла между диагоналями воспользуемся тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

SABCD = 1⋅AC ⋅BD ⋅sin a= 2SABCD- 2 AC ⋅BD

Чтобы найти длины диагоналей, вычислим сторону $CD$ , записав формулу для площади параллелограмма

SABCD = 4S = AD ⋅CD ⋅sin∠ADC

CD = -----4S----- = ---∘-4⋅ 32----= 2√5 AD ⋅sin∠ADC 3√2- 1− (√3-)2 10

Теперь найдем диагонали $AC$ и $BD$ по теореме косинусов из треугольников $ADC$ и $BCD$ :

AC = ∘AD2-+-CD2-− 2-⋅AD-⋅CD-⋅cos∠ADC-=√2- ∘---------------------------- √-- BD = AD2 + CD2+ 2⋅AD ⋅CD ⋅cos∠ADC = 74

Подставив найденные значения в соотношение (1), получим $√6- sina = 37$ .

Ответ:

$√-6- 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73687

Найдите все четные натуральные числа $n,$ у которых число делителей (включая $1$ и само $n$ ) равно $n. 2$ (Например, число $12$ имеет $6$ делителей: $1,2,3,4,6,12.$ )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте оценить сверху количество делителей числа n.

Подсказка 2

Пусть pq = n и p ≤ q. Какую верхнюю оценку можно сделать на p? Как из нее вывести оценку на количество делителей?

Подсказка 3

Правильно! p ≤ √n, а, значит, делителей p ≤ 2√n. Осталось только решить неравенство n/2 ≤ 2√n и перебрать случаи.

Показать ответ и решение

Все делители числа $n$ разбиваются на пары $(d,n),d ≤ n . d d$ Заметим, что $d≤ √n,$ поскольку $n = d⋅ n≥ d2. d$ Но тогда понятно, что количество таких пар не превосходит $√ - [ n],$ а количество делителей $n$ — не больше $√- 2[n].$ В данном случае нам хватит оценки $√- 2 n.$

По условию количество делителей равно $n 2.$ Следовательно, получим неравенство $n √ - 2 ≤ 2 n.$ Решая его в натуральных числах, получаем, что $n ≤16.$ Перебирая чётные $n,$ находим подходящие $n= 8$ и $n= 12.$

Ответ:

$8,12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88132

Найдите все чётные натуральные числа $n$ , у которых число делителей (включая 1 и само $n$ ) равно $n 2$ . (Например, число 12 имеет 6 делителей: $1,2,3,4,6,12$ .)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а что мы вообще знаем о количестве делителей? Быть может, можно его как-то оценить, чтобы ограничить n?

Подсказка 2

Заметим, что делители делятся на пары, в каждой из которых хотя бы одно числа не превосходит sqrt(n). Как тогда оценить количество делителей сверху?

Подсказка 3

Количество делителей н превосходит 2*sqrt(n)! Что тогда можно сказать про n?

Подсказка 4

n не превосходит 16! Осталось лишь понять, какой вид имеет число при разложении на простые и понять, какие степени простых могут в него входить ;) А чему равно количество делителей?

Подсказка 5

Количество делителей равно произведению степеней, в которых простые числа входят в n, увеличенных на единицу!

Показать ответ и решение

Если $d$ — делитель числа $n$ , то $n d$ — тоже делитель числа $n$ . Хотя бы одно из этих двух чисел не превосходит $√n.$ Поэтому число делителей не превосходит $√- 2 n.$

По условию число делителей равно $n 2.$ Следовательно, $n √- 2 ≤2 n =⇒ n ≤16.$

Разложим число $n$ на возможные простые множители:

a b c d n= 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7

Из условия на количество делителей

(a+ 1)(b+1)(c+ 1)(d+ 1)= n= 2a−1⋅3b⋅5c⋅7d 2

следует, что при $a +1≥ 5$ правая часть строго больше левой:

a−1 b c d 2 >a +1, 3 ≥ b+1, 5 ≥ c+ 1, 7 ≥d+ 1.

Поэтому и каждая из скобок в левой части меньше 5, так что $5c = 1,7d =1,$ остаётся перебрать три случая в равенстве

a−1 b (a+ 1)(b+1)= 2 ⋅3.

$a =1$ быть не может, так как тогда левая часть чётна, а правая часть нечётна.
при $a= 2$ единственным решением $3(b+ 1)= 2⋅3b$ является $b= 1 =⇒ n =12.$
при $a= 3$ единственным решением $4(b+ 1)= 4⋅3b$ является $b= 0 =⇒ n =8.$

Ответ: 8 и 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90861

Сравните числа

( 2017 2016 )2018 ( 2018 2017 2017 10 + 10 +⋅⋅⋅+ 10+ 1 и 10 + 10 +⋅⋅⋅+10+ 1)

Показать ответ и решение

( )2018 (102018− 1)2018 102017+102016+ ⋅⋅⋅+ 10 +1 = ----9---

( ) (102018+102017+ ⋅⋅⋅+ 10 +1)2017 = 102019−-1 2017 9

Значит, нам нужно сравнить $2018 2018 (10 − 1)$ и $2019 2017 9(10 − 1)$ . Вынесем из первого числа $20182 10$ и применим неравенство Бернулли:

2 1 2 2018 2 (102018− 1)2018 = 102018(1− 102018)2018 ≥102018 (1− 102018)> 9⋅102018 −1 =

( 2019 )2017 = 9⋅102017⋅2019 > 9(102019− 1)2017 > 10-−-1 9

Ответ:

$(102017+ 102016 +⋅⋅⋅+ 10+ 1)2018 >(102018+ 102017+ ⋅⋅⋅+ 10+1)2017$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98589

Произведение положительных чисел $a$ и $b$ больше $1.$ Докажите, что для любого натурального $n ≥2$ верно неравенство

n n n n (a+ b) > a + b + 2 − 2.

Показать доказательство

По биному Ньютона:

∑n n−∑ 1 (a+ b)n = Cknakbn−k = an+ Cknakbn−k+ bn k=0 k=1

При $a= b= 1$ получим

∑n k n Cn = 2 k=0

n−∑ 1 k n Cn = 2 − 2 k=1

Так как $ab> 1,$ то справедливо следующее неравенство:

Cknakbn−k+ Cnn−kan− kbk ≥ 2⋅Ckn√anbn->2⋅Ckn =Ckn+ Cnn−k

Тогда

n∑−1Ckakbn−k > n∑−1Ck= 2n− 2 k=1 n k=1 n

Таким образом, получаем

n−1 (a+ b)n =an +∑ Ckakbn−k+ bn >an +bn+ 2n− 2 k=1 n

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49013

Про пятиугольник $ABCDE$ известно, что

0 0 AB = BC = CD = DE,∠B = 96 ,∠C = ∠D = 108 .

Найдите $∠E.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть много равных отрезков, а значит, равнобедренных треугольников! Какие из них наиболее выгодно рассмотреть?

Подсказка 2

Часто в самых разных задачах по математике выгодно придерживаться некоторой симметрии. У нас точки C и D как бы равноправны, поэтому давайте рассмотрим равнобедренные треугольники EDC и BCD и посчитаем их углы.

Подсказка 3

Теперь можно продолжить считать разные углы на картинке, пока не заметим что-нибудь интересное. Посчитайте все углы треугольников EFD и BFC (F - точка пересечения EC и BD). Что вы замечаете?

Подсказка 4

Эти треугольники равнобедренные! А значит, у нас ещё больше равных отрезков и где-то на картинке скрывается равносторонний треугольник...

Подсказка 5

Треугольник ABF оказывается равносторонним, и это помогает нам добраться до угла E!

Показать ответ и решение

$PIC$

Давайте пересечем $CE$ и $BD$ в точке $F$ . $180∘−∠C- ∘ ∠BDC = ∠DBC = 2 =36$ из равнобедренности $DCB$ . Аналогично, $∘ ∠ECD =∠CED = 36$ . Тогда $∘ ∠BF C = 72$ и из этого следует, что $∘ ∠BCF = 72$ . Значит, $BF = BC$ . Аналогично, $EF = ED$ .

$PIC$

Теперь посчитаем $∘ ∠ABF =∠ABC − ∠DBC =60$ . Значит, $AF = AB =BF = EF$ . Отсюда следует, что $∘ ∠AF E =48$ , $∘ ∠AEF = 66$ , $∘ ∠E = ∠AEC + ∠CED = 102$ .

Ответ:

$102∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#98020

Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов: $A,B$ и $C$ . Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида $A$ содержится $10%$ раствор этого вещества, в пробирках $B$ — 20 % раствор и в C — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости $20,17%$ раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида $C$ может быть при этом использовано?

Показать ответ и решение

Пусть пробирок вида $A,B$ и $C$ взяли соответственно $a,b$ и $c$ штук. По условию

0,1a +0,2b+ 0,9c= 0,2017(a+ b+ c)⇔ 1000(a+ 2b+ 9c)= 2017(a+ b+c)

Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы $a+ b+ c$ равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть докажем, что существуют неотрицательные целые числа $a,b$ и $c$ такие, что

(| a +b+ c= 1000 { a +2b+ 9c=2017 |( a ≤500,b≤500,c ≤500

Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим

a =7c− 17,b= 1017 − 8c

Подставив эти выражения в последние три неравенства системы, получим

7c≤ 517,8c≥518,c ≤500

Отсюда наибольшее значение $c$ равно 73. Ему соответствующие значения $a= 7c− 17,b= 1017− 8c$ удовлетворяют неравенствам системы. Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы доказана.

Ответ:

Наименьшее количество переливаний равно 1000. При этом могут быть использованы максимум 73 пробирки вида $C$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90860

Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n> 2015$ и

√----- √----- [ 9n+ 2]⁄=[ 9n+ 4].

Здесь скобки [ ] обозначают целую часть числа. (Напомним, что целой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$ . Например, $[3,7]=3$ .)

Показать ответ и решение

Заметим, что из этого неравенства следует, что

√----- √ ----- √----- √ ----- [9n +2]≤ 9n+ 2< [9n +4]≤ 9n+ 4

Пусть $t=[√9n+-4]$ . Тогда $9n+ 2< t2 ≤9n+ 4$ . Мы знаем, что $t2$ не может давать остаток 3 при делении на 9, так как тогда $t2$ делится на 3, но не делится на 9. Значит, $t2$ может быть равно только $9n+ 4$ . Заметим, что $t2 = 9n +4 >9 ⋅2015+ 4$ и $t> 134$ . Число $t$ не равно 135 и 136 , так как $t2 ≡4 (mod 9)$ . Значит, $n= t2−4≥ 1372−4= 2085 9 9$ и $n =2085$ подходит.

Ответ: 2085

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#78850

В трапеции, площадь которой равна 1, каждая сторона поделена на три равные части. Соответствующие точки соединены отрезками, как показано на рисунке:

$PIC$

Найдите площадь заштрихованной фигуры, если известно, что нижнее основание трапеции в два раза больше верхнего.

Источники: Межвед-2014, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим нашу искомую площадь за S. Давайте сначала вспомним, что нам известно. Нам дали отношение оснований и площадь трапеции. О чём нам на самом деле говорит условие про отношение оснований? Как можно по другому его сформулировать?

Подсказка 2

Верно, раз мы знаем отношение оснований, то мы знаем коэффициент подобия треугольников, которые образуются пересечением оснований. И давайте, чтобы у нас хоть что-нибудь было, мы запишем площадь трапеции. Но как её будет удобнее всего записать? Вспомним, что наша искомая площадь находится в нижнем треугольнике.

Подсказка 3

Да, давайте выразим площадь трапеции через нижнее основание и высоту этого треугольника. Понятно, что через подобие основание и высота верхнего треугольника выражаются через нижний. Что же теперь? Мы получили, что произведение основания на высоту треугольника равно 8/9, то есть по сути мы знаем его площадь. Значит, какая у нас из-за этого появляется цель, чтобы найти исходную площадь?

Подсказка 4

Верно, нам нужно попытаться выразить S через треугольник. Попробуем это сделать. Какое есть свойство площадей у треугольников с общим углом? Ещё не стоит забывать про подобие.

Подсказка 5

Верно, это свойство о том, что отношение площадей равно отношению произведению прилежащих к общему углу сторон треугольников. Отсюда мы можем найти площадь "средних" треугольников внутри. Теперь можно через коэффициент подобия найти площадь маленького треугольника посередине. Осталось только выразить S через площадь большого, и победа!

Показать ответ и решение

Обозначим через $S = S ONRQ$ площадь заштрихованной фигуры.

$PIC$

По свойствам площадей треугольников с общим углом имеем:

SAOD-= 3⋅3= 9, SEQD 2⋅2 4

отсюда

4 5 SEQD = 9SAOD =⇒ SAOQE = SPNOD = 9SAOD

В то же время треугольник $ERP$ подобен треугольнику $AOD$ с коэффициентом подобия $1 3,$ значит

1 SERP = 9SAOD =⇒ SAOQE + SPNOD +SERP − S = SAOD

5 5 1 2 9SAOD+ 9SAOD − 9SAOD − S = SAOD =⇒ S = 9SAOD

При этом, $BC-+-AD- SABCD = 2 (h1+ h2),$ где $h1$ — высота треугольника $BOC$ и $h2$ — высота треугольника $AOD.$ Ясно, что $h1 = 1 2$ в силу подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ с коэффициентом $1. 2$ Следовательно:

SABCD = BC-+-AD-(h1+ h2)= 3⋅AD-⋅ 3h2 = 1 =⇒ AD⋅h2 = 8 2 4 2 9

И в итоге:

S = 2S = 2⋅ 1 ⋅AD ⋅h =-8 9 AOD 9 2 2 81

Ответ:

$-8 81$

Следующая подтема