Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .03 КФУ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91880

Существует ли такая непостоянная функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, что при всех действительных $x$ выполняется равенство

(a) $f(sinx)+ f(cosx)=1$ ;

(b) $f(sinx)− f(cosx)=1$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.2 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка

Для каждого из двух пунктов нужно либо привести пример такой функции, либо предположить её существование и прийти к противоречию. В пункте (а) если это верно, то на всей числовой прямой должно выполняться такое тождество для суммы функций синуса и косинуса одного и того же аргумента. Мы знаем не так уж много тригонометрических тождеств!

Пункт б, подсказка 1

По аналогии с (а) подобрать тождество здесь не получается. В аргументах функции f — синус и косинус. Какие значения x можно выбрать, чтобы аргументы функции приняли наиболее простой вид?

Пункт б, подсказка 2

Можно подставить х:=0, тогда синус примет значение 0, а косинус — 1. По аналогии с этим подставим еще одно значение x, и получим противоречие!

Показать ответ и решение

(a) Рассмотрим $f(x)= x2,$ тогда условие принимаем вид

sin2x+ cos2x= 1

Это основное тригонометрическое тождество, оно верно для любого $x.$

(b) Допустим, что такая функция есть. Пусть $x= 0,$ тогда

f(0)− f(1)= 1

Теперь пусть $π x= 2,$ тогда

f(1)− f(0)= 1

Сложим полученные равенства, получим

0= 2

противоречие.

Ответ:

(a) да;

(b) нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94246

Даны три целых числа. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего, а из третьего вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности равняться соответственно

a) $2,3,4$ ?

б) $3,4,5$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем даже не про пункты, а про общую идею задачи. Если мы хотим доказывать, что ответ — "да", то надо бы придумывать пример. Пример хотелось бы строить простой, а если числа хотя бы двузначные, то уже суммы цифр какие-то надо считать. Не годится. Поэтому если в каком-то пункте ответ "да", то надо попробовать привести пример с цифрами. Если же ответ — "нет", то первое, что можно сделать с суммой цифр — использовать равноостаточность числа и его суммы цифр по какому-то хорошему модулю.

Подсказка 2

Действительно, в первом пункте легко придумывается пример, а во втором пункте можно использовать факт, что разность числа и его суммы цифр всегда кратна 9. Но вот незадача, вычитаем-то мы не собственную сумму цифр, а сумму цифр числа, следующего по циклу. Что нам нужно сделать с результатами этих разностей, чтобы получить разности числа и его суммы цифр?

Показать ответ и решение

a) Например, подходят числа $10,8,5$ . Тогда соответствующие разности равны $10 − 8= 2$ , $8− 5= 3,5− 1= 4$ .

б) Пусть $a,b,c$ — исходные числа. Обозначим через $S(n)$ сумму цифр числа $n$ . По признаку делимости на 9 числа $n$ и $S(n)$ имеют равные остатки при делении на 9 , и значит, разность $n− S(n)$ кратна 9.

По условию разности $a− S(b),b− S(c),c− S(a)$ равны числам $3,4,5$ соответственно. Тогда их сумма

(a− S(b))+(b− S(c))+(c− S(a))= (a− S(a))+ (b − S(b))+ (c− S(c))

должна делиться на 9 . С другой стороны, эта сумма равна $3+4 +5= 12$ и на 9 не делится, противоречие.

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94247

Натуральное число $n$ назовём удачным, если его можно единственным образом разбить в сумму 10 различных натуральных чисел (порядок слагаемых не важен). Найдите все удачные числа.

Источники: КФУ - 2021, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас число представляется единственным образом, то это значит, например, что мы не можем как-то уменьшить одно число на 1, увеличить другое на 1 и получить новое разбиение. Положим, что у нас есть числа a₁ < a₂ < … < a₁₀, что тогда можно сказать, в соответствии с нашими рассуждениями выше, об a₁? Перекладывается ли это на a₂?

Подсказка 2

Мы можем сказать, что a₁ = 1, так как если a₁ > 1, то выходит, что мы можем уменьшить на 1 a₁, увеличить на 1 a₁₀, и это будет новым разбиением. Но ведь аналогично можно рассуждать и относительно a₂, a₃, … Когда этот процесс должен закончиться?

Подсказка 3

Мы можем проводить такие рассуждения вплоть до a₉, но вот с a₁₀ так же не получится. Подумайте, может ли a₁₀ быть равен, скажем, 100? А 20? А какие тогда он может принимать значения и почему (рассуждайте похожим образом, как с остальными a_i)?

Показать ответ и решение

Пусть число $n$ — удачное, $n =a + a + ...+a 1 2 10$ , где $a < a <...<a 1 2 10$ — натуральные слагаемые. Если предположить, что $a >1 1$ , то $n$ можно разбить в сумму различных натуральных слагаемых еще одним способом:

n =(a1− 1)+ a2+ ...+(a10+1)

Таким образом, $a1 = 1$ .

Далее, если предположить, что $a >2 2$ , то для $n$ опять можно привести другое разбиение:

n =a1+ (a2− 1)+ a3+...+(a10 +1)

Значит, $a2 =2$ . Продолжая так далее, получаем $a3 = 3$ , $a4 = 4,...,a9 = 9$ . Если $a10 >11$ , то $a9+ 1< a10− 1$ , и снова можно сконструировать другое разбиение.

Наконец, нетрудно видеть, что при $a10 = 10$ или $a10 = 11$ получающиеся числа 55 и 56 являются удачными.

Ответ: 55 и 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94248

В угол с вершиной $A$ вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках $B$ и $C$ . Прямая, проходящая через $A$ , пересекает окружность в точках $D$ и $E$ . Хорда $BX$ параллельна прямой $DE$ . В каком отношении прямая $XC$ делит хорду $DE$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте поймём, зачем нам нужна параллельность. Она дает равные углы или равные дуги, только и всего. Потому что если смотреть на картинку, то параллельность дальше при построении никакой роли не играет. Что тогда можно сказать про ∠DMC?

Подсказка 2

Этот угол равен полусумме дуг DC и XE, при этом XE равна BD, а значит, что ∠DMC равен половине ∠BOC. Что из этого следует? Что нам дает факт о том, что центральный ∠BOC, который делится на два равных прямой AO равен удвоенному ∠DMC?

Подсказка 3

Это даёт нам равенство ∠AMC и ∠AOC, а значит, A, O, M, C лежат на одной окружности. Но ведь тогда ∠AMO = ∠ACO = 90°. Что это нам дает? Какой ответ на вопрос из условия?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $O$ — центр окружности, $M$ — точка пересечения $CX$ и $DE$ . Докажем, что $OM ⊥ DE$ , и значит, $DM =ME$ .

$PIC$

Прежде всего, угол $DMC$ равен полусумме дуг $CD$ и $EX$ . Так как дуги между параллельными хордами $BX$ и $DE$ равны, то $⌣ DB =⌣ EX$ , поэтому

∠CMD = 1(⌣ CD+ ⌣ EX) = 1(⌣ CD+ ⌣ DB)= 1 ⌣ CB = 2 2 2

из равенства прямоугольных треугольников $AOB$ и $AOC$

= 1∠COB = ∠COA. 2

Из равенства углов $COA$ и $CMA$ следует, что точки $A,C,M,O$ лежат на одной окружности. Поскольку радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AC$ , диаметр этой окружности совпадает с отрезком $AO$ . Значит, $∘ ∠AMO = 90$ , то есть $OM ⊥DE$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим, что $∠BCD =∠ECX$ , так как соответствующие дуги заключены между параллельными хордами. Кроме того, из равенства углов $ABD$ и $AEB$ следует подобие треугольников $ABD$ и $AEB$ , и значит, равенство

BD AD BE-= AB-

Аналогично получаем, что

CD- = AD, CE AB

то есть $BD ⋅CE = CD ⋅BE.$ По теореме Птолемея $CD ⋅BE = 12BC⋅DE.$

$PIC$

Пусть теперь $CX$ пересекает $DE$ в точке $M$ . Тогда треугольники $CBD$ и $CME$ подобны, следовательно, $BD ⋅CE =CB ⋅EM$ . Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что $ED- EM = 2 .$

Ответ: 1 : 1

Предыдущая подтема

Следующая подтема