Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .03 КФУ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91880

Существует ли такая непостоянная функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, что при всех действительных $x$ выполняется равенство

(a) $f(sinx)+ f(cosx)=1$ ;

(b) $f(sinx)− f(cosx)=1$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.2 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

(a) Рассмотрим $f(x)= x2,$ тогда условие принимаем вид

sin2x+ cos2x= 1

Это основное тригонометрическое тождество, оно верно для любого $x.$

(b) Допустим, что такая функция есть. Пусть $x= 0,$ тогда

f(0)− f(1)= 1

Теперь пусть $π x= 2,$ тогда

f(1)− f(0)= 1

Сложим полученные равенства, получим

0= 2

противоречие.

Ответ:

(a) да;

(b) нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94246

Даны три целых числа. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего, а из третьего вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности равняться соответственно

a) $2,3,4$ ?

б) $3,4,5$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

a) Например, подходят числа $10,8,5$ . Тогда соответствующие разности равны $10 − 8= 2$ , $8− 5= 3,5− 1= 4$ .

б) Пусть $a,b,c$ — исходные числа. Обозначим через $S(n)$ сумму цифр числа $n$ . По признаку делимости на 9 числа $n$ и $S(n)$ имеют равные остатки при делении на 9 , и значит, разность $n− S(n)$ кратна 9.

По условию разности $a− S(b),b− S(c),c− S(a)$ равны числам $3,4,5$ соответственно. Тогда их сумма

(a− S(b))+(b− S(c))+(c− S(a))= (a− S(a))+ (b − S(b))+ (c− S(c))

должна делиться на 9 . С другой стороны, эта сумма равна $3+4 +5= 12$ и на 9 не делится, противоречие.

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94247

Натуральное число $n$ назовём удачным, если его можно единственным образом разбить в сумму 10 различных натуральных чисел (порядок слагаемых не важен). Найдите все удачные числа.

Источники: КФУ - 2021, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть число $n$ — удачное, $n =a + a + ...+a 1 2 10$ , где $a < a <...<a 1 2 10$ — натуральные слагаемые. Если предположить, что $a >1 1$ , то $n$ можно разбить в сумму различных натуральных слагаемых еще одним способом:

n =(a1− 1)+ a2+ ...+(a10+1)

Таким образом, $a1 = 1$ .

Далее, если предположить, что $a >2 2$ , то для $n$ опять можно привести другое разбиение:

n =a1+ (a2− 1)+ a3+...+(a10 +1)

Значит, $a2 =2$ . Продолжая так далее, получаем $a3 = 3$ , $a4 = 4,...,a9 = 9$ . Если $a10 >11$ , то $a9+ 1< a10− 1$ , и снова можно сконструировать другое разбиение.

Наконец, нетрудно видеть, что при $a10 = 10$ или $a10 = 11$ получающиеся числа 55 и 56 являются удачными.

Ответ: 55 и 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94248

В угол с вершиной $A$ вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках $B$ и $C$ . Прямая, проходящая через $A$ , пересекает окружность в точках $D$ и $E$ . Хорда $BX$ параллельна прямой $DE$ . В каком отношении прямая $XC$ делит хорду $DE$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $O$ — центр окружности, $M$ — точка пересечения $CX$ и $DE$ . Докажем, что $OM ⊥ DE$ , и значит, $DM =ME$ .

$PIC$

Прежде всего, угол $DMC$ равен полусумме дуг $CD$ и $EX$ . Так как дуги между параллельными хордами $BX$ и $DE$ равны, то $⌣ DB =⌣ EX$ , поэтому

∠CMD = 1(⌣ CD+ ⌣ EX) = 1(⌣ CD+ ⌣ DB)= 1 ⌣ CB = 2 2 2

из равенства прямоугольных треугольников $AOB$ и $AOC$

= 1∠COB = ∠COA. 2

Из равенства углов $COA$ и $CMA$ следует, что точки $A,C,M,O$ лежат на одной окружности. Поскольку радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AC$ , диаметр этой окружности совпадает с отрезком $AO$ . Значит, $∘ ∠AMO = 90$ , то есть $OM ⊥DE$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим, что $∠BCD =∠ECX$ , так как соответствующие дуги заключены между параллельными хордами. Кроме того, из равенства углов $ABD$ и $AEB$ следует подобие треугольников $ABD$ и $AEB$ , и значит, равенство

BD AD BE-= AB-

Аналогично получаем, что

CD- = AD, CE AB

то есть $BD ⋅CE = CD ⋅BE.$ По теореме Птолемея $CD ⋅BE = 12BC⋅DE.$

$PIC$

Пусть теперь $CX$ пересекает $DE$ в точке $M$ . Тогда треугольники $CBD$ и $CME$ подобны, следовательно, $BD ⋅CE =CB ⋅EM$ . Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что $ED- EM = 2 .$

Ответ: 1 : 1

Предыдущая подтема

Следующая подтема