Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .02 КФУ 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65461

Функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет равенству

f(x)f(y)= f(x − y)

Известно, что $f (1) =1 2$ . Чему равно $f(2020)?$

Источники: КФУ-2020, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется подставить какие-то числа вместо x и y, чтобы использовать f(1/2)=1.

Подсказка 2

Подставим x=1, y=1/2 и найдём f(1)=1. Теперь хочется подставить что-то вместо y...

Подсказка 3

Подставляем y=1 и получаем рекурренту, из которой легко находится f(2020).

Показать ответ и решение

Положим $x= 1,y = 1 2$ , тогда $f(1)f(1)= f(1) 2 2$ , откуда $f(1)= 1$ . Теперь положим $y = 1$ , тогда $f(x)= f(x− 1)$ . Теперь очевидно, что $f(2020)= f(1)= 1$ .

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#115104

Провод длиной $d$ метров разрезали на два куска. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной $1,2,3,6$ и $12$ метров, если

а) $d= 25;$

б) $d= 24,99?$

Источники: КФУ - 2020, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Один из двух кусков не короче 12,5 метров. Кусок какой длины можно от него отпилить?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! Кусок длины 12 метров. Тогда остается еще 2 куска, с суммарной длиной 13 метров (12 метров уже отложили). А можно ли теперь из этих двух кусков подобным образом отпилить нужные куски?

Подсказка 1, пункт (б)

Попробуем доказать, что это невозможно. Для этого нужно показать, что можно изначально разрезать провод на два куска так, чтобы вырезать нужные куски было невозможно. Какие длины могли бы иметь эти куски?

Подсказка 2, пункт (б)

Можно ли сделать так, чтобы из одного из исходных кусков нельзя было отрезать ни одного требуемого куска провода?

Подсказка 3, пункт (б)

Можно! Достаточно сделать так, чтобы его длина была меньше 1 метра. Тогда нужные куски будут вырезаться только из второго куска. А как сделать так, чтобы из второго куска их точно нельзя было вырезать?

Подсказка 4, пункт (б)

Верно! Нужно сделать так, чтобы суммарная длина требуемых кусков была больше второго куска исходного провода. Как этого добиться?

Показать ответ и решение

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче $12,5$ метров), вырезаем из неё $12$ -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна $13$ м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче $6,5;$ вырезаем $6$ -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин $7$ м, $4$ м и $2$ м, а вырезаться куски длиной $3$ м, $2$ м и $1$ м соответственно.

б) Если провод длиной $l= 24,99$ метров разрезали, например, на части с длинами $0,995$ м и $23,995$ м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска $23,995$ м это сделать не получится, поскольку сумма длин $1+2 +3+ 6+ 12= 24$ больше $23,995.$

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#115105

Неотрицательные числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a+ b+ c+d =4.

Найдите наибольшее возможное значение суммы

S = ab+bc+ cd

и определите все четвёрки $(a,b,c,d)$ чисел, для которых это максимальное значение достигается.

Источники: КФУ - 2020, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение ab + bc + cd хорошо бы разложилось на скобки, если бы в нем было еще и слагаемое da. А можно ли его добавить и оценить S сверху?

Подсказка 2

Конечно! Тогда выходит, что S ≤ ab + bc + cd + da ≤ (a + c)(b + d). А как теперь оценить сверху произведение этих скобок?

Подсказка 3

Верно! Нужно использовать, что a + b + c + d = 4, откуда b + d = 4 - (a + c). Тогда положим x = a + c, откуда b + d = 4 - x. Как тогда сверху оценить S и какие a, b, c и d нам подойдут?

Показать ответ и решение

Оценим сумму $S,$ добавив к ней неотрицательное число $da:$

S = ab+bc+ cd ≤(ab+bc)+(cd+da)= (a+c)(b+ d)

Учтём, что $b+ d= 4− (a +c),$ и обозначим $x =a +c,$ тогда

2 S ≤ x(4− x)≤ 4 ⇐= 0 ≤(x− 2)

Наибольшее значение $S =4$ достигается, например, при $a= b= 2$ и $c= d= 0.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#115106

На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно так, что $BD = AE.$ Прямая, соединяющая центры описанных окружностей треугольников $ADC$ и $BEC,$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Чему равно отношение $KC$ : $LC$ ?

Источники: КФУ - 2020, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы хорошо нарисовали картинку, то у вас должно возникнуть желание доказать, что KC = LC.

Подсказка 2

Значит, мы хотим доказать, что LCK равнобедренный. А давайте посмотрим на угол между PC и KL, учитывая, что это линия центров и радось двух окружностей?

Подсказка 3

На рисунке много окружностей, поищите вписанные четырёхугольники, поперекидывайте уголки.

Подсказка 4

Пусть P — вторая точка пересечения двух окружностей. Что можно сказать про треугольники APE и DPB?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть описанные окружности треугольников $ADC$ и $BEC$ пересекаются в точках $C$ и $P$ (см. рис.). Докажем, что $KC = LC,$ и, значит, искомое отношение равно $1.$

Как известно, линия, соединяющая центры описанных окружностей $ADC$ и $BEC,$ перпендикулярна общей хорде $CP$ этих окружностей, так что отрезки $CP$ и $KL$ перпендикулярны.

Так как точки $A,P,D,C$ принадлежат одной окружности, сумма углов $CAP$ и $CDP$ равна $180∘.$ Но сумма смежных утлов $CDP$ и $BDP$ тоже равна $180∘,$ значит, $∠EAP = ∠BDP.$ Аналогично, $∠AEP = ∠DBP.$ Из этих двух равенств, а также из условия $AE = BD$ следует, что треугольники $AP E$ и $DP B$ равны. Отсюда $P E = PB.$ Из равенства этих хорд следует равенство соответствующих дуг, а значит, и равенство вписанных углов $BCP$ и $P CE.$