Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .02 КФУ 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65461

Функция $f(x)$ , заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет равенству

f(x)f(y)= f(x − y)

Известно, что $f (1) =1 2$ . Чему равно $f(2020)?$

Источники: КФУ-2020, 11.2 (см. kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Положим $x= 1,y = 1 2$ , тогда $f(1)f(1)= f(1) 2 2$ , откуда $f(1)= 1$ . Теперь положим $y = 1$ , тогда $f(x)= f(x− 1)$ . Теперь очевидно, что $f(2020)= f(1)= 1$ .

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#115104

Провод длиной $d$ метров разрезали на два куска. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной $1,2,3,6$ и $12$ метров, если

а) $d= 25;$

б) $d= 24,99?$

Источники: КФУ - 2020, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче $12,5$ метров), вырезаем из неё $12$ -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна $13$ м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче $6,5;$ вырезаем $6$ -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин $7$ м, $4$ м и $2$ м, а вырезаться куски длиной $3$ м, $2$ м и $1$ м соответственно.

б) Если провод длиной $l= 24,99$ метров разрезали, например, на части с длинами $0,995$ м и $23,995$ м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска $23,995$ м это сделать не получится, поскольку сумма длин $1+2 +3+ 6+ 12= 24$ больше $23,995.$

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#115105

Неотрицательные числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a+ b+ c+d =4.

Найдите наибольшее возможное значение суммы

S = ab+bc+ cd

и определите все четвёрки $(a,b,c,d)$ чисел, для которых это максимальное значение достигается.

Источники: КФУ - 2020, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Оценим сумму $S,$ добавив к ней неотрицательное число $da:$

S = ab+bc+ cd ≤(ab+bc)+(cd+da)= (a+c)(b+ d)

Учтём, что $b+ d= 4− (a +c),$ и обозначим $x =a +c,$ тогда

2 S ≤ x(4− x)≤ 4 ⇐= 0 ≤(x− 2)

Наибольшее значение $S =4$ достигается, например, при $a= b= 2$ и $c= d= 0.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#115106

На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно так, что $BD = AE.$ Прямая, соединяющая центры описанных окружностей треугольников $ADC$ и $BEC,$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Чему равно отношение $KC$ : $LC$ ?

Источники: КФУ - 2020, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть описанные окружности треугольников $ADC$ и $BEC$ пересекаются в точках $C$ и $P$ (см. рис.). Докажем, что $KC = LC,$ и, значит, искомое отношение равно $1.$

Как известно, линия, соединяющая центры описанных окружностей $ADC$ и $BEC,$ перпендикулярна общей хорде $CP$ этих окружностей, так что отрезки $CP$ и $KL$ перпендикулярны.

Так как точки $A,P,D,C$ принадлежат одной окружности, сумма углов $CAP$ и $CDP$ равна $180∘.$ Но сумма смежных утлов $CDP$ и $BDP$ тоже равна $180∘,$ значит, $∠EAP = ∠BDP.$ Аналогично, $∠AEP = ∠DBP.$ Из этих двух равенств, а также из условия $AE = BD$ следует, что треугольники $AP E$ и $DP B$ равны. Отсюда $P E = PB.$ Из равенства этих хорд следует равенство соответствующих дуг, а значит, и равенство вписанных углов $BCP$ и $P CE.$