КФУ - задания по годам → .04 КФУ 2022
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
для всех действительных 
удовлетворяет неравенствам
Найдите все такие функции 
.
Заметим, что 
, то есть 
. С другой стороны 
по условию, а значит, 
Теперь заметим, что 
а значит, 
Теперь запишем неравенство 
Зная, что 
получаем неравенство 
то есть
Следовательно, 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— нечётное простое число. Найдите все целые 
и 
такие, что
Источники:
Перепишем уравнение в виде 
и разложим левую часть на множители:
Таким образом, числа 
и 
являются степенями простого числа 
. Но 
— чётная степень 
значит, множитель
— это нечётная степень 
и так как 
то
В первом случае имеем
Во втором
Так как 
— нечётное, то числа 
и 
в этих наборах — целые.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 
и 
равна 
(
семёрки).
Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
Источники:
Пусть 
где числа 
записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа 
равна 
и
делится на 
Тогда
где числа 
записываются только нулями и единицами. Поскольку 
содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в
этой сумме равно 
Эти слагаемые легко находятся для числа 
Умножая на три, получим:
Умножая на степени 1000 и складывая, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
провели высоту 
медиану 
и биссектрису 
Точки 
и 
— ортогональные
проекции вершин 
и 
на прямую 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
Источники:
Рассмотрим без ограничения общности 
Тогда точка 
лежит внутри треугольника 
, а точка 
вне
его.
Первое решение.
Построим описанную окружность треугольника 
, тогда продолжение биссектрисы 
пересечет ее в точке 
,
являющейся серединой дуги 
. Тогда 
, то есть медиана 
равнобедренного треугольника 
будет также и
высотой.
Так как 
, то получим, что 
. Так как 
аналогично получаем, что
.
Но углы 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
В итоге 
. Но из равенства углов 
следует, что точки 
лежат на одной
окружности.
Второе решение.
Обозначим через 
и 
точки пересечения прямых 
и 
и 
соответственно.
Поскольку 
— биссектриса и 
треугольники 
и 
— равнобедренные, и значит, 
и
В треугольнике 
точки 
и 
— середины сторон 
и 
поэтому 
— средняя линия, и значит, 
Аналогично, 
Следовательно, 
Возможны два случая:
a) 
Точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
— вписанный.
Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
б) 
тогда точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
—
вписанный. Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В каждую клетку таблицы 
вписано число 
или 
Под каждым столбцом записано произведение всех чисел столбца, а рядом
с каждой строкой — произведение чисел строки. Какое наименьшее неотрицательное значение может принимать сумма всех этих
произведений?
Сначала рассмотрим “крайнюю” ситуацию. Если во всех клетках таблицы числа равны 
то и все произведения равны 
а их общая
сумма равна 
Если мы сменим знак в одной из клеток, то изменится знак в произведении чисел одной строки и одного столбца. Значит,
сумма всех произведений изменится на величину 
то есть это изменение может равняться 
или 
Таким
образом, после замены знаков в нескольких клетках таблицы значение суммы может измениться лишь на слагаемое, кратное
Взяв за основу таблицу, заполненную числами 
и меняя знаки в соответствующих клетках (чтобы придти к исходной таблице), мы
получим значение суммы 
Наименьшее неотрицательное значение выражения 
очевидно, равно 
и оно достигается при
целом 
Осталось привести пример таблицы, для которой указанное значение суммы произведений равно 
Расставим сначала во всех клетках
таблицы 
числа 
а затем заменим знак 
на 
у 
чисел, стоящих, например, на диагонали, идущей из левого верхнего
угла в нижний. Для полученной таблицы сумма всех произведений равна 
