Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .04 КФУ 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65457

Функция $f$ для всех действительных $x,y$ удовлетворяет неравенствам

f(x+ y) ≥f(x)+f(y), f(x)≥ x

Найдите все такие функции $f(x)$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)= f(x+0)≥ f(x)+ f(0)$ , то есть $0≥ f(0)$ . С другой стороны $f(0)≥ 0$ по условию, а значит, $f(0) =0.$

Теперь заметим, что $f(0)≥ f(x)+ f(−x)≥ 0,$ а значит, $f(x)+f(−x)= 0.$

Теперь запишем неравенство $f(− x)≥− x.$ Зная, что $f(−x)= −f(x),$ получаем неравенство $− f(x)≥ −x,$ то есть $x ≤f(x)≤x.$

Следовательно, $f(x)= x.$

Ответ:

$f(x)= x$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76417

Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите все целые $x$ и $y$ такие, что

3 3 3 2 2 x + y + p =x y+ xy

Источники: КФУ-2022, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.

Подсказка 2

Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)

Подсказка 3

В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев

Подсказка 4

Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $x3 +y3− x2y− xy2 = −p3$ и разложим левую часть на множители:

( 2 2) 3 (x +y) x − xy+ y − (x+ y)xy =− p

2 3 (x+ y)(x− y) = −p

Таким образом, числа $x+y$ и $(x− y)2$ являются степенями простого числа $p$ . Но $(x − y)2$ — чётная степень $p,$ значит, множитель $x +y$ — это нечётная степень $p,$ и так как $x+ y ≤ 0,$ то

{ x+ y = −p { x+ y = −p3 x− y = ±p или x− y = ±1

В первом случае имеем

x= 0,y =− p или x =−p,y = 0,

Во втором

− x= − 1 (p3− 1),y =− 1(p3+ 1) или x= − 1(p3+1),y = − 1 (p3− 1) 2 2 2 2

Так как $p$ — нечётное, то числа $x$ и $y$ в этих наборах — целые.

Ответ:

$(0;− p),(−p;0),(− 1 (p3− 1);− 1(p3+1)),(− 1(p3+1);− 1(p3− 1)) 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76418

Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры $3$ и $0,$ равна $777...77$ ( $2022$ семёрки). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?

Источники: КФУ-2022, 11.3 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Может нам как-нибудь немного упростить себе задачу? Например, упростив сумму чисел. Число с 2022 одинаковыми цифрами должно делиться на 3, тогда составим уравнение, где сумма n чисел равна 77...7 и поделим обе части

Подсказка 2

В новом уравнении каждое из чисел сумме в 3 раза меньше соответствующего элемента из первого уравнения, то есть все числа состоят из единиц и нулей и в сумме дают 259259...259. Как могла получится девятка в таком числе?

Подсказка 3

Верно, эти девятки говорят о том, что число получалось из суммы как минимум 9 чисел (при меньшем количестве суммы единиц не могло бы хватить). Остаётся только подобрать подходящий пример)

Показать ответ и решение

Пусть $M = 777...77= a +a + ...+ a , 1 2 n$ где числа $a k$ записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа $M$ равна $2022⋅7$ и делится на $3.$ Тогда

1 3M = 25◟9259◝◜...259◞= c1+ c2+...+cn, 2022цифры

где числа $ck = 1ak 3$ записываются только нулями и единицами. Поскольку $1M 3$ содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в этой сумме равно $9.$ Эти слагаемые легко находятся для числа $259:259 =2 ⋅111+ 3⋅11+4 ⋅1.$ Умножая на три, получим: $777= 2⋅333 +3⋅33+ 4⋅3.$ Умножая на степени 1000 и складывая, получим

77◟72.◝0.◜22.77◞= 2⋅3◟332.◝0..◜22333◞+3⋅3◟30332.◝◜02.1.033◞+4 ⋅3◟0032.◝◜02..0003◞

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76419

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH,$ медиану $BM$ и биссектрису $BL.$ Точки $P$ и $Q$ — ортогональные проекции вершин $A$ и $C$ на прямую $BL.$ Докажите, что точки $M, H,P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Источники: КФУ-2022, 11.4 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью ABC в точке X. Что теперь можно вспомнить про эту точку?

Подсказка 2

Верно, эта точка делит дугу AC пополам. Тогда XM будет серединным перпендикуляром. Теперь у нас на картинке много прямых углов. Тогда про какие четырёхугольники мы можем пронаблюдать что-то хорошее?

Подсказка 3

Да, у нас получаются два вписанных четырёхугольника AMQX и CBPH, потому что прямые углы опираются на одну дугу. Но теперь вспомните, что внутренний угол равен противоположному внешнему, и попробуйте перекинуть уголки. Осталось только воспользоваться второй подсказкой, и победа!

Показать доказательство

Рассмотрим без ограничения общности $AB < BC.$ Тогда точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$ , а точка $Q$ вне его.

Первое решение.

Построим описанную окружность треугольника $ABC$ , тогда продолжение биссектрисы $BL$ пересечет ее в точке $D$ , являющейся серединой дуги $AC$ . Тогда $AD = CD$ , то есть медиана $DM$ равнобедренного треугольника $ADC$ будет также и высотой.

$PIC$

Так как $∠AMD = ∠AQD = 90∘$ , то получим, что $∠CAD = ∠MQL$ . Так как $∠BPC = ∠BHC = 90∘$ аналогично получаем, что $∠P HL =∠CBD$ .

Но углы $∠CBD = ∠CAD$ равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

В итоге $∠PHL = ∠CBD = ∠CAD = ∠MQL$ . Но из равенства углов $∠P HL =∠MQL$ следует, что точки $M,H,P,Q$ лежат на одной окружности.

Второе решение.

Обозначим через $A′$ и $C′$ точки пересечения прямых $AP$ и $BC,CQ$ и $AB$ соответственно.

$PIC$

Поскольку $BP$ — биссектриса и $′ ′ BP ⊥ AA ,BQ ⊥ CC ,$ треугольники $′ BAA$ и $′ BCC$ — равнобедренные, и значит, $′ AP = PA$ и $′ CQ = QC .$

В треугольнике $′ AA C$ точки $P$ и $M$ — середины сторон $′ AA$ и $AC,$ поэтому $P M$ — средняя линия, и значит, $PM ∥BC.$ Аналогично, $′ MQ ∥BC .$ Следовательно, $∠AMQ = ∠BAC.$ Возможны два случая:

a) $∠BAC ≤90∘.$ Точки $A,H,P$ и $B$ лежат на одной окружности с диаметром $AB,$ поэтому четырёхугольник $AHP B$ — вписанный. Значит,

∠HP Q = 180∘− ∠HP B = ∠BAC = ∠HMQ

Следовательно, точки $H, P,M$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) $∘ ∠BAC > 90 ,$ тогда точки $A,H,B$ и $P$ лежат на одной окружности с диаметром $AB,$ поэтому четырёхугольник $AHBP$ — вписанный. Значит,

∠HP Q =180∘− ∠HPB = 180∘− ∠HAB =∠BAC =∠HMQ

Следовательно, точки $H, P,M$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#106014

В каждую клетку таблицы $21×22$ вписано число $1$ или $− 1.$ Под каждым столбцом записано произведение всех чисел столбца, а рядом с каждой строкой — произведение чисел строки. Какое наименьшее неотрицательное значение может принимать сумма всех этих произведений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Часто подобные задачи (с независимым заполнением клеток на доске и рассмотрении некоторой функции от них) можно изучать с помощью организации процесса и последующем исследовании его инвариантов. Какой процесс можно организовать здесь? Как при этом будет меняться сумма чисел?

Подсказка 2

Давайте на каждом шаге процесса менять знак одного из чисел таблицы. Сумма чисел при этом будет меняться на -4, 0 или 4. Какие ограничения на вид суммы это накладывает?

Подсказка 3

Отличительной чертой подобных процессов является то, что из любого расположения можно получить любое. Поэтому можно рассмотреть некоторое тривиальное, после перейти к произвольному с помощью нашего процесса, следя за найденным инвариантом. Сумма в таблице из 1 равна 43 и каждый раз меняется на число, кратное 4. Чему равно наименьшее неотрицательное число, полученное в результате этого процесса?

Подсказка 4

Трем. Осталось привести пример, когда полученная оценка достигается. Возможно, в этом вам помогут соображения уже построенного процесса.

Показать ответ и решение

Сначала рассмотрим “крайнюю” ситуацию. Если во всех клетках таблицы числа равны $+ 1,$ то и все произведения равны $+ 1,$ а их общая сумма равна $21+ 22=43.$

Если мы сменим знак в одной из клеток, то изменится знак в произведении чисел одной строки и одного столбца. Значит, сумма всех произведений изменится на величину $± 2±2,$ то есть это изменение может равняться $4,0$ или $− 4.$ Таким образом, после замены знаков в нескольких клетках таблицы значение суммы может измениться лишь на слагаемое, кратное $4.$

Взяв за основу таблицу, заполненную числами $+ 1,$ и меняя знаки в соответствующих клетках (чтобы придти к исходной таблице), мы получим значение суммы $43 − 4k.$ Наименьшее неотрицательное значение выражения $43 − 4k,$ очевидно, равно $3,$ и оно достигается при целом $k =10.$

Осталось привести пример таблицы, для которой указанное значение суммы произведений равно $3.$ Расставим сначала во всех клетках таблицы $21× 22$ числа $+ 1,$ а затем заменим знак $+$ на $−$ у $10$ чисел, стоящих, например, на диагонали, идущей из левого верхнего угла в нижний. Для полученной таблицы сумма всех произведений равна $43− 10⋅4 =3.$

Ответ:

$3$

Предыдущая подтема

Следующая подтема