Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .05 КФУ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68962

У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?

Источники: КФУ-2023, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте посчитаем, сколько раз за год Маша будет дарить купюры сестре?

Подсказка 2

Верно, 13 раз! А теперь вспомним, что суммарно она подарила 1250 рублей, при том, что каждый раз она дарила либо 100, либо 50 рублей! Тогда, сколько раз она подарила сестре 50 рублей?

Подсказка 3

Верно, она подарила 50 рублей ровно один раз! А в какой временной период это могло произойти, учитывая, что нам нужно минимизировать сумму в копилке?

Подсказка 4

Да, чтобы сумма была минимальна, она должна была отдать 50 рублей в последний — 13-ый раз! Тогда, какая минимальная сумма может остаться у неё в копилке?

Показать ответ и решение

Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году $13$ . Если бы все подаренные Машей купюры были сторублевыми, сестра получила бы $1300$ рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по $100$ рублей и один — 50. Если в какой-то “месяц” Маша отдала $100$ р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти $12$ “месяцев” она оставила себе $12⋅300= 3600$ р.

Итак $50$ -рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из $13$ . Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему $300$ р.

Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух $50$ -рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных “месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в $13$ -м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в этом случае первые $12$ “месяцев” Маша получала по $300$ рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех $50$ -рублевых купюр, то есть недобрать до $300$ рублей максимум $150$ р.

Ответ: 3750 рублей

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68968

а) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a ⋅log2b =log2ab?

б) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a +log2b =log2(a+ b)?

в) Могут ли при каких-то $a,b$ выполняться оба равенства?

Источники: КФУ-2023, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!

Подсказка 2

У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.

Подсказка 3

Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.

Подсказка 4

Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...

Подсказка 5

У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...

Показать ответ и решение

Ясно, что числа $a$ и $b$ положительны.

a) Условие можно переписать в виде $log2(a)⋅log2(b)= log2(a)+ log2(b)$ . Если $log2(a) ⁄=1$ , то $log2a-- x =log2b = log2a−1$ , $x b= 2$ . Например, при $a = 4$ имеем $log2a =2$ , $2-- x = 2−1 =2$ , $b= 4$ .

б) Равенство сводится к соотношению $ab= a+ b$ . Например, при $a = 4$ получаем, что $-a- 4 b= a−1 = 3$

в) Условие вида $xy = x+ y$ можно переписать в виде $(x− 1)(y− 1)= 1$ . Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются. Заданные неравенства можно переписать в виде

{ (log2(a)− 1)(log2(b)− 1)= 1 ab =a+ b

Из первого равенства следует, что $log a− 1 2$ и $log b− 1 2$ имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда $a >2,b> 2$ ), либо оба отрицательны ( $a< 2,b< 2$ ). В силу положительности чисел $a$ и $-a- b= a−1$ имеем $a> 1$ .

Если $a> 2$

1 1 a− 1 >1;a−-1 < 1;b= 1+ a− 1-< 2

Если $1< a< 2$

0< a− 1< 1;a1− 1-> 1;b= 1+ a1−-1 > 2

Пришли к противоречию.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68975

Обозначим $min-x−1= a;max-x−1-= b. x2+1 x2+1$ Найдите, чему равны минимум и максимум функций:

x3− 1 а) x6+1-

б) xx+2+11-

Источники: КФУ-2023, 11.3 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), Подсказка 1

Понятно, что если изначальное выражение обозначить за f(x), то теперь у нас выражение f(x³). Изменится ли минимум и максимум такой функции?)

Пункт б), Подсказка 1

Теперь попробуйте рассмотреть выражение f(-x). Оно будет почти таким же, как наше выражение, и задача решится)

Показать ответ и решение

Введём обозначение $x−1-= f(x). x2+1$

a) Имеем $x3−1 3 x6+1 = f(x )$ . Величина $3 x$ пробегает все числовые значения, значит, $3 f(x )$ принимает такие же значения, как $f(x).$

б) Имеем $−x−1 x+1 f(−x)= x2+1-= −x2+1$ , то есть $x+1 x2+1 = −f(−x)$ , значит, эта функция принимает значения от $− b$ до $− a.$

Ответ:

а) $a,b$

б) $− b,−a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68990

Многогранник $ABCDA B C D 1 1 1 1$ изображен в ортогональной проекции на плоскость $ABCD.$

$PIC$

Докажите, что такой многогранник невозможен.

Источники: КФУ-2023, 11.4 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас на картинке дополнительно нарисованы точки пересечения A₂, B₂, C₂ и D₂. Что их всех связывает?

Подсказка 2

Они получены как пересечение прямых из плоскости ABCD и прямых из плоскости A₁B₁C₁D₁. Тогда где должны лежать все эти точки?

Подсказка 3

На общей для этих плоскостей прямой! А теперь внимательно смотрим на рисунок)

Показать доказательство

$PIC$

Прямые $AB$ и $A1B1$ пересекаются в точке $A2$ , лежащей в обеих плоскостях, $ABCD$ и $A1B1C1D1$ , то есть на их общей прямой. То же верно для точек $B2,C2,D2$ получающихся как пересечения одноименных рёбер. Значит, все эти точки должны лежать на одной прямой, что не выполняется.

Если зафиксировать, например, точки $B1,C1,D1$ , то можно построить изображение вершины $A1$ (на рисунке это точка $A1)$ , которое не совпадает с изображением точки $A$ на проекции.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68994

Рассмотрим алгебраическое выражение $F (a,...,x),$ содержащее переменные, скобки и операции умножения и вычитания. Числовые константы не используются. Заменим один из знаков операции на $⊥,$ другой — на $⊳⊲.$ Назовем полученное выражение «формулой». Например, формулой будет выражение $(a⊳⊲b)⊥ c,$ причем один из знаков обозначает разность, а другой - умножение.

а) существует ли формула, которая при любых значениях переменных (и любом из смыслов знаков) дает значение 0?

б) существует ли формула, которая при любых значениях переменных дает значение 1 ?

Источники: КФУ-2023, 11.5 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), Подсказка

Попробуйте придумать такую формулу, в которой будет содержаться только одна переменная. Для этого надо вспомнить, когда a*a (где * - операция) дает ноль в разных случаях)

Пункт б), Подсказка

А теперь подумайте про четность чисел, и как она меняется или не меняется в зависимости от операций и от самих чисел) Вдруг можно подобрать такие числа что никогда не будет 1...

Показать ответ и решение

a) Рассмотрим формулу $A= a ⊥a$ . Если $⊥$ - вычитание, то выражение тождественно равно $0$ . Если $⊥$ - умножение, то $A= 0$ при $a =0$ . Поэтому выражение $N =(a⊥ a)⊳⊲ (a ⊥a)$ равно $0$ при любом смысле знаков $⊥$ и $⊳⊲$ . Действительно, если $⊥$ - вычитание, то $N = 0⋅0= 0$ . Если же $⊥$ - умножение, то $⊳⊲$ - вычитание, тогда $N = a⋅a− a⋅a= 0$ .

б) Предположим, что переменным $a,b,...$ приданы четные значения. Тогда и $a⊳⊲b$ , и $a⊥ b$ , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Ответ: а) Да; б) Нет

Предыдущая подтема

Следующая подтема