Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .01 КФУ до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96506

Функция $f(x)$ задана на всей числовой оси, причём для всех $x$ выполняются неравенства:

f(x+ 2018)≤ f(x)≤ f(x+ 2019)

a) Придумайте хотя бы одну функцию $f(x)$ , удовлетворяющую этим условиям.

б) Докажите, что функция $f(x)$ — периодическая.

Показать ответ и решение

а) Возьмём $f(x)=|sin(πx)|$ . Тогда

f(x+ 2018)= f(x)= f(x+ 2019)

б) Представим $x+ 2019$ в виде $(x +1)+ 2018$ и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве $x$ выражение $x +1$ . Тогда $f((x +1)+ 2018)≤ f(x +1)$ , и поскольку $f(x)≤f(x+ 2019)$ , имеем

f(x)≤ f(x+ 1)

Подставив в это неравенство $x+1$ вместо $x$ , получим $f(x+ 1)≤f(x+ 2)$ , и значит,

f(x)≤ f(x+ 1)≤ f(x+ 2)

Повторяя эти рассуждения, получим

f(x)≤ f(x+1)≤ ...≤ f(x +2018)

Но по условию $f(x+ 2018)≤ f(x)$ . Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть

f(x)= f(x+ 1)= f(x+ 2) =...

Другими словами, функция $f(x)$ имеет период $T =1$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96505

Докажите, что в любой момент времени на поверхности Солнца есть точка, которую можно наблюдать не более чем с трех планет из восьми известных.

Показать доказательство

Формализуем планеты и Солнце как сферы, причём радиус сферы Солнца больше любого другого радиуса. Выберем две планеты и проведем через центры этих планет и Солнца плоскость $α$ .

Точки в которых к сфере Солнца проходят касательные плоскости, параллельные $α,$ будем называть полярными. Полярные точки не видны с планет, центры которых находятся в плоскости $α$ , поскольку радиус Солнца больше радиуса любой из планет. Помимо планет, центры которых лежат в плоскости $α$ , осталось не более шести планет, поэтому с одной из сторон от плоскости $α$ лежит не более чем три центра планет.

Полярная точка, расположенная в том полупространстве, где находится не более трех центров планет, видна разве что с этих планет, поэтому она видна не более чем с трех планет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88475

Сеть дорог соединяет $n$ населенных пунктов. Из каждого пункта выходит не более $3$ дорог. Если между какими-либо двумя пунктами нет дороги, то есть третий пункт, соединенный с ними обоими. Каково максимальное возможное значение $n?$

Показать ответ и решение

Будем называть населенные пункты точками. Возьмем любую точку $A.$ Она соединена не более, чем с тремя точками $B,C,D.$ Любая другая точка $X$ должна быть соединена с одной из точек $B,C,D$ (поскольку она не соединена с $A$ ). Но каждая из них уже соединена с $A,$ так что может быть соединена не более чем с двумя другими точками, Следовательно, общее число точек не более $1+ 3+ 3⋅2= 10.$

Пример, показывающий, что $10$ точек возможно можно построить, например, так. Обозначим точки $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J.$ Проведем дороги $AB,AC,AD,BE,BF, CG,CH,DI,DJ,EH,EJ,FG,F I,GJ$ и $HI.$

Ответ:

$10$

Следующая подтема