Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .08 ШВБ 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67595

Найдите все варианты троек $(x;y;z)$ , при которых выполняется уравнение

∘--------- ∘--------- ∘--------------- |2x|+ x− 6+ |2y|⋅|2− x|+ |2z|+ |x − 2|⋅|x+ 6|=0

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

( |2x|+ x− 6= 0 |{ |( |2y|⋅|2 − x|= 0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0

[ x= 2 |2x|+x− 6= 0 ⇐⇒ 2x= ±(6− x) ⇐⇒ x= −6

[ y = 0 |2y|⋅|2− x|=0 ⇐ ⇒ x= 2

( { |2z|= 0 |{ z[ =0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0 ⇐⇒ ⇐⇒ | x =2 |x− 2|⋅|x+6|= 0 ( x =− 6

Если $x= 2,$ то $y$ — любое, а $z = 0$

Если $x= −6,$ то $y = 0, z = 0$

Итого получаем тройки $(− 6,0,0);(2,y ∈ ℝ,0).$

Ответ:

$(−6,0,0);$

$(2,y,0), y ∈ ℝ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74502

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V∕2$ ) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20 процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Если $N$ — имеющееся количество больших колб в лаборатории, $N =3,4,...,$ $97,$ то $n =100− N$ — имеющееся количество малых колб в лаборатории, $n= 3,4,...,97.$ Для события $A = {$ содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно $}$ необходимо найти такое наименьшее $N,$ что вероятность $1 P(A)< 2.$

Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: $ω =(i1,i2,i3),ij ∈{1,2,3,...,100},ij ⁄= ik,j,k= 1,2,3.$ Общее количество таких исходов равно $100⋅99⋅98.$

Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события $A.$ Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1.

Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:

(0,8V-+0,5V-+-0,2V)100 =50% ∈[45%;55%] 3V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно $N ⋅(N − 1)⋅$ $(N − 2).$

2.

Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-∕2)100-= 50% ∈ [45%;55% ] 3V∕2

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество исходов в этом случае равно $n⋅(n − 1)⋅(n− 2).$

3.

Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V +-0,2V∕2)100 5V∕2 = 56% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

4.

Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V∕2+0,2V-)100- 5V∕2 = 50% ∈[45%;55%]

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $N ⋅n⋅(N − 1).$

5.

Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V-+0,2V-)100- 5V∕2 = 44% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

6.

Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-)100 =42,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

7.

Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2-+0,5V-+-0,2V∕2)100= 50% ∈ [45%;55%] 2V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $n ⋅N ⋅(n− 1).$

8.

Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+0,5V∕2+-0,2V∕2)100 =57,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A$ .

Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):

P (A) = N-⋅(N-− 1)⋅(N-−-2)+n-⋅(n−-1)⋅(n-− 2)+-N ⋅n-⋅(N-− 1)+-n⋅N-⋅(n-− 1)= 100⋅99⋅98

N3-+-n3− 3N2-− 3n2+-2(N-+-n)+98Nn- = 100⋅99⋅98 =

100(N2− Nn +n2)− 3N2− 3n2+ 200+ 98Nn 97(N2 +n2)+ 200− 2Nn = --------------100⋅99⋅98------------- = -----100⋅99-⋅98------=

2 = 97(N-+n)-+-200-− 196Nn-= 100⋅99⋅98

= 970200−-196N-(100−-N)= N2-−-100N-+-4950= (N-− 50)2+2450 100⋅99⋅98 4950 4950

Отсюда имеем

P(A)= (N-−-50)2+-2450-< 1⇔ 45< N < 55 4950 2

И значит, $Nmin = 46.$

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74503

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ длины сторон $AB$ и $BC$ равны, $DB$ — биссектриса угла $ADC,AD :DC = 4:3.$ Найдите косинус угла $AKB,$ если $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD,$ и $BK :KD = 1:3.$

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

$AD :DC = 4:3,$ пусть $AD =4x,DC = 3x,$ $BK :KD = 1:3,$ пусть $BK = y,KD = 3y.$ $DK$ — биссектриса треугольника $ADC,$ $AK :KC = AD :DC =$ $=4:3,AK = 4z,KC = 3z.$

Точка $B$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали $AC$ и биссектрисы угла $D$ в выпуклом четырехугольнике $ABCD.$ Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника $ACD,$ обозначим точку пересечения биссектрисы угла $D$ с окружностью через $B1.$ Тогда по свойству вписанных углов дуги $AB1$ и $B1C$ будут равны, хорды $AB1$ и $B1C$ тоже будут равны, треугольник $AB1C$ будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ и биссектриса угла $D$ будут пересекаться в точке $B1.$ Следовательно, $B1 =B.$

Поскольку около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

AK ⋅KC =BK ⋅KD, 4z2 =y2,y = 2z

Треугольник $ABK$ подобен $DCK$ , и $CADB= BKKC-$ , пусть $AB =p,$ поэтому

p-= y-= 2 ⇒ p= 2x⇒ x= p 3x 3z 3 2

AD = 2p, DC = 3p 2

По теореме косинусов для треугольников $ABC$ и $ADC$ с учетом $∠B + ∠D =180∘$ имеем

2 49z2 = 2p2 − 2p2cos∠B,49z2 = 4p2 + 9p-+ 6p2cos∠B 4

z = p, y = p, AK = p, BK = p 4 2 2

Для равнобедренного треугольника $ABK$ имеем

BK-- 1 cos∠AKB = 2AK = 4

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74505

Шар радиуса $4 9$ лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ со стороной основания 8 и высотой 3. Этот шар касается плоскости основания $ABCD$ пирамиды и боковых граней $SBC$ и $SCD.$ Плоскость $γ$ касается шара, проходит через точку $B,$ середину $K$ ребра $CD$ и пересекает ребро $SC$ в точке $M.$ Найдите объем пирамиды $MBCK.$

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку пирамида $SABCD$ правильная, то центр $O$ указанного шара лежит в плоскости $SHC$ , где $SH$ — высота пирамиды. Пусть $RP ∥SH,R∈ SC,P ∈HC,$ $O∈ RP.$

Обозначим $SH = h,AB =a,RP =kh.$ Проведем $PN ∥AB,N ∈BC.$ $E$ — точка касания шара плоскости $SBC,$ пусть радиус шара $OE = r.$

$PIC$

Поскольку $PC :HC = k,$ то $PN = ka∕2.$ Треугольники $ROE$ и $RPN$ подобны, и $OE :PN = RO :RN,$ или

(√ -2---2- ) -r--= -∘-k2h−-r--2, r= √-kh2− r-2, k= r --4h--+a-+ 1 ka∕2 k h +(a∕2) a 4h + a h a

По условию задачи $a =8,h= 3,r= 4. 9$ Тогда $k= 1. 3$

Точка $F$ — точка пересечения $AC$ и $BK,$ тогда $FC = AC∕3.$ Поскольку $P C = kHC =$ $= HC ∕3=$ $AC∕6,F P = PC.$

Пусть $PQ⊥ BK$ . Тогда $-a√- PQ = 2 5.$ Если $α= ∠OQP,$ то $r2√5 √5 tgα= a = 9 .$ Угол между плоскостью $γ$ и плоскостью основания равен $2α.$ Тогда

2tgα 4√5ar 9√5 tg2α = 1− tg2α-= a2-− 20r2 =-38

Пусть $MG$ — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость основания $ABC$ , и $MG = nh$ .

$PIC$

Тогда $CG = nCH$ . Если $GV ⊥ BK$ , то

GV = GF-h0 = AC-∕3-− nAC-∕2h0 = 2− 3nh0, CF AC∕3 2

$h0 = a√5$ — высота треугольника $BCK,$ проведенная из вершины $C.$

2nh√5 4ra2 12 tg2α= (2− 3n)a,n= (h+-6r)a2− 20hr2 = 37

2 VMBCK = 1⋅ a-nh = 192 3 4 37

Ответ:

$192 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74506

В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.

Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке линия проходит через точку Г:

$PIC$

a) Определите площадь земной поверхности ( $в км2$ ), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H = 500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R = 6400$ км с центром в точке $O.$

б) Найдите все значения $n >1,$ для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C1,...,Cn,$ каждая из которых внешним образом касается окружности $C0,$ с центром в точке $A$ и радиусом $r< R,$ каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$ , что и спутник с зоной покрытия $C0.$ Каждая из зон покрытия $Ci$ должна внешним образом касаться окружностей $C0$ и $Ci+1,i=0,1,...,n− 1,$ т.е. первая касается $C0$ и $C2,$ вторая — $C0$ и $C3,$ и т.д. Окружность $Cn$ должна касаться $C0$ и $C1.$

Источники: ШВБ-2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. $S = 2πR⋅h$ , где $h= A3$ — высота сегмента. $h =R − R cosα$ , здесь угол $α$ — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

( ) S = 2πR2(1− cosα)= 2πR2 1−--R-- = 2πR2⋅--H-- ≈ R +H R + H

2 500- 2 10 4096- 5 5 2 ≈6 ⋅6400 ⋅6900 =6400 ⋅23 ≈ 23 ⋅10 ≈178,09⋅10 = 17809000 км

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и $A1$ их центры этих окружностей, $З,З1,З2$ — точки пересечения радиусов $R$ со сферой. Обозначим $α$ — угол между ОЗ и ОВ. Тогда $r- sinα = R,ЗЗ1 = 2r.$

$PIC$

В правильной пирамиде О $ЗЗ1З2$ плоские углы при вершине равны $2α,$ двугранный угол при ребре О3 равен $360∕n.$ Опустив перпендикуляры из точек $З1$ и $З2$ на ребро О3 в точку H, треугольники О $З,З1$ и О $ЗЗ2$ равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны $R,$ а третья $2r.$