Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
ШВБ - задания по годам

Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .01 ШВБ 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106681

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Угол $EDC$ равен $∘ √- 30,AE = 3,$ а площадь треугольника $DBE$ относится к площади треугольника $ABC$ как $1 :2.$ Найдите длину отрезка $BO,$ если $O$ — точка пересечения отрезков $AE$ и $CD.$

Показать ответ и решение

$∠EDC =∠EAC =30∘$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу);

$AC$ — диаметр окружности $⇒ △AEC$ — прямоугольный,

∘ ∘ AE ∘ ∠AEC = 90 ,∠ECA =60 , AC = cos30∘ = 2, EC = AC sin30 = 1;

$PIC$

∠ADC = 90∘,∠EDC = 30∘ ⇒ ∠BDE = 60∘

Из подобия треугольников $DBE$ и $CBA$

DE- = BD-= BE-= k AC BC AB

k2 = SDBE = 1 SABC 2

-1- k= √2

√- DE = 2

По теореме синусов для $△DEC$

DE EC sin(∠DCE-)-= sin30∘-

√- ----2----= 2 sin(∠DCE )

√- sin(∠DCE )= -2- 2

∠DCE = 45∘

$△EOC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, $EO = EC = 1$ ;

$∠DAE = 45∘ ⇒ △ABE$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, $√- BE = AE = 3$ ;

$△BEO$ — прямоугольный треугольник, так что по теореме Пифагора

BO2 = BE2 +EO2

BO2 = 3+ 1= 4

BO =2

Ответ: 2

Следующая подтема