Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .11 ШВБ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119859

Множество $A$ состоит из натуральных чисел $n,$ делящихся на $[3√n].$ Здесь $[x]$ — целая часть числа $x,$ то есть наибольшее целое число, не превышающее $x.$ Найдите количество чисел из отрезка $[25,2025],$ принадлежащих множеству $A.$

Источники: ПВГ - 2025, 11.4(см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим отрезок $[k3,(k +1)3− 1],$ где $[√3n-]= k.$ Мы хотим выбрать из такого отрезка числа, которые делятся на $k.$ Количество целых чисел на таком отрезке

3 3 (k+1) − k = k(3k+ 3)+1

причём первое число $k3,$ очевидно, делится на $k.$ Значит, всего подходящих чисел на отрезке будет

k(3k+-3) k +1 =3k+ 4

В нашей задаче в исследуемый интервал целиком входят отрезки для $k =3,...,11.$ Там искомых чисел

9⋅(11 +3) 3⋅---2----+ 4⋅9= 225

На отрезке $[25,26]$ только одно число делится на $2,$ а на отрезке $[123 = 1728,2025]$ всего $298$ чисел, причём снова певрвое число делится, поэтому мы берём $[21972 ]+ 1= 25$ чисел. Всего $1+225+ 25= 251$ число.

Ответ:

$251$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119898

Пусть $x =log5, y =lg12. 3$ Представьте $log 5 2$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+,−,⋅,:$ ).

Источники: ШВБ - 2025, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Перейдём к двоичным логарифмам. Обозначим:

log2 3= a, log25= b

Тогда:

log2-5 b x= log35= log2 3 = a

log 12 log (4⋅3) 2+ a y = lg12= lo2g-10 = log2(2⋅5) = 1-+b 2 2

Получаем систему уравнений:

( |{ x= b | a2+-a ( y = 1+ b

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

( { b= ax ( y =-2+a- 1+ax

Умножим обе части второго уравнения на $1+ax$ и раскроем скобки

y(1+ ax)= 2+ a

y+ axy =2 +a

Перенесем все слагаемые с $a$ влево и вынесем его за скобку:

axy− a =2 − y

a(xy− 1)= 2− y

Отсюда:

a = 2−-y- xy− 1

Теперь найдём $b:$

x(2− y) b= ax= -xy− 1

Ответ:

$x(2−-y) xy− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119900

Карточки с буквами П, О, Т, О, М, С, Т, В, О сложили в строку в случайном порядке. С какой вероятностью найдутся три карточки подряд, образующие слово ТОМ или ПОТ? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Источники: ШВБ - 2025, 11.2 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Общее число перестановок 9 карточек (с учётом повторений):

-9!- 362880 3!⋅2! = 12 =30240

Строки, содержащие слово “ТОМ”.
Рассматриваем “ТОМ” как единый блок. Остаются буквы: О, О, П, С, Т, В. Число перестановок:

7! 2! = 2520

Строки, содержащие слово “ПОТ”.
Аналогично, рассматриваем “ПОТ” как единый блок. Число перестановок:

7!= 2520 2!

Учёт пересечений:
1. Строки, содержащие оба слова “ТОМ” и “ПОТ” (не пересекающиеся):

5!= 120

2. Строки, содержащие слово “ПОТОМ” (пересекающиеся):

5!= 120

Итого пересечений:

2⋅120= 240

Применяем формулу включений-исключений:

Благоприятные перестановки =2520+ 2520− 240 =4800

Вероятность:

-4800-= 10 30240 63

Ответ:

$10 63$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119901

Высота $BH$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $D$ и $E,$ пересекаются в точке $F.$ Прямая $BF$ пересекает сторону $AC$ в точке $K.$ Найдите отношение $AK$ : $KC$ и длины отрезков $DF$ и $BK,$ если $BH =12,AD = 25∕13,CE = 27∕5.$

Источники: ШВБ - 2025, 11.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Найдем стороны треугольника $ABC.$ Треугольники $BDH$ и $BHA$ подобны:

BH- -BD 2 AB =BH ⇒ BH = AB ⋅BD ⇒

BH2 = AB ⋅(AB − AD)⇒ AB2− AD ⋅AB− BH2 = 0⇒

2 13AB − 25AB − 144⋅13= 0, AB = 13.

Треугольники $BEH$ и $BHC$ подобны:

BH- -BE 2 BC =BH ⇒ BH = BC ⋅BE ⇒

BH2 = BC ⋅(BC − CE)⇒ BC2− CE ⋅BC− BH2 = 0⇒

5BC2 − 27BC − 144⋅5= 0, BC = 15.

Тогда:

AH = 5, HC = 9, AC = 14.

$PIC$

Найдем отношение $AK :KC.$ Проведем через $F$ прямую параллельную $AC,$ обозначим точки пересечения продолжения сторон $AB,BC$ и данной прямой $G,L.$ Пусть $O$ — центр окружности. Тогда:

∠ODF =∠BDH = 90∘ ⇒ ∠BDO = ∠FDH, ∠GDF =∠F GD.

Треугольник $DFG$ равнобедренный, $DF = FG.$ Аналогично, треугольник $EF L$ равнобедренный, $EF = FL.$ По свойству касательных $EF = DF,$ поэтому $GF = LF.$ Следовательно, $BF$ — медиана треугольника $GBL.$ Треугольники $GBL$ и $ABC$ подобны, $BK$ — медиана треугольника $ABC.$ Таким образом:

AK :KC =1:1.

Найдем длину $BK.$ Медиана треугольника $ABC :$

1∘---------------- 1∘ ---------------- √-- BK = 2 2AB2 +2BC2 − AC2 = 2 2⋅132 +2⋅152− 142 = 2 37.

Найдем длину $DF :$

∠DOE = 2∠ABC ⇒ ∠OF D= 90∘− ∠ABC ⇒

DF = OD ⋅ctg(∠OFD )=OD ⋅tg(∠ABC )= 6⋅tg(∠ABC ).

По теореме косинусов:

AB2-+-BC2−-AC2 169+225−-196- 33 cos(∠ABC) = 2AB ⋅BC = 2 ⋅13⋅15 = 65.

Тогда:

∘ ---(--)2- sin(∠ABC )= 1− 33 = 56, tg(∠ABC )= 56, 65 65 33

6⋅56 112- DF = 33 = 11 .

Ответ:

$AK :KC = 1:1, BK =2√37, DF = 112- 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119902

Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств

(| (x2− 4x+5 − a)(x− a+1) |{ --------√9-− x------- >0 ||( logx2−54xa≤ 1

Источники: ШВБ - 2025, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Учитывая все ОДЗ и применяя метод рационализации, наша система принимает следующий вид:

$pict$

Изобразим решение данной системы на плоскости $Oxa :$

$PIC$

Найдем точку $x< 9$ пересечения прямой $a= x+ 1$ и параболы $2 a= x-−54x.$
Приравняем выражения для $a:$

2 x-−-4x-= x+ 1 5

Умножим обе части на 5:

x2− 4x = 5x +5 ⇒ x2− 9x − 5= 0

Решим квадратное уравнение:

√------ √--- x = 9±--81+20-= 9±--101- 2 2

Учитывая условие $x< 9,$ выбираем меньший корень:

√--- √--- x= 9−--101, a =x +1 = 11−-101 2 2

Найдем корни уравнения $x2− 4x − 5a= 0.$
Преобразуем уравнение:

(x − 2)2 = 5a +4 ⇒ x = 2± √5a+-4 1,2

Найдем корни уравнения $(x − 2)2+ 1− a =0.$
Преобразуем уравнение:

(x− 2)2 =a − 1 ⇒ x1,2 = 2±√a-−-1, a≥ 1

Теперь просто начинаем идти по оси $Oa,$ анализируя решения:

$1)$ При $( √---) a∈ 0;11−2101$ решения лежат в объединении интервалов $x∈[2− √5a+-4;0)∪ (4;2+ √5a+-4]∪(5;9).$

$2)$ При $a∈ [11−-√101;1) 2$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(a− 1;0)∪(4;2+ √5a+4]∪ (5;9).$

$3)$ При $a= 1$ решения лежат в объединении интервалов $x∈ (4;5)∪(5;9).$

$4)$ При $a∈ (1;5]$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(4;5)∪ [2+ √5a+-4;9).$

$5)$ При $a∈ (5;6)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √---- [ √----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪(a− 1;5)∪ 2+ 5a+ 4;9 .$

$6)$ При $a∈ [6;9)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √ ---- [ √ ----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪ 2+ 5a+4;9 .$

$7)$ При $a∈ [9;10)$ решения лежат в объединении интервалов $√ ---- √ ---- x∈ (2− a− 1;0)∪(4;2+ a− 1).$

$8)$ При $a∈ [10;+∞ )$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(−1;0)∪ (4;5).$

$9)$ При $a≤ 0$ решений нет.

Ответ:

Ответ — конец решения

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119904

Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приема сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек.

В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R = 24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведенной внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d= 3$ км от центра окружности.

В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r.$

Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.

Источники: ШВБ - 2025, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $3G$ вышки имеют одинаковый радиус действия $r.$ Радиус основной окружности $R,$ расстояние от центра большой окружности до хорды $d.$ Введем точки, как показано на чертеже: $O$ — центр большой окружности, $C,$ $D$ — центры маленьких окружностей, $K$ — точка касания маленьких окружностей, $E$ — точка касания окружности с хордой. $OP =d$ — заданное расстояние от центра до хорды $AB.$

$PIC$

Тогда из рисунка понимаем следующие вещи:

CE ⊥ AB, OP ⊥AB, CE ∥OP, CD ∩ OG =K

OC = R− r, CK = r, OK = d+r

Запишем теорему Пифагора для $△OCK$ и выразим меньший радиус:

2 2 2 2 2 2 (R − r) = r +(d+ r) =⇒ r + 2r(d+ R)− (R − d )= 0

∘--2----- r= −(R +d)+ 2R + 2Rd

Подсчитаем площадь части сегмента, которая не попадает в зону действия ретрансляторов $3G.$
Пусть $∠AOP =α,$ $Sc = Sсегмента,S3 — площадь покрытая действие вышки 3G.$