Изумруд - задания по годам → .02 Изумруд 2020

Заметим, что в прямоугольниках и находится не больше одной принцессы. Иначе в прямоугольнике левая принцесса била бы правую, а в прямоугольнике нижняя принцесса — верхнюю. Значит, принцессы не могут быть в соседних по стороне клетках.

Покажем, что в прямоугольнике не более двух принцесс. Предположим, что в таком прямоугольнике можно разместить хотя бы фигуры принцесс. Так как принцессы не являются соседями по стороне, то возможны два варианта их размещения (розовые квадратики — фигуры прицесс)

В обоих случаях найдется принцесса, которая будет побита.

Тогда если разбить доску на непересекающиеся области размера получим, что принцесс не более

48 принцесс разместить уже возможно:

Рассмотрим числа 1, 4, 8, 12. Так как

то этот набор чисел удовлетворяет условию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В задаче требуется только пример, попробуем прийти к нему. — наименьшее из используемых натуральных чисел, пусть Добавим к каждой части по единице, тогда уравнение выглядит как

Теперь рассмотрим делимость на тогда

иначе правая часть будет делиться на

Рассмотрим аналогично делимость на

Тогда

иначе правая часть будет делиться на

Получим минимально возможное то есть и

Тогда или . В первом случае получаем и

Во втором случае: и

Оба примера подходят, могут быть и другие подходящие под условие наборы.

Поскольку вершины графиков квадратичных функций лежат на оси абсцисс, то эти функции имеют вид

причём Точки пересечения этих графиков найдём из уравнения

которое после преобразований примет вид

По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют равенству

Из условия следует, что координаты точек и равны и соответственно. Уравнение прямой имеет вид:

Обозначим абсциссу точки пересечения прямой с осью абсцисс через При этом ордината этой точки равна нулю, то есть справедливо равенство

и поскольку (иначе бы графики пересекались в одной точке или совпадали), то последнее равенство равносильно равенству

откуда

Пусть — некоторое представление числа в виде суммы факториалов натуральных чисел. Поскольку эта сумма нечётна, есть хотя бы одно нечётное слагаемое. Нечётный факториал единственный и равен единице, поэтому, без ограничения общности, Тогда равенство примет вид

и является представлением числа в виде суммы факториалов натуральных чисел. То есть из каждого представления числа мы однозначно получили представление числа С другой стороны, взяв любое представление

и добавив к нему получим однозначно представление

Значит, количества представлений чисел и совпадают.

Предположим, что и без ограничения общности будем считать, что Добавим к обеим частям равенства после чего умножим обе части на Тогда по формуле разности степеней получим

Раскрыв скобки, получаем

что, в свою очередь, равносильно равенству

Поскольку левая часть равенства делится на то и выражение

делится на Поскольку и являются простыми числами и то НОД а значит Но из малой теоремы Ферма следует, что

поэтому что невозможно. Следовательно, наше предположение ошибочно и

Пусть Обозначим середины сторон через соответственно, а длины медиан — через соответственно.

Заметим, что

Аналогично, Как известно, существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника Построим треугольник такой, что

Углы этого треугольника будут равны углам между медианами а именно

и

Следовательно, треугольники и подобны по двум углам, а значит,

По формуле длины медианы треугольника получим

откуда

Первое равенство равносильно

откуда

Предположив, что , получим откуда Равенство

также выполняется, что проверяется прямой подстановкой.

Таким образом, под условие задачи подойдёт любой треугольник, длины сторон которого связаны соотношением например, треугольник со сторонами

Замечание. Треугольники, длины сторон которых связаны соотношением , называются автомедианнымии.