Тема Изумруд

Изумруд - задания по годам → .02 Изумруд 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Разделы подтемы Изумруд - задания по годам

Изумруд до 2020

Изумруд 2020

Изумруд 2021

Изумруд 2022

Изумруд 2023

Изумруд 2024

Изумруд 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87858

На доске размером $12× 12$ стоит сказочная шахматная фигура принцесса. За один ход принцесса может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали влево-вниз. Какое наибольшее число не бьющих друг друга принцесс можно поставить на доску?

Источники: Изумруд - 2020, 11.5(см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах на оценку объектов на доске очень часто помогает идея разбить доску на кусочки поменьше, в которых мы точно может оценить количество объектов. На какие кусочки будем делить? ;)

Подсказка 2

Попробуйте оценить количество принцесс в прямоугольнике 2 на 3.

Подсказка 3

Попробуйте разместить в прямоугольнике 2 на 3 3 принцессы ;)

Подсказка 4

Именно, оказывается, что на доске 2 на 3 стоит не больше двух принцесс! Отсюда можно сделать оценку на их количество для всех доски) Не забудьте придумать пример!

Показать ответ и решение

Заметим, что в прямоугольниках $2×1$ и $1× 2$ находится не больше одной принцессы. Иначе в прямоугольнике $1× 2$ левая принцесса била бы правую, а в прямоугольнике $2 ×1$ нижняя принцесса — верхнюю. Значит, принцессы не могут быть в соседних по стороне клетках.

Покажем, что в прямоугольнике $2 ×3$ не более двух принцесс. Предположим, что в таком прямоугольнике можно разместить хотя бы $3$ фигуры принцесс. Так как принцессы не являются соседями по стороне, то возможны два варианта их размещения (розовые квадратики — фигуры прицесс)

$PIC$

В обоих случаях найдется принцесса, которая будет побита.

Тогда если разбить доску $12× 12$ на $24$ непересекающиеся области размера $2×3$ получим, что принцесс не более

2⋅24= 48

48 принцесс разместить уже возможно:

$PIC$

Ответ: 48

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#108449

Приведите пример различных натуральных чисел $a< b< c< d$ таких, что $c2 =$ $ab+ ad+ bd.$

Источники: Изумруд - 2020, 11.1 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем подставить какое-то значение вместо, например, а. При этом нам выгодно, чтобы выражение справа разбивалось на произведение каких-то множителей. Какое а берём?

Подсказка 2

Пусть а = 1. Теперь рассмотрим левую и правую часть по каким-то модулям, чтобв отбросить точно не подходящие варианты. Каких модулей нам хватит, чтобы легко подобрать подходящие значения?

Подсказка 3

Смотрим остатки по модулям 3, 4 и 5. Отсюда берем какие-то подходящие b, c и d, получаются несколько наборов, можем выбрать любой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа 1, 4, 8, 12. Так как

2 8 = 4+ 12+ 4⋅12,

то этот набор чисел удовлетворяет условию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В задаче требуется только пример, попробуем прийти к нему. $a$ — наименьшее из используемых натуральных чисел, пусть $a= 1.$ Добавим к каждой части по единице, тогда уравнение выглядит как

2 c +1= b+ d+ bd+ 1= (b+1)⋅(d+1).

Теперь рассмотрим делимость на $3.$ $c2+1 ≡±1 (mod 3),$ тогда

({b⁄≡ 2 (mod 3) ( , d⁄≡ 2 (mod 3)

иначе правая часть будет делиться на $3.$

Рассмотрим аналогично делимость на $4.$

[ c2+ 1≡ 1 (mod 4) c2+ 1≡ 2 (mod 4)

Тогда

( { b⁄≡ 3 (mod 4) ( d⁄≡ 3 (mod 4)

иначе правая часть будет делиться на $4.$

Получим минимально возможное $b= 4,$ то есть $c2+ 1= 4+ d+ 4d +1= 5⋅(d+ 1)$ и $c2+ 1≡0 (mod 5).$

Тогда $c ≡2 (mod 5)$ или $c ≡3 (mod 5)$ . В первом случае получаем $c= 7$ и $49= 4+d+ 4d,$ $d= 9.$

Во втором случае: $c= 8$ и $64= 4+ d+ 4d,$ $d =12.$

Оба примера подходят, могут быть и другие подходящие под условие наборы.

Ответ:

Например, подходят числа $a= 1b= 4c =8 d= 12. , , ,$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#108450

Графики двух квадратичных функций, вершины которых имеют абсциссы $x,x 1 2$ и лежат на оси абсцисс, пересекаются в точках с абсциссами $x3,x4.$ На первом графике выбрали точку $M$ с абсциссой $x2,$ а на втором — точку $N$ с абсциссой $x1.$ Найдите абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс.

Источники: Изумруд - 2020, 11.2 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая, что трёхчлены касаются оси абсцисс, их уравнения имеют довольно простой вид. Приравняв их, можно найти связь между абсциссами вершин и точек пересечения.

Подсказка 2

Теперь осталось написать уравнение прямой MN и узнать абсциссу, при которой ордината зануляется.

Показать ответ и решение

Поскольку вершины графиков квадратичных функций лежат на оси абсцисс, то эти функции имеют вид

2 2 a(x− x1) и b(x− x2),

причём $a ⁄=0,b⁄= 0.$ Точки пересечения этих графиков найдём из уравнения

2 2 a(x − x1) = b(x − x2),

которое после преобразований примет вид

2 2 2 (a− b)x + (2bx2− 2ax1)x+ ax1− bx2 = 0.

По теореме Виета, корни уравнения $x3,x4$ удовлетворяют равенству

2bx2−-2ax1 x3+ x4 = b− a .

Из условия следует, что координаты точек $M$ и $N$ равны $( 2) x2;a (x2− x1)$ и $( 2) x1;b(x1− x2)$ соответственно. Уравнение прямой $MN$ имеет вид:

2 x−-x1-= ----y− b(x1−-x2)----. x2− x1 a(x2 − x1)2− b(x1− x2)2

Обозначим абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс через $x0.$ При этом ордината этой точки равна нулю, то есть справедливо равенство

z0− x1 − b(x1− x2)2 x2− x1-= a(x2-− x1)2− b(x1−-x2)2,

и поскольку $x1 ⁄= x2$ (иначе бы графики пересекались в одной точке или совпадали), то последнее равенство равносильно равенству

-z0−-x1 =-−-b, x2 − x1 a − b

откуда

b(x2−-x1)+-(b− a)x1 bx2− ax1 x3+x4- x0 = b− a = b− a = 2 .

Ответ:

$x3+x4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108451

Пусть $A$ — количество способов представить число $2018$ в виде суммы факториалов натуральных чисел, а $B$ — количество способов представить число $2019$ в виде суммы факториалов натуральных чисел (наборы, отличающиеся перестановкой чисел, считаются одинаковыми). Докажите, что $A = B.$

Источники: Изумруд - 2020, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда нам нужно доказать равномощность некоторых множеств (в нашем случае это множества разложений в сумму факториалов), имеет смысл построить биекцию между такими множествами (взаимно однозначное соответствие).

Подсказка 2

Давайте разложим 2019 в сумму факториалов и попробуем что-то сказать хотя бы про одно слагаемое.

Подсказка 3

Давайте зацепимся за то, что 2019 нечётно!

Подсказка 4

Раз 2019 нечётно, то хотя бы один факториал нечётный! А много ли их таких? ;)

Показать доказательство

Пусть $a !+a !+a !+...+a != 2019 1 2 3 n$ — некоторое представление числа $2019$ в виде суммы факториалов натуральных чисел. Поскольку эта сумма нечётна, есть хотя бы одно нечётное слагаемое. Нечётный факториал единственный и равен единице, поэтому, без ограничения общности, $a1 = 1.$ Тогда равенство примет вид

a2!+ a3!+ ...+ an!= 2018

и является представлением числа $2018$ в виде суммы факториалов натуральных чисел. То есть из каждого представления числа $2019$ мы однозначно получили представление числа $2018.$ С другой стороны, взяв любое представление

b2!+ b3!+ ...+ bk!= 2018

и добавив к нему $b1!= 1,$ получим однозначно представление

b1!+ b2!+ b3!+...+bk!= 2019.

Значит, количества представлений чисел $2018$ и $2019$ совпадают.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#108452

Про простые числа $p$ и $q$ известно, что

2 q 2 p p+ p +...p =q +q + ...q.

Докажите, что $p= q.$

Источники: Изумруд - 2020, 11.4 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем решать задачу от противного и предположим, что p > q. На что похожи обе части равенства? Быть может, было какое-то разложение или формула? ;)

Подсказка 2

Левая часть выражения очень похожа на p^(q+1) - 1. А что нужно сделать, чтобы привести её к такому виду?)

Подсказка 3

Давайте домножим обе части равенства на (p-1)(q-1).

Подсказка 4

Как воспользоваться тем, что p и q различные простые?

Подсказка 5

Обратите внимание на делимость обеих частей на p.

Показать доказательство

Предположим, что $p⁄= q$ и без ограничения общности будем считать, что $p>q.$ Добавим к обеим частям равенства $1,$ после чего умножим обе части на $(p− 1)⋅(q− 1).$ Тогда по формуле разности степеней получим

( q+1 ) ( p+1 ) p − 1(q− 1)= q − 1 (p− 1).

Раскрыв скобки, получаем

q+1 q+1 p+1 p+1 p q− p − q =q p− q − p,

что, в свою очередь, равносильно равенству

pq+1q− pq+1− qp+1p+ p=q − qp+1.

Поскольку левая часть равенства делится на $p,$ то и выражение

q− qp+1 =q(1− qp)

делится на $p.$ Поскольку $p$ и $q$ являются простыми числами и $p> q,$ то НОД $(p,q)= 1,$ а значит $. (qp− 1)..p.$ Но из малой теоремы Ферма следует, что

qp− 1≡ p− 1 ≡− 1, p p

поэтому $− 1...p,$ что невозможно. Следовательно, наше предположение ошибочно и $p =q.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#108453

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Оказалось, что $∠ABM =∠BCM, ∠BAM = ∠ACM.$ Верно ли, что треугольник $ABC$ — равносторонний?

Источники: Изумруд - 2020, 11.6 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

В этой задаче дан треугольник с некоторыми особенностями. Глобально идея решения звучит так: нужно найти необходимые и достаточные условия, при которых эти особенности реализуются и понять, являются ли они достаточными, чтобы треугольник был равносторонним.

Подсказка 2:

И вот для нахождения этого критерия нужно знать довольно нетривиальный факт. Для любого треугольника существует треугольник, у которого стороны параллельны и равны его медианам. Обязательно докажите это и подумайте, как применить к задаче.

Подсказка 3:

У вас там в условии даны какие-то равенства углов. А что если поперекидывать углы? Что можно сказать про изначальный треугольник и треугольник из медиан?

Подсказка 4:

Вероятно, вы уже многое поняли про задачу. Чтобы закончить решение, вспомните, как выражается медиана через длины сторон треугольника)

Показать ответ и решение

Пусть $BC = a,AC = b,AB =c.$ Обозначим середины сторон $BC,AC,AB$ через $A ,B ,C 1 1 1$ соответственно, а длины медиан $AA1,BB1,CC1$ — через $ma,mb,mc$ соответственно.

$PIC$

Заметим, что

∠BAC = ∠BAM +∠CAM = ∠ACM + ∠CAM = ∠AMC1.

Аналогично, $∠ABC =∠BMC . 1$ Как известно, существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника $ABC.$ Построим треугольник $KLN$ такой, что $LN = m ,KN =m ,LK = m . a b c$

$PIC$

Углы этого треугольника будут равны углам между медианами $AA1,BB1,CC1,$ а именно

∠KLN = ∠AMC1 = ∠BAC

∠LKN =∠BMC1 = ∠ABC.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $KLM$ подобны по двум углам, а значит,

-a-= -b-= -c. mb ma mc

По формуле длины медианы треугольника получим

-∘----a-------= --∘----b------ = -∘----c-------, 12 2(a2 +c2)− b2 12 2(b2+c2)− a2 12 2 (a2+ b2)− c2

откуда

2 2 2 ---2-a2---2 = --2-b-2---2 =---2-c2---2 2(a + c)− b 2(b + c)− a 2(a + b)− c.

Первое равенство равносильно

a2(2(b2+ c2)− a2) =b2(2(a2 +c2)− b2),

откуда

2a2c2− a4 = 2b2c2− b4,2c2(a2− b2)= (a2− b2)(a2 +b2).

Предположив, что $a⁄= b$ , получим $2c2 = a2+ b2,$ откуда $∘-2--2 c= a-+2b .$ Равенство

2 2 ---2-a2---2 = --2--c2---2 2(a + c)− b 2(a +b )− c

также выполняется, что проверяется прямой подстановкой.

Таким образом, под условие задачи подойдёт любой треугольник, длины сторон которого связаны соотношением $∘ ----- c= a2+b2, 2$ например, треугольник со сторонами $a =5,b= 7,c= √37.$

Замечание. Треугольники, длины сторон которых связаны соотношением $c=$ $∘ a2+b2- 2$ , называются автомедианнымии.

Ответ:

вообще говоря, нет

Предыдущая подтема

Следующая подтема