Тема Изумруд

Изумруд - задания по годам → .01 Изумруд до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Разделы подтемы Изумруд - задания по годам

Изумруд до 2020

Изумруд 2020

Изумруд 2021

Изумруд 2022

Изумруд 2023

Изумруд 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73375

Максим написал на доске произвольный многочлен $P (x)$ с целыми коэффициентами. Антон, не глядя на доску, сказал, что какое бы натуральное число $n$ не назвал Максим, среди выражений $P (1),P (1)+ P(2),P(1)+ P(2)+P (3),...$ обязательно найдётся число, кратное $n.$ Прав ли Антон?

Показать ответ и решение

Заметим, что $P(x+n) ≡P (x) (mod n),$ это следует из того, что $(x +n)k ≡ xk (mod n)$ для любого $k.$ Рассмотрим сумму $2 P (1)+ P(2)+ ...+ P(n).$ Заметим, что в слагаемые в той сумме разбиваются на $n$ групп так, что в каждой группе слагаемые имеют вид $P(i+kn)$ ( $i,k ∈[0,n− 1]$ ) и дают одинаковый остаток при делении на $n.$ Но тогда сумма слагаемых в каждой группе кратна $n,$ потому что мы суммируем $n$ одинаковых остатков. Но тогда и вся рассмотренная сумма кратна $n.$

Ответ:

Да, прав

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98108

В турнире по баскетболу каждая команда сыграла с каждой ровно по одному разу. Ничьих в процессе турнира не было. Оказалось, что команда-победитель выиграла матчей на два больше, чем каждая из оставшихся команд. Сколько команд могло участвовать в турнире?

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвовало $n$ команд, причём команда-победитель выиграла $k$ матчей. Тогда каждая из оставшихся $n− 1$ команд выиграла по $k− 2$ матча. Всего между командами состояпось $n(n−-1) 2$ матчей, в которых суммарно было $n(n−1) 2$ победителей. С другой стороны, суммарное число побед всех команд равно $k+(n− 1)(k− 2)$ . Значит,

n(n− 1) k+ (n − 1)(k − 2)=--2---

kn= 2(n − 1)+ n(n−2-1)-= (n-+4)2(n-− 1)

k = (n+-4)(n-− 1)k 2n

является целым числом, следовательно,

2k = (n-+4)(n-− 1)= n− 3− 4 n n

целое число, а значит $-4 n$ — целое, что возможно лишь при $n= 1,n =2,n= 4$ .

При $n =1$ матчей не было.

При $n =2$ число $k = 32$ , что не является целым.

При $n =4$ число $k = 3$ .

Пример: занумеруем команды числами $1,2,3,4$ . Команда 1 вынграла у всех, команда 2 выиграла у команды 3, команда 3 выиграла у команды 4, команда 4 выиграла у команды 2.