Тема НадЭн (Надежда энергетики)

НадЭн - задания по годам → .03 НадЭн 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Разделы подтемы НадЭн - задания по годам

НадЭн до 2020

НадЭн 2020

НадЭн 2021

НадЭн 2022

НадЭн 2023

НадЭн 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96520

Рассматривается многочлен

2 4 3 ( 2) 2 2 ax + 2abx + 2ac+ b x +2bcx +c ,

в котором коэффициент $c$ и сумма $a+ b+ c−$ нечётные целые числа. Могут ли корни такого многочлена быть целыми числами?

Показать ответ и решение

Путем несложных преобразований (например, выделяя полный квадрат) многочлен приводится к виду

( 2 )2 ax + bx+c .

Таким образом, задача сведена к аналогичной для корней квадратного трёхчлена.

Пусть $x 1$ и $x 2$ — целые корни уравнения. Тогда $c =ax x 1 2$ , и оно нечётное. Отсюда следует, что каждое из чисел $a,x 1$ и $x 2$ — нечётное. Тогда поскольку сумма двух нечётных чисел $a+ c$ — чётная, а сумма $a+ b+c$ нечётная, то число $b$ — тоже нечётное. Но с другой стороны, число $b$ должно быть чётным, так как $b= −a (x1+ x2),$ а сумма двух нечётных чисел $x1+ x2$ — чётная. Противоречие.

Ответ:

Не могут.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96521

Точка $A$ лежит внутри острого угла. Через эту точку проведена прямая, отсекающая от угла треугольник наименьшей площади. Выясните: в каком отношении точка $A$ делит отрезок этой прямой, заключённый внутри угла?

Показать ответ и решение

Пусть $∠BOC$ — заданный острый угол, $A$ — заданная точка внутри него. Проведем $AD ∥CO,AE ∥ BO$ . Через т. $A$ проведем $BC ∥ DE$ .

$PIC$

Bсе треугольники $ODE, DBA, AED$ и $EAC$ равны, откуда $AB = AC$ .

Покажем, что $BC$ отсекает треугольник наименьшей площади. Для этого проведем другую произвольную прямую $KM$ (точки $K$ и $M$ лежат на сторонах заданного угла). Построим также $CN ∥BK$ .

Треугольники $ABK$ и $ACN$ равны по стороне и двум углам. Следовательно, площадь $△ACN$ меньше, чем площадь $△ACM$ , откуда получается, что площадь $△OBC$ меньше, чем площадь $△OKM$ , что и требовалось.

Таким образом, $BC$ отсекает треугольник наименьшей площади, и, как показано выше, она делится точкой $A$ пополам.

Ответ: 1 : 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96522

Уравнение $F(x) =0,$ где $F(x)= x2 +px+ q,$ имеет ровно один вещественный корень, а уравнение $F(F(F(x)))=0$ — ровно три вещественных корня. Найдите все эти корни.

Показать ответ и решение

Ясно, что $F(x)$ имеет вид $F(x)= (x− a)2,$ поэтому

(( 2 )2 )2 F(F(F(x)))= (x− a) − a − a =0.

Получаем, что $( 2 )2 (x − a) − a = a >0$ (строгое неравенство $a> 0$ следует из того, что при $a= 0$ уравнение $F(F(F(x)))= 0$ имеет не три, а всего один корень), откуда $2 √- (x − a) = a± a.$

Поскольку у этих двух квадратных уравнений должно быть три корня, у одного из уравнений должен быть один корень, а у другого два. У уравнения $2 √- (x− a)= a+ a$ не может быть всего один корень, так как $√- a+ a> 0,$ поскольку $a> 0.$ Значит, один корень имеет уравнение $√- (x− a)2 =a− a,$ то есть $√- a− a =0,$ что даёт два варианта: $a= 0$ или $a= 1.$ Поскольку $a> 0$ , остаётся только $a =1.$

Теперь, решив уравнения $√- (x− a)2 = a± a$ при $a= 1,$ легко найдём все три корня уравнения $F(F(F(x)))=0 :$ это $√ - x1 = 1,x2,3 = 1± 2.$

Ответ:

$x = 1,x = 1±√2 1 2,3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96523

Зная, что $2021 =43⋅47$ , решите в целых числах уравнение с двумя неизвестными

40(x+ y)+xy =421.

Показать ответ и решение

Переменные входят в уравнение симметрично, поэтому если есть решение $(x,y)$ , то $(y,x)$ тоже является решением. Далее,

2 (40+ x)(40+y)= 40 +40(x+ y)+ xy = 1600 +421= 2021.

Введём переменные $a= 40+x,b= 40+y ∈ℤ$ и рассмотрим уравнение

ab= 2021= 43 ⋅47.

Если есть решение $(a,b)$ , то есть и решение $(b,a)$ .

1. Пусть один из множителей равен $1,$ например, $a= 40+x =1.$ Тогда $b= 40+ y = 2021,$ и есть решения

(x,y)= (−39;1981),(1981;−39).

2. Пусть один из множителей равен $− 1,$ например, $a= 40+x =− 1$ . Тогда $b=40+ y = −2021,$ и есть решения

(x,y)= (− 41;−2061),(−2061;− 41).

3. Пусть нет множителей $± 1.$ Тогда $(a,b)=(43;47),(−43;− 47),(47;43),(−47;−43)$ откуда получаем решения

(x,y)= (3;7),(−83;− 87),(7;3),(−87;−83).

Ответ:

8 пар: $(3;7),(7;3),(−39;1981),(1981;− 39),(−41;−2061),(−2061;−41),(−83;−87),(−87,− 83).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96524

Напряжённость электрического поля в точке $(x,y)$ описывается функцией

( )x2+y2 E(x,y)= 2201 .

Найдите максимальное значение напряжённости в области, задаваемой неравенствами

|ax+ y|≤b, |ax− y|≥ b,

где $a$ и $b$ — фиксированные вещественные числа.

Показать ответ и решение

Функция $E (f)= (20)f 21$ монотонно убывает при $f ∈ [0,∞ ).$ Рассмотрим величину $f(x,y)= x2+ y2,$ если переменные удовлетворяют неравенствам

|ax+ y|≤b, |ax− y|≥ b.

Максимум $E$ соответствует минимуму $f.$

1. Если $b <0$ , то множество решений системы неравенств пусто. Функция не определена.

2. Если $b =0$ , то неравенства равносильны уравнению $ax +y = 0$ , откуда $f(x,− ax)= g(x) =(1+ a2)x2$ . Максимум $E(x,y)$ будет достигаться в начале координат и будет равен $1.$

3. Пусть $b> 0,a= 0.$ Тогда система неравенств равносильна уравнению $|y|= b$ и $2 2 2 f(x,y)= f(x,|b|)=x +b ≥ b.$ Максимум равен $(20)b2 21 .$

4. Пусть $b> 0,a> 0.$ Тогда получаем систему ограничений

−b− ax ≤y ≤b− ax, (y ≤ ax− b или y ≥ ax+ b).

Она задает на плоскости область между двумя параллельными прямыми $y = −b− ax$ и $y = b− ax$ и вне ромба с вершинами $(0;±b),(±b∕a;0).$ Функция $f$ есть квадрат расстояния от начала координат до точки области. Точки с одинаковым расстоянием от $O$ образуют окружность. Минимум расстояния имеют точки касания сторон ромба со вписанной в ромб окружностью. Найдем ее радиус $r.$