Тема НадЭн (Надежда энергетики)

НадЭн - задания по годам → .02 НадЭн 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Разделы подтемы НадЭн - задания по годам

НадЭн до 2020

НадЭн 2020

НадЭн 2021

НадЭн 2022

НадЭн 2023

НадЭн 2024

НадЭн 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79621

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.

Подсказка 2

Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?

Подсказка 3

2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.

Подсказка 4

Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88170

Две равные окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$ . Произвольная прямая, проходящая через $Q$ , повторно пересекает окружности в точках $A$ и $B$ , а касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке $C$ . Докажите, что отрезки $AQ$ и $CB$ видны из точки $P$ под одинаковыми углами.

Источники: Надежда Энергетики - 2020, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать, что отрезки видны под равными углами из точки Р равносильно равенству углов APQ и CPB. Чему можно приравнять углы APQ и QPB?

Подсказка 2

Углы APQ и QAC равны, поэтому осталось показать равенство углов САВ и СРВ. О чём говорит равенство САВ и СРВ?

Подсказка 3

Да, оно равносильно вписанности четырёхугольника CAPB. Чтобы доказать это, воспользуемся признаком вписанности, использующим сумму двух противоположных углов!

Показать доказательство

$PIC$

По теореме об угле между касательной и хордой $∠BAC =∠QP A,$ $∠CBA =∠BP Q.$ Следовательно,

∠BP A +∠ACB =∠BAC +∠ACB + ∠CBA = π,

т.е. четырехугольник $APBC$ вписанный. Значит,

∠BP C = ∠BAC = ∠QP A

Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично, например, на втором рисунке

∠ACB =∠CAQ − ∠CBQ =(π− ∠QP A)− (π− ∠QP B)= ∠APB

и

∠QP A= ∠BAC = ∠BP C

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#108270

Числовая характеристика $x$ некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения

3 x − 3x= t,

где $t$ — температура окружающей среды, измеряемая в градусах Цельсия. По некоторым технологическим соображениям корень должен быть единственным. При каких значениях $t$ уравнение имеет единственный корень $x0$ ? Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуем график функции y = x³ - 3x. При каких t будет хотя бы две точки пересечения с прямой y = t?

Подсказка 2

Верно! При |t| ≤ 2. А вот при |t| > 2 уже будет только одна точка пересечения. Попробуем теперь оценить x. При t > 2 получается x³ - 3x > 2, а при t < -2 получается x³ - 3x < -2. А в каких простых случаях эти неравенства обращаются в равенства?

Подсказка 3

Верно! При x = 2 и x = -2 неравенства соответственно обращаются в равенства. А может ли тогда |x| быть между -2 и 2?

Показать ответ и решение

$PIC$

Нетрудно построить график функции $y = x3− 3x,$ заметив, что эта функция нечётная, обращается в $0$ ровно в трёх точках $√- x= 0,± 3;$ ( $1;−2$ ) является точкой минимума, а $(−1;2)$ является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при $x> 1$ и неограниченно убывает при $x< −1.$ Таким образом, число корней равно

$3,$ если $|t|< 2,$

$2,$ если $|t|= 2,$

$1,$ если $|t|> 2.$

Единственный корень есть в точности при $|t|>2.$

Далее оценим абсолютную величину корня $x$ при $|t|> 2.$ Из графика видно, что $|x|> √3.$ Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства $x3− 3x> 2$ при $t>2$ и $x3− 3x< −2$ при $t<− 2.$ Замечая, что $x3 = 2+ 3x$ при $x= 2,$ а также $x3 = −2 +3x$ при $x= −2,$ находим $|x|> 2.$

Замечание.

Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточный) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума.

Ответ:

Уравнение имеет единственный корень в точности при $|t|>2.$ Для этого корня точная оценка снизу: $|x|>2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108271

При обработке числовых данных часто приходится вычислять среднее арифметическое

S(x,y)= (x +y)∕2

и решать уравнения, содержащие среднее арифметическое. Найдите все конечные (состоящие из конечного числа элементов) числовые множества $X$ такие, что для любых $a$ и $b$ из $X$ множество $X$ содержит корень $x$ уравнения

S(a,x)=b.

Источники: Надежда Энергетики - 2020, 11.4 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем разобраться на примере очень маленьких множеств.

Подсказка 2

Подходит ли одноэлементное множество?

Подсказка 3

А давайте предположим, что у нас есть хотя бы 2 различных элемента. Какому равенству будет удовлетворять x?

Подсказка 4

x = 2a - b. То есть мы только что построили новый элемент нашего множества. Давайте строить дальше, используя найденные новые элементы множества ;)

Показать ответ и решение

Имеем

S(a,x)= b⇔ x= 2b− a. (1)

Требуемым в условии задачи свойством обладает любое одноэлементное множество

X = {a}, a∈ (− ∞;∞ ), (2)

так как $S(a,a)= a.$

Допустим далее, что множество $X$ содержит по крайней мере два различных элемента $c,d,$ причем $c< d$ (без ограничения общности). Для уравнения $S(d,x)= c$ находим, согласно (1), $x =2c− d.$ Затем для уравнения $S(d,x)= 2c− d$ получаем $x= 4c− 3d,$ после чего рассматриваем уравнение $S(d,x)= 4c− 3d$ и получаем $x= 16c− 15d.$ Продолжая таким же образом, получаем последовательность решений

c,2c− d,4c− 3d,16c− 15d,... (3)

Покажем, что все её члены $xn =2nc− (2n − 1)d, n =0,1,2,...$ попарно различны. Если допустить, что $xn =xm$ при $n ⁄=m,$ то, преобразуя равенство, получим $(2m − 2n)c= (2m − 2n)d,$ откуда $c= d,$ это невозможно. Итак, множество $X$ содержит бесконечное подмножество — последовательность (3), следовательно, множество $X$ бесконечно.

Ответ:

в точности все одноэлементные множества $X ={a},a∈(−∞; ∞).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#108272

Юный хакер желает изменить оценки в электронном журнале. Но при изменении одних оценок изменяются и другие, а именно:

а) если он увеличивает на $2$ количество пятерок, то при этом количество двоек уменьшается на $1;$

б) если он увеличивает на $1$ количество пятерок, то количество двоек увеличивается на $2;$

в) если он уменьшает на $2$ количество пятерок, то количество двоек увеличивается на $1;$

г) если он уменьшает на $1$ количество пятерок, то количество двоек уменьшается на $2.$

Может ли он, совершая такие операции, превратить свои $3$ пятерки и $30$ двоек в $30$ пятерок и $3$ двойки?

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть всего четыре типа оценок. Попробуем обозначить через n(k) — количество действий каждого типа, где k = 1, 2, 3, 4 (тип действия). Какая система тогда выходит из условия?

Подсказка 2

Верно, из условия получаем два уравнения: 2n(1) + n(2) - 2n(3) - n(4) = 27 и -n(1) + 2n(2) + n(3) - 2n(4) = -27. Теперь нужно понять, могут ли эти условия выполняться вместе. Если бы числа n(1), n(2), n(3), n(4) были любыми вещественными, то пример легко бы строился. Но у нас они целые! Могут ли эти условия выполняться при условии, что n(k) — целые?

Подсказка 3

Попробуем из уравнения исключить как можно больше переменных сложением. Например, второе уравнение можно умножить на два и сложить с первым! Что тогда получится?

Показать ответ и решение

Обозначим через $n (i=1,2,3,4) i$ количество действий каждого из четырёх возможных типов. Требуется решить систему (первое уравнение соответствует изменению количества пятерок, второе — двоек)