Тема Газпром

Газпром - задания по годам → .02 Газпром 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Разделы подтемы Газпром - задания по годам

Газпром до 2020

Газпром 2020

Газпром 2021

Газпром 2022

Газпром 2023

Газпром 2024

Газпром 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98154

В доме 720 квартир. Однокомнатные квартиры составляют более $12%,$ но менее $13%$ от общего числа квартир. $60%$ от оставшихся были двухкомнатные квартиры, остальные — трехкомнатные. Определите, какое количество процентов от общего числа квартир этого дома составили двухкомнатные квартиры.

Источники: Газпром - 2020, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, можно ли всё выразить через одну переменную. Как будет выглядеть количество однокомнатных квартир?

Подсказка 2

Однокомнатные квартиры будут заданы через неравенство. Если перебирать варианты не хочется, обратимся к выражению двухкомнатных квартир через переменную и поставим ограничение.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — суммарное количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир, тогда количество однокомнатных квартир $(720 − x).$

По условию задачи количество двухкомнатных квартир — $0,6x,$ количество трехкомнатных квартир — $0,4x$ , количество однокомнатных квартир заключено в интервале от $0,12⋅720$ до $0,13⋅720,$ то есть

0,12⋅720< 720 − x <0,13 ⋅720

86,4< 720 − x <93,6

626,4< x< 633,6

Число $0,6x$ — число двухкомнатных квартир — целое. Следовательно, оно должно делиться на $5.$ Но в интервале $626,4< x< 633,6$ одно целое число, которое делится на $5$ — это $630$ , так что $x= 630.$ Тогда количество двухкомнатных квартир $0,6 ⋅630= 378,$ что составляет $52,5%$ от общего числа квартир.

Ответ:

$52,5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105071

Найти значение выражения $A,$ если

(----1--- ----1--- ----1---) A= 19,19⋅ 1919⋅1920 +1920⋅1921 +...+2018⋅2019 .

Источники: Газпром - 2020, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с такой длинной суммой неудобно. Давайте подумаем, как можно преобразовать дроби так, чтобы многое из скобки сократилось ;)

Подсказка 2

Попробуйте представить каждую дробь в виде разности, чтобы получилась так называемая, "телескопическая сумма ". Тогда многое сократится и останутся лишь дроби со знаменателем 1919 и 2019.

Подсказка 3

1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

Показать ответ и решение

Так как

1 n +1− n 1 1 n(n-+1) =-n(n-+1) = n − n+-1,

то

( ) A = 19,19 ⋅ ---1----+ ---1----+ ...+ ---1---- = 1919⋅1920 1920 ⋅1921 2018 ⋅2019

= 19,19⋅(-1--− -1--+--1-− -1--...+ -1--− -1-) = 1919 1920 1920 1921 2018 2019

( 1 1 ) 2019− 1919 1919⋅100 1 = 19,19⋅ 1919 − 2019 = 19,19⋅1919⋅2019-= 100⋅1919⋅2019-= 2019.

Ответ:

$--1- 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105072

Наудачу выбирают число $a$ из $[−6;6].$ Определите вероятность того, что уравнение

2 2 x − 2(a+ 1)x+ a − 9= 0

имеет два отрицательных корня.

Источники: Газпром - 2020, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое условие для квадратного уравнения помогает считать количество корней? Когда есть два корня? Давайте попробуем представить себе, как будет выглядеть график нашего уравнения, если у него два отрицательных корня?

Подсказка 2

Запишем условие на дискриминант! А что можно сказать про значение трёхчлена в нуле?

Подсказка 3

Значение трёхчлена в нуле должно быть больше нуля! Но ведь такое возможно и при двух положительных корнях... какое ещё условие можно записать на коэффициенты?

Подсказка 4

Можно записать условие на коэффициент при x! Тогда остается лишь решить систему из трёх уравнений относительно a ;)

Показать ответ и решение

Найдем возможные значения параметра $a$ , при котором уравнение $x2 − 2(a+1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня из решения системы неравенств:

( 2 2 |{ 4(a2 +1) − 4(a − 9)> 0, |( a − 9>0, 2(a +1)< 0;

(| 8a+ 40> 0, { (a− 3)(a+ 3)>0, |( a +1 <0;

(|{ a> −5, (a− 3)(a+3)> 0,a∈[−5;−3] |( a< −1;

Вероятность того, что уравнение $x2 − 2(a+ 1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня, равна отношению длины промежутка $[−5;− 3]$ к длине промежутка $[−6;6],$ т.е. вероятность равна $16.$

Ответ:

$1 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105073

Найти все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (3− √8)x = 8y+ 9y ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2.

Источники: Газпром - 2020, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте после возведения в квадрат раскроем скобки и попытаемся красиво "свернуть" второе уравнение ;)

Подсказка 2

Отлично, второе уравнение сворачивается в квадрат! Теперь мы можем выразить y через x и подставить в первое :)

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что (3 - √8)(3 + √8) = 1. Тогда после подстановки у нас везде образуется -x в показателе степени.

Подсказка 4

Поделите обе части уравнения на (3 + √8)⁻ˣ. Много ли корней у получившегося уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $y ≥ − x. 4$

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2;

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, −x2− 3xy − y2 = 4y2+2xy+ x2; 4

{ (3− √8)x = 8y+9y, (y+ x2)2 = 0,

{ √- (3− 8)x = 8y+9y, y = − x2;

{ √- √- (3+ 8)−x = ( 8)−x +3−x, y = − x2.

Поделив левую и правую части первого уравнения системы на $√ - (3 + 8)−x ⁄=0,$ получим

( √- )−x ( ) ---8√-- + --3√- −x = 1. 3 + 8 3+ 8

Выражение слева есть сумма двух монотонно убывающих функций, значит данное уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко угадывается: $x= −1.$ Тогда $1 y = 2.$

Ответ:

$(−1;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105074

Газопровод разбит на несколько участков. На каждом участке работает одинаковое число работников. Известно, что число работников находящихся на одном участке, превышает число участков на $12.$ Когда $15$ человек пришли на первый участок, а с остальных участков ушло по $15$ человек, число работников на первом участке стало равным числу работников, оставшихся на всех остальных участках. Определить число участков газопровода.

Источники: Газпром - 2020, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами текстовая задача, а условие прямо намекает на составление уравнения) Но для этого нам нужно ввести переменные! Обозначим за n число участков, а за k — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Как тогда записать условие с помощью уравнения?

Подсказка 2

k - n = 12, k + 15 = (n-1)(k+15). Как можно решить такую систему?

Подсказка 3

Выразим n через k и подставим!

Показать ответ и решение

Обозначим за $n$ число участков, а за $k$ — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Исходя из условий задачи, получим систему:

( ( |{ k− n= 12 |{ n =k − 12 |( k+ 15 =(n− 1)(k− 15), |( k+ 15= (k− 12− 1)(k− 15) k> 15,n,k∈ N; k >15,n,k ∈N

Решим эту второе уравнение системы.

k +15= (k− 13)(k − 15) 2 k +15= k − 28k +195 k2− 29k+ 180= 0 k1 =9,k2 = 20

Так как по условию $k> 15$ , то $k= 20$ и $n= 8.$ Таким образом, газопровод разбит на $8$ участков.

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105075

Найти радиус цилиндра с наибольшей полной поверхностью, вписанного в круговой конус высотой $20$ см и радиусом основания $10$ см.

Источники: Газпром - 2020, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, как выражается площадь полной поверхности цилиндра. Так... Нужно теперь воспользоваться условием на максимальную площадь. Как это сделать?

Подсказка 2

Конечно! Нужно выразить площадь через известные константы и радиус основания цилиндра. Для этого давайте рассмотрим осевое сечение нашей конструкции. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 3

Пусть осевое сечение конуса это треугольник ABC с вершиной С, а цилиндр пересекает боковые стороны треугольника в точках M и N соответственно. Давайте распишем подобие треугольников ABC и MNC. Как, используя подобие, выразить высоту цилиндра через r и известные константы?

Подсказка 4

Да! Если H — высота конуса, h — высота цилиндра, r — радиус основания цилиндра, а R — радиус основания конуса, то из подобия получаем: R/r = H/(H-h). Отсюда легко выразить h. Подставьте это в первую формулу. Как теперь максимизировать r?

Подсказка 5

Правильно! Давайте продифференцируем S(r) и найдем максимум этой функции!

Показать ответ и решение

Площадь полной поверхноcти цилиндра выражается формулой

S =2πr(r+h)

где $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Изобразим осевое сечение цилиндра, вписанного в конус, и введём обозначения (см. рис.). Из подобия треугольников $ABC$ и $NCM$ по двум углам получим $R-= -H--, r H−h$ отсюда $h =H − rH. R$

$PIC$

Подставим выраженное $h$ в первую формулу. Таким образом, получили функцию площади поверхности в зависимости от радиуса основания цилиндра:

( ) ( ( )) S(r)= 2πr H− rH-+ r = 2πr H +r 1− H- R R

Необходимо подобрать такое значение $r,$ чтобы $S$ была максимальной. Продифференцируем это выражение:

S′(r)= 2π(H + 2r(1 − H) ) R

( H) --HR--- --20⋅10-- H + 2r 1− R = 0 =⇒ r= 2(H − R) = 2 ⋅(20− 10) = 10

Убедимся, что найден максимум функции проверкой знака производной: $r< 10,$ $S′(r)> 0,$ $S(r)$ — возрастает; $r> 10,$ $S′(r)< 0,$ $S(r)$ — убывает. Значит, искомое значение $r$ равно $10.$

Ответ:

$r= 10$

Предыдущая подтема

Следующая подтема