Тема Газпром

Газпром - задания по годам → .01 Газпром до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Разделы подтемы Газпром - задания по годам

Газпром до 2020

Газпром 2020

Газпром 2021

Газпром 2022

Газпром 2023

Газпром 2024

Газпром 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67505

Решите уравнение

∘----x----1 ∘------1 ∘ ----x---------- cos2018 − 2 + cosx− 2 = cos 2018 + cosx − 1

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заменим два подкоренных выражения левой части на a и b - тогда хорошо выразится и подкоренное выражение в правой части. Пора возводить в квадрат обе части!

Подсказка 2

Верно, оказывается, что либо а, либо b должно быть равно нулю, и получится, что один из косинусов равен 1/2, а второй из них дает существование корню - то есть он не меньше, чем 1/2.

Подсказка 3

Случай, когда cos(x/2018) = 1/2, нам не подойдёт, потому что тогда другой косинус будет меньше 1/2. Рассмотрите второй случай, когда cos(x) = 1/2. Ответом будет x = ± π/3 + 2πk, k - целое, при этом нужно решить cos(x/2018) ≥ 0. Отсюда у нас появится ограничение на k, будем использовать для этого еще одну целую переменную n. Таким образом, мы и получили ответ!

Показать ответ и решение

Возведём обе части в квадрат

x 1 1 ∘ ----x---1- ∘------1 x cos2018 − 2 + cosx− 2 + 2 cos2018-−2 ⋅ cosx− 2 = cos2018 + cosx− 1

∘---------- ∘ ------- cos-x--− 1⋅ cosx− 1 =0 2018 2 2

Найдём решения первого уравнения

-x--= ±π +2πn 2018 3

( π ) x =± 673π −3 + 4036πn

Заметим, что при каждом таком значении $x$ выполнено $1 cosx − 2 < 0$ , поэтому найденная серия не подходит под ОДЗ. Поэтому остаётся второе уравнение

cosx= 1 2

x =± π+ 2πk 3

Для выполнения условий ОДЗ нужно найти такие значения $x$ , что

--x- 1 cos2018 ≥ 2

π x π 2πn− 3 ≤ 2018-≤2πn +3

Подставим

( π) π ( π) 2018⋅ 2πn − 3 ≤ ±3 +2πk ≤2018⋅ 2πn + 3

1 1 1 2018n− 3363 ≤ ±6 +k ≤2018n +3363

Заметим, что числа в левой и правой части находятся от ближайшего целого числа на расстоянии $13 > 16$ , поэтому $± 16$ можно убрать — решения при целых $k$ не изменятся. В результате получим $k∈ [2018n − 336,2018n+ 336]$ .

Ответ:

${± π+ 2πk|k∈ [2018n− 336,2018n+ 336], k,n∈ ℤ} 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72121

Для функции $y = xe−x$ найти производную 2019-го порядка $(y(2019))$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2019 - большое число, не будем же мы 2019 раз подряд искать производную ⇒ надо найти закономерность! А для этого можем найти несколько первых производных и доказать формулу

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на производные чётного порядка и нечётного: видите что-то похожее? Попробуйте вывести формулу для производной нечётного порядка - благодаря этому сможем посчитать 2019-ю производную!

Показать ответ и решение

$y′ = (1 − x)e− x$

$′′ −x y =(x− 2)e$

$′′′ −x y = (3− x)e$

И так далее, $(2k+1) −x y = (2k +1− x)e$

Ответ:

$(2019− x)e−x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#106009

Для функции $y = sin2x$ найти производную $2019$ -го порядка $(y(2019)).$

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем найти первые несколько производных и выявить закономерность в их виде, чтобы получить общую формулу.

Подсказка 2

Желательно не оставлять в производных одновременно cos и sin, а использовать формулы приведения. Пусть у нас везде будет sin, тогда какой вид будет иметь аргумент? Не забываем учесть изменение знаков! Таким образом мы хотим прийти к формуле производной в общем виде.

Подсказка 3

Теперь хотим доказать верность полученной формулы. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Первое, что приходит в голову — доказать верность формулы по индукции!

Показать ответ и решение

После нахождения нескольких первых производных можно вывести общую формулу

(n) (n−1) ( (n-− 1)π ) y =2 ⋅sin 2 + 2x ,

которую легко доказать по индукции.

База:

( ) (sin2x)′= 2sin xcosx =sin2x =21−1sin (1−-1)π+ 2x 2

Переход:

(2(n−1)⋅sin ((n−-1)π-+2x))′ = 2(n−1)⋅cos( (n-− 1)π+ 2x)⋅2= 2 2

(π nπ ) ((n+ 1− 1)π ) = 2n ⋅cos 2 − (-2 +2x) = 2(n+1)− 1⋅sin----2---- +2x

Тогда

( (2019− 1)π ) ( 2018π ) y(2019) = 2(2019−1)⋅sin ---2----+ 2x = 22018⋅sin -2---+2x = =22018⋅sin(504 ⋅2π +π +2x)= −22018⋅sin2x

Ответ:

$− 22018⋅sin2x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70300

Решите уравнение

-tgt-- tg5t cos25t − cos2t = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2t⋅cos5t⁄= 0⇔ t⁄= π +πn,t⁄= π-+ πn,n∈ ℤ 2 10 5$

Преобразуем на ОДЗ:

tgt tg 5t sint sin5t cos25t − cos2t = 0⇔ cos25tcost − cos2tcos5t = 0

sintcost− sin5tcos5t ----cos25tcost---- =0

sin 2t= sin10t

[ π- πk t= 1π2k + 6 ,k∈ℤ t= 4 ,k∈ ℤ

⌊ | t= ±1π2 + 2πk || t= ±5π12 +2πk ||| t= ±7π12 +2πk || t= ±111π2 + 2πk ||| t= ±π4 + 2πk || t= ±π2 + 2πk |⌈ t= ±3π4 +2πk t= πk

Пересекая с ОДЗ, получим:

⌊ π t=± 12 + 2πk ||| 5π- ||t= ± 12 + 2πk |||t= ± 7π-+ 2πk || 12 |||t= ±11π+ 2πk || 1π2 ||| t= ±4 +2πk ||t= ± 3π-+ 2πk |⌈ 4 t=πk

⌊ π πk |t= 12 +-6 ,k∈ ℤ ⌈ t= πk,k∈ℤ

Ответ:

$-π+ πk,πk; k∈ ℤ 12 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71674

Две окружности касаются внешним образом в точке $A.$ Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $A$ с точками касания одной из общих внешних касательных, равны $6$ см и $8$ см.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберемся, что мы можем найти на картинке. Например, можем ли мы найти BC?

Подсказка 2

Да, можем. Так как, △BAC - прямоугольный, то BC = 10. Дальше воспользуемся свойством высот в прямоугольном треугольнике! Какие подобные треугольники есть на рисунке?

Подсказка 3

Верно, △BAC ∼ △O₂MC и △BAC ∼ △O₁NB (по 2 углам). Тогда, через подобие мы можем выразить радиус каждой из окружностей(и да, не забудьте, что если радиус перпендикулярен хорде, то он делит её пополам)

Показать ответ и решение

Пусть $O 1$ и $O 2$ — центры окружностей, $B$ и $C$ — указанные точки касания ( $AB =6,AC =8$ ). Поскольку треугольник $BAC$ прямоугольный (угол $A$ — прямой), то $BC =10.$

Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O2$ на $AC.$

$PIC$

Из подобия треугольников $O2MC$ и $CAB$ находим, что

O2C =BC ⋅ CM = 10⋅ 4= 20 AB 6 3

Аналогично находим, что $O1B = 15. 4$

Ответ:

$15;20 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105943

В компьютерном магазине за два дня продали $2$ одинаковых монитора, $13$ принтеров и один сканер, причем в первый день была выручена та же сумма, что и во второй. Принтер дешевле монитора и дороже сканера на одну и ту же сумму. Сколько принтеров и сколько мониторов продали в один день со сканером?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в один день со сканером продано P мониторов и L принтеров, с есть цена принтера и принтер на s дороже сканера. Какое тогда уравнение можно написать, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно, P(c+s) + Lc + (c-s) = (2-P)(c+s) + (13-L)c. У нас в уравнении есть целые переменные, поэтому можно попробовать представить уравнение в виде равенства произведений в правой и левой частях. Как это сделать?

Подсказка 3

Точно, (14- 2L - 2P)c = (2P-3)s! Теперь вспомним, что мониторов всего 2, поэтому P может быть равно 0, 1 или 2. Попробуем по очереди разобрать все три случая!

Подсказка 4

В случае P = 0 получаем (2L - 14)c = 3s. Вспомним, что s, исходя из условия задачи, меньше c! Какой вывод можно сделать?

Подсказка 5

Верно! Подходит только L = 8. При P = 1 и P = 2 уравнение принимает вид (2L - 12)c = s и (10-2L)c = s соответственно. Можно ли снова использовать тот факт, что 0 < s < c?

Показать ответ и решение

Допустим, что в один день со сканером продано $P$ мониторов и $L$ принтеров. Тогда в другой день было продано $2− P$ и $13− L$ мониторов и принтеров соответственно. Если $c$ — цена принтера, учитывая, что принтер на $s$ дороже сканера $(0 <s< c),$ то цена равна сканера $c− s,$ а цена монитора равна $c+s,$ а из условия задачи следует, что

P(c+s)+ Lc+ (c− s)=(2− P)(c+ s)+(13− L)c (14− 2L− 2P)c= (2P − 3)s

Число $P$ может принимать одно из трех значений: $0,1$ или $2.$ Рассмотрим по очереди каждое из них.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $P = 0,$ тогда

(2L − 14)c= 3s

Так как $0< s< c,$ следовательно,

0 <(2L− 14)c< 3c

7 <L < 8,5

Единственное целое число $L,$ которое удовлетворяет этому неравенству, равно $8.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае $P = 1$

(2L− 12)c= s

Так как $0< s< c,$ то

0< (2L − 12)c<c

6 <L < 6,5

Очевидно, что никакое целое число при $P =1$ не удовлетворяет получившемуся неравенству.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $P = 2$ получим

(10− 2L)c= s

Так как $0< s< c,$ то

0< (10− 2L)c<c

4,5< L< 5

Т.е. при $P =2$ неравенство не выполняется ни при каких целых $L.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, описанная в условии задачи ситуация может осуществиться только при $P =0,L= 8.$ Значит, в один день со сканером продано $8$ принтеров и ни одного монитора.

Ответ: 8 принтеров и 0 мониторов

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105944

Объёмы добычи газа (млрд. куб. м) за первое полугодие $2017$ года компаниями «Новатэк», «Роснефть», «ЛУКОЙЛ» относятся между собой как $1 1 -1 5 :2 :10,$ а объём добычи газа (млрд. куб. м) компанией «Газпром нефть» составляет $30%$ от объема добытого газа компанией «Роснефть».Определить, сколько млрд. куб. м составили объёмы добычи газа компаниями «Новатэк», «Роснефть», ЛУКОЙЛ и «Газпром нефть», если известно, что компания «Роснефть» добыла на $8$ млрд. куб. м больше, чем остальные компании вместе.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть x — весь объем добытого газа. Как можно выразить объемы газа, добытого каждой компанией?

Подсказка 2

Верно! Это x/5, x/2, x/10 и 3x/20. Причем x/2 — это объем газа, добытый компанией "Роснефть". Какое тогда выходит уравнение по условию?

Подсказка 3

Конечно! x/2 = x/5 + x/10 + 3x/20 + 8. Какой тогда получается x?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — объём всего добытого газа. Тогда $x; x;-x; 3x- 5 2 10 10⋅2$ — объёмы добытого газа каждой из компаний “Новатэк”, “Роснефть”, “ЛУКОЙЛ” и “Газпром нефть” соответственно. Тогда