Тема Газпром

Газпром - задания по годам → .03 Газпром 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Разделы подтемы Газпром - задания по годам

Газпром до 2020

Газпром 2020

Газпром 2021

Газпром 2022

Газпром 2023

Газпром 2024

Газпром 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99153

Доказать неравенство:

1- 1- 1- -1--- 12 + 22 + 32 + ...+ 20212 < 2.

Источники: Газпром - 2021, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хотелось бы как-то красиво "собрать" сумму и по возможности что-то сократить. Как можно оценить квадраты, чтобы знаменатели стали более похожими друг на друга?

Подсказка 2

Квадрат числа больше, чем произведение его на число, меньшее на единицу.

Подсказка 3

Нам хочется, чтобы многие дроби сократились. Для этого нам нужно представить наше выражение в виде разностей и сумм. Попробуем тогда выразить в виде разности выражения вида 1/(x(x+1)).

Подсказка 4

1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1). Смотрите, теперь в нашем выражении многое сокращается ;)

Показать доказательство

Перепишем неравенство в виде

1- 1- -1--- 22 + 32 +...20212 <1.

Справедливо неравенство

1 1 1 1 1 1 1 22 + 32 +...20212 < 1⋅2 +2-⋅3 + 3⋅4 + ...2020-⋅2021

Так как

-1-+ -1- +-1- +...+ ---1----= 1⋅2 2⋅3 3 ⋅4 2020⋅2021

( ) ( ) ( ) ( ) = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ -1--− -1-- = 2 2 3 3 4 2020 2021

= 1− -1--= 2020, 2021 2021

то

1-+ 1-+ ...--1--< 2020-<1. 22 32 20212 2021

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99155

Эксплуатируются $5$ скважин, каждая из которых за месяц может независимо от других выйти из строя с вероятностью $0,1.$ Необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны, по крайней мере, $3$ скважины. Какова вероятность обеспечения необходимой подачи нефти?

Источники: Газпром - 2021, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймем, какие ситуации нам подходят. Нам подходит, когда не вышло скважин из строя, когда одна и когда две. Для каждой такой ситуации мы можем посчитать ее вероятность. Если никто не вышел из строя, то понятно, что 0,9⁵. А если однавышла из строя? Что мы должны учитывать помимо расстановки вероятностей и подсчета их произведения?

Подсказка 2

Мы должны учитывать, что есть 5 ситуаций, когда вышла из строя 1 скважина, потому что это могла быть каждая из 5 скважин. Значит, когда одна скважина вышла из строя вероятность 0,9⁴ * 0,1 * 5. Какова тогда вероятность для выхода из строя сразу двух скважин? А какова тогда итоговая вероятность, которую требуют найти в задаче?

Показать ответ и решение

Пусть вероятность исправной работы скважины равна $p,$ а вероятность выхода из строя равна $q.$ По условию задачи необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны хотя бы $3$ скважины, то есть исправно работают или $3,$ или $4,$ или $5$ скважин.

Найдем вероятность исправной работы любых $3− x$ скважин.

$p⋅p⋅p⋅q ⋅q$ (работают первая, вторая и третья скважины, не работают четвертая и пятая скважины) или $p⋅p⋅q⋅p ⋅q$ (работают первая, вторая и четвертая скважины, не работают - третья и пятая) или т. д. Всего таких комбинаций 10. Следовательно, вероятность работы любых трёх скважин равна $32 10pq .$

Аналогично находим, что вероятность исправной работы четырёх скважин равна $4 5pq.$ Вероятность исправной работы пяти скважин равна $5 p .$ Тогда вероятность исправной работы по крайней мере трёх скважин равна

P =10p3q2 +5p4q+p5

По условию известно, что вероятность выхода из строя скважины равна $q = 0,1$ , тогда вероятность исправной работы скважины равна $p =1− 0,1 =0,9.$

Получим

P =10⋅0,93⋅0,12+ 5⋅0,94⋅0,1 +0,95 = 0,99144≈ 0,99.

Ответ:

$0,99$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Источники: Газпром - 2021, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы понять, а какие значения вообще принимают периметры таких квадратов. Давайте переберём первые несколько значений и попробуем найти закономерность.

Подсказка 2

Сторона каждого следующего квадрата в √2 раз меньше стороны предыдущего, следовательно, у периметров такое же отношение. Такая последовательность напоминает какую-то прогрессию. Подумайте, как найти её сумму!

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99165

Заданы квадраты со сторонами $a = 2020 n n$ , для $n= 1,2,...$ Можно ли все квадраты, начиная со второго, уложить в первый квадрат без наложений?

Источники: Газпром - 2021, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем их уложить, а в случае чего покажем, что это не удастся. Не совсем понятно, как аккуратно укладывать, если работать с квадратами по одиночке... Быть может, можно работать с ними группами?

Подсказка 2

Нам хотелось бы попробовать разбить квадраты на такие группы, чтобы для каждой группы заприметить "свой" прямоугольник, который они будут занимать в большом квадрате. Причём прямоугольники должны быть такой длины, чтобы при бесконечном суммировании получалось не больше, чем 2020.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что сумма обратных степеней двоек как раз равна 1!

Подсказка 4

Можно ли разбить наши квадраты на группы так, чтобы одна группа помещалась в прямоугольник с длиной 2020/2ⁿ?

Показать ответ и решение

Разделим квадраты на группы так, чтобы количество квадратов в группе было ровно 2 в степени номера группы:

(2020 2020) ( 2020 2020 2020 2020) -2--;-3- , -4-;-5-;--6-;-7-- ,...

Сумма длин сторон квадратов в $n$ -ой группе равна

( ) ( ) 2020 -1n + n1---+...+-n+11--- <2020⋅ -1n +-1n +...+ 1n- = 2020⋅1 =2020 2 2 +1 2 − 1 ◟2---2-n◝◜-----2-◞ 2 раз

Квадраты $n$ -ой группы помещаются рядом в прямоугольник с высотой $202n0 2$ и шириной 2020. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2020 и высотой, равной сумме высот прямоугольников:

2020(1+ -1 +-1 +-1 +...+ -1 +...) = 2020 2 22 23 24 2n

то есть в первый квадрат поместились без наложения все квадраты, начиная со второго.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99169

Решить неравенство

|x-− 4|−-|x−-1| |x-− 3|+|x−-2| |x − 3|− |x− 2| < |x− 4|

Источники: Газпром - 2021, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева какое-то страшное выражение и справа какое-то страшное… Не уж-то авторы задачи хотят, чтобы мы рассматривали пять вариантов, чему принадлежит наш х, а после этого пересекали каждый раз с нашим промежутком, а потом объединяли? Надо получше подумать. Знаменатели и числители попарно друг с другом удачно связаны. Это значит, что мы можем на что-то положительное домножить, чтобы у нас левая и правая части преобразовались. На что положительное здесь было бы удобно домножить, чтобы что-то могло свернуться по формулам и у чего-то убрался модуль?

Подсказка 2

Нам надо домножить на обратную к правой части дробь. Почему она положительна? Мы знаем, что x ≠ 4, при этом, и модуль и сумма модулей тогда строго больше 0. После домножения получили справа 1, а слева только один модуль во всей дроби! А если у нас остался только один модуль, то мы можем конкретно для него уже рассмотреть всего лишь два случая знака, и для каждого случая решить очевидное неравенство методом интервалов. Значит, идейно мы всё сделали, осталось только реализовать нашу идею!

Показать ответ и решение

При ограничениях $x⁄= 4$ и $x ⁄= 2,5$ умножим обе части неравенства на положительную величину $--|x−4|--. |x−3|+|x−2|$ Получим равносильное неравенство

(x− 4)2 − |(x − 1)(x − 4)| ---(x−-3)2−-(x-− 2)2- <1.

Выполним преобразования:

2 | 2 | x--− 8x+-16−|x-−-5x-+4|− 1< 0⇔ 2 | 2 |−2x+ 5 2 |2 | ⇔ x-−-8x+-16−|x-−-5x-+4|+-2x-− 5 <0 ⇔ x-−-6x+11−-|x-− 5x+-4|> 0. −2x+ 5 2x− 5

1) Пусть $x2 − 5x+ 4≥ 0$ , тогда $x ∈(−∞;1]∪(4;+∞).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11− x2+-5x−-4 −x+-7 2x− 5 > 0⇔ 2x− 5 > 0⇔ 2,5 <x < 7.

То есть, $x∈ (2,5;7).$ Учитывая, что $x ∈(−∞; 1]∪ (4;+∞ ),$ получим $x ∈(4;7).$

2) Пусть $2 x − 5x+ 4< 0,$ тогда $x ∈(1;4).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11+x2−-5x+-4 2x2−-11x+15 (x−-3)(2x-− 5) 2x− 5 > 0⇔ 2x − 5 >0 ⇔ 2x− 5 > 0⇔ x > 3.

то есть $x ∈(3;+ ∞).$ Учитывая, что $x ∈(1;4)$ , получим $x∈ (3;4).$ Таким образом, решением исходного неравенства является множество $x∈ (3;4)∪(4;7).$

Ответ:

$(3;4)∪ (4;7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99170

Три насоса разной производительности наполняли танкер нефтью. Если бы производительность первого была в $2$ раза, а третьего — в $3$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $5$ часов. Если бы производительность первого была в $3$ раза, а второго — в $2$ раза, а третьего — в $4$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $3 34$ часа. За сколько часов танкер наполнен в действительности?

Источники: Газпром - 2021, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах на работу/движение/заполение чего-то, всегда удобно ввести параметры, через которые все выражается и дальше работать исключительно с получившейся системой. Какие здесь параметры удобно ввести?

Подсказка 2

Скорости работы и объём танкера. Тогда составим уравнения, которые следуют из условия. Какое выражение нам тогда нужно найти? А как его выразить, если мы посмотрим на уже имеющуюся систему?

Подсказка 3

Нам надо найти отношение объёма танкера к сумме скоростей заполнения. При этом два отношения уже есть. Заметим, что коэффициенты в одном (каждый из них) меньше соответствующих коэффицинтов в другом. Как тогда найти нужное нам отношение?

Показать ответ и решение

Обозначим объем танкера $V$ (а некоторых единицах), а производительности первого, второго и третьего насосов через $x,y,z,$ соответственно. Составим по условиям задачи два уравнения: