Тема Газпром

Газпром - задания по годам → .07 Газпром 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Разделы подтемы Газпром - задания по годам

Газпром до 2020

Газпром 2020

Газпром 2021

Газпром 2022

Газпром 2023

Газпром 2024

Газпром 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123689

Найти минимальное натуральное $k> 2025,$ при котором число

-----1---- -----1------ -----------1----------- 1 +√32 + 3√4 + √34-+ 3√6+ 3√9-+ ...+ 3√k2−-2k+1-+√3k2-− k-+ 3√k2

является рациональным.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Глобальная идея решения такая: нужно некоторым образом преобразовать каждое слагаемое так, чтобы большинство слагаемых взаимно уничтожились.

Подсказка 2

Если не понимаете, как преобразовать, то вот над чем стоит задуматься: в знаменателе присутствуют кубические корни. От них было бы хорошо избавиться, вероятно, возведением в куб.

Подсказка 3

Ещё каждый знаменатель является неполным квадратом. Было бы неплохо домножить и поделить каждую дробь на скобочку, которой не хватает до разности кубов в знаменателе.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение, перемножив каждую дробь на числовое выражение для получения разности кубов в знаменателях дробей:

1 1− 3√2 1 √32-− 3√3 1 3√k−-1− 3√k ---3√---√3-2 ⋅1−-3√2-+ 3√-2-3√-3√----3√-2 ⋅√32-−-3√3 + ...+ √3-2--√3----3√---3√-2 ⋅3√k−-1−-3√k-= 1+ 2 + 2 2 + 2 3+ 3 k− 1+ k− 1 k+ k

- - - ---- √ - 1-−√32 3√-2−√33 3√k-− 1-−-3k = 1− 2 + 2− 3 + ...+ (k − 1)− k =

√ - √- √- √---- √- =− (1− 3 2)− (32− 33)− ...− (3k− 1− 3k)=

√3- 3√- 3√- √3---- 3√- = −1 + 2− 2+ 3 − ...− k− 1+ k=

- = 3√k − 1

Это число будет рациональным, когда $k$ является полным кубом. Итак,

k= 133 = 2197> 2025.

Ответ:

$2197$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123691

Витя и Коля бросают игральную кость до тех пор, пока не выпадет число очков равное $1.$ У кого выпало $1$ очко, тот и победитель. Начинает Коля. Во сколько раз вероятность выигрыша Коли больше вероятности выигрыша Вити?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим через p вероятность выпадения 1, а через q — любой другой исход. Какая вероятность того, что на k-м броске Коля выиграет?

Подсказка 2

Теперь рассчитаем вероятность, что Коля выиграет на каком-то шаге. Ясно, что это сумма вероятностей, просчитанных в первой подсказке, по всем k.

Подсказка 3

Если присмотреться, можно увидеть, что вероятность победы Коли — сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, можно вычислить по известной формуле её предел, посчитать вероятность победы Вити и получить ответ.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения 1 очка при бросании игральной кости равна $p= 1, 6$ а вероятность того, что $1$ очко не выпадет, будет равно

1 5 q =1− p= 1− 6 = 6

Рассчитаем вероятность того, что Коля выиграет:

P(K)= p+ qqp+ qqqqp+ qqqqqqp+qqqqqqqqp+...=p +q2p+ (q2)2p+ (q2)3p+...

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $p$ и знаменателем $2 q .$

Используя формулу суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии, найдем вероятность выигрыша Коли:

p p p 1 P(K)= 1−-q2 = (1− q)(1-+q) = p(1+q) = 1+q

Тогда вероятность выигрыша Вити равна:

P(B )=1 −--1- = 1+q-− 1-=-q-- 1 +q 1+ q 1+q

Найдем отношение вероятностей:

P(K) = -1--:-q--= 1 = 6= 1,2 P(B) 1+q 1+ q q 5

Ответ:

В $1,2$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123696

В трубопроводе цилиндрической формы установлено скребковое устройство вдоль трубы, предназначенное для очистки внутренней поверхности от парафинистых и смолистых отложений, имеющее форму треугольной призмы. В поперечном сечении трубопровода в виде круглого циферблата с часовой разметкой, вершины треугольника скребкового устройства находятся в точках окружности на часовых отметках «1:30», «4:00» и «5:00». Определить диаметр трубопровода, если площадь сечения скребкового устройства $900$ мм $2 .$

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да, условие действительно мудрёное, но может можно как-то его представить проще? Да и с чего начать? Наверное для начала будет удобнее преобразовать часовые отметки во что-то более удобоваримое. Может, в градусную меру?

Подсказка 2

Вполне возможно, что до сих пор непонятно, а что вообще происходит в задаче. А что если представить её в двухмерном виде? Попробуйте изобразить поперечное сечение трубы и призмы.

Подсказка 3

Осталось дело за малым, вспомните площадь треугольника через радиус описанной окружности и теорему синусов, дальше лишь дело техники :)

Показать ответ и решение

Построим сечение трубопровода в виде окружности с часовой разметкой. Отметим вершины треугольника (сечения скребкового устройства, имеющего форму треугольной призмы) в точках $A,$ $B$ и $C,$ соответствующих отметкам $1:30,$ $4:00$ и $5 :00$ на циферблате. Заметим, что $△ABC$ — вписанный в окружность. Обозначим радиус этой окружности $R.$

Часовое деление на циферблате соответствует центральному углу $∘ ∘ 360 ∕12= 30 .$

Дуги, стягиваемые сторонами треугольника:

Дуга $AB$ (между $1:30$ и $4:00$ ): $(4− 1.5) часа= 2.5 часа, следовательно 2.5⋅30∘ = 75∘.$
Дуга $BC$ (между $4:00$ и $5:00$ ): $(5− 4) часа= 1 час, следовательно 1⋅30∘ =30∘.$
Дуга $CA$ (между $5:00$ и $1 :30$ через $12:00$ ): $(12− 5+ 1.5) часа =8.5 часа, следовательно 8.5⋅30∘ = 255∘.$

Углы $△ABC$ являются вписанными и опираются на эти дуги:

$∠C$ (вершина в $5:00$ ) опирается на дугу $AB :$ $∘ ∘ ∠C = 75∕2= 37.5 .$
$∠A$ (вершина в $1:30$ ) опирается на дугу $BC :$ $∘ ∘ ∠A = 30∕2= 15.$
$∠B$ (вершина в $4:00$ ) опирается на дугу $CA :$ $∘ ∘ ∠B = 255 ∕2= 127.5.$

Используя формулу для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности и теорему синусов, получим:

S△ = abc- 4R

Так как $a= 2RsinA,$ $b= 2RsinB,$ $c= 2R sinC,$ то

S = (2R-sinA)(2R-sinB)(2RsinC-)= 2R2 sinAsin BsinC △ 4R

Подставим значения углов: $A= 15∘,$ $B = 127.5∘,$ $C = 37.5∘.$

S△ = 2R2sin 15∘sin 127.5∘sin 37.5∘

Вычислим произведение синусов:

sin15∘sin127.5∘sin37.5∘ = sin15∘sin(180∘− 52.5∘)sin37.5∘ =

= sin15∘sin52.5∘sin 37.5∘ =sin15∘cos37.5∘sin37.5∘ =

∘ 1 ∘ 1 ∘ ∘ 1 ∘ ∘ = sin15 ⋅2sin(2⋅37.5 )= 2sin15 sin75 = 2sin 15 cos15 =

1 1 ∘ 1 ∘ = 2 ⋅2sin(2⋅15) =4 sin30 =

1 1 1 = 4 ⋅2 = 8

Тогда получаем:

S△ =2R2 ⋅ 18 = 14R2

По условию $S△ =900 мм2.$

1R2 = 900 4

R2 = 3600

R =√3600= 60 мм.

Диаметр трубопровода $D = 2R= 2⋅60= 120 мм.$

Ответ:

$120$ мм

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123698

Группа альпинистов хочет совершить восхождение на айсберг высотой $1000$ м. После ночевки в лагере у подножья айсберга они могут подниматься, навешивая веревку, со скоростью $40$ м/ч, а по навешенной веревке со скоростью $400$ м/ч. После отдыха на трассе на айсберге скорость подъема составляет $30$ м/ч. За какое минимальное количество дней они смогут достичь вершины, если будут работать на айсберге (включая подъем по навешенной веревке) $6$ часов в день?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть альпинисты на конец предыдущего дня добрались до высоты h. До какой максимальной высоты они смогут добраться в конце следующего?

Подсказка 2

Нужно разобрать два сценария, когда альпинисты ночуют у подножья и на айсберге. В каждом из случаев получится выражение для максимальной высоты на конец следующего дня.

Подсказка 3

Теперь нужно понять, на какой высоте какому из сценариев выгоднее следовать. Для этого нужно сравнить выражения и выяснить, при каких h одно выражение будет больше другого и наоборот. Далее можно будет вычислить итоговое количество дней.

Показать ответ и решение

Пусть $x n$ — наибольшая высота (в метрах), на которую могут подняться альпинисты к концу $n$ -го дня ( $n= 1,2,...$ ).

Пусть к концу какого-то дня они достигли высоты $h$ метров. Это значит, что они навесили $h$ метров верёвки. При ночёвке у подножия на следующий им сначала придется подняться на $h$ метров по верёвке со скоростью 400 метров в час, что займёт $h 400$ часов, а затем оставшееся время подниматься со скоростью 40 метров в час, то есть они поднимутся на высоту

( h ) h h+ 6− 400 ⋅40= h+ 240− 10

Если же ночью они будут отдыхать на айсберге, то на следующий день они всё время будут продвигаться со скоростью 30 метров в час и поднимуться на $h+ 6⋅30 =h +180.$

Заметим, что $h+ 240 −-h ≥h +180 10$ при $h≤ 600,$ поэтому группе выгоднее ночевать в лагере, только если они достигли высоты меньше шестисот метров. Тогда $xn+1$ определяется следующим образом:

({ xn+ 240− xn, при xn ≤ 600 xn+1 =( 10 xn+ 180, при xn ≥ 600

Здесь $(240 − xn∕10)$ — это прирост высоты при ночевке у подножия, а $180$ — прирост при ночевке на горе.

Начиная с $x0 = 0,$ определим последовательно $xn :$

Поскольку $x0 = 0≤ 600,$

x0 0 x1 =x0+ 240− 10-= 0+240− 10 = 240

Поскольку $x1 = 240≤600,$

x1 240 x2 = x1+ 240− 10 =240+ 240 − 10 =480− 24 =456

Поскольку $x2 = 456≤600,$

x2 456 x3 = x2+240− 10 = 456+ 240−-10-= 696− 45.6 =650.4

Теперь $x3 = 650.4> 600,$ поэтому для $x4$ используется вторая ветка формулы:

x4 =x3+ 180= 650.4 +180= 830.4

Так как $x4 = 830.4> 600 :$

x5 = x4+ 180= 830.4+ 180 =1010.4

Поскольку $x5 = 1010.4> 1000,$ альпинисты смогут подняться на айсберг (достичь высоты $1000 м$ ) к концу 5-го дня, при этом они первые две ночевки проводят внизу, а последние две — на айсберге.

Ответ:

$5$ дней

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123701

Решить неравенство

√----- ∘ -2--------- 2 3x − 7− 3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

B ответе указать сумму целых решений.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательный читатель может заметить, что правая часть неравенства равна разности покоренных выражений.

Подсказка 2

Значит, можно заменить корни на a и b, тогда неравенство примет вид a - b ≥ b² - a². Осталось разложить на скобочки и довести до конца.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= √3x−-7$ и $b=√3x2-− 13x+-13.$ По определению корня $a≥ 0,$ $b≥ 0.$ Заметим, что

2 2 2 2 2 b − a =(3x − 13x+ 13)− (3x− 7)= 3x − 13x+ 13− 3x +7 =3x − 16x +20

Тогда исходное неравенство примет вид:

2 2 a− b≥ b − a

a− b≥ (b− a)(b+ a)

(a − b)+ (a− b)(a+ b)≥0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Так как $a≥ 0$ и $b≥ 0,$ то $1+ a+b ≥1 >0.$ Следовательно, неравенство $(a− b)(1+ a+ b)≥ 0$ равносильно $a − b≥ 0,$ то есть $a ≥b.$

√ ----- ∘ ----------- 3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

Для того чтобы это неравенство имело смысл и его можно было возвести в квадрат, необходимо выполнение условий:

3x− 7 ≥0

Следовательно,

7 x ≥ 3

2 3x − 13x+ 13 ≥0

Отсюда

( ] [ ) 13−-√13 13+-√13 x ∈ − ∞; 6 ∪ 6 ;+∞

При выполнении этих условий возводим неравенство в квадрат:

3x− 7≥3x2− 13x+ 13

3x2 − 16x+ 20 ≥0

Значит: $[ 10] x∈ 2; 3$

Теперь объединим все условия в систему:

(| [ 10] ||||| x∈ 2; 3 ||{ 7 || x≥ 3 ||||| ( 13− √13-] [ 13-+√13 ) |( x∈ −∞; 6 ∪ 6 ;+∞

Пересекаем интервалы и получаем, что решение неравенства:

[ √-- ] x ∈ 13+--13;10 6 3

Целые значения $x$ в этом промежутке: единственное целое значение $x= 3.$ Сумма целых решений равна $3.$

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#123706

Имеется два сплава меди и олова. Первый весит $5$ кг и содержит $55%$ меди, второй весит $3$ кг и содержит $25%$ меди. Какого веса надо взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить $4$ кг сплава, содержащего $k%$ меди?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть взяли x кг первого сплава и y кг второго. Исходя из условия можно выразить y через x. Также можно получить выражение через x для количества меди в новом сплаве.

Подсказка 2

Нам нужно выразить массы взятых сплавов через k. Зная выражение количества меди в новом сплаве через x, мы можем легко выразить x через k, ведь в новом сплаве по условию k процентов меди.

Подсказка 3

Осталось выразить через k массу взятого куска второго сплава и проверить, при каких значениях k соблюдаются ограничения на массы изначальных сплавов из условия.

Показать ответ и решение

Пусть взяли $x кг$ первого сплава и $y кг$ второго сплава. По условию, суммарный вес нового сплава должен быть $4 кг,$ то есть $x +y =4.$ Отсюда $y =4 − x.$ Первый сплав весит $5 кг$ и содержит $55%$ меди. Количество меди в $x кг$ первого сплава: $0.55x.$ Второй сплав весит $3 кг$ и содержит $25%$ меди. Количество меди в $y кг$ второго сплава: $0.25y =0.25(4− x).$

Общее количество меди в новом $4 кг$ сплаве:

M = 0.55x+0.25(4− x)=0.55x +1− 0.25x= 0.3x+ 1 (кг)

Новый сплав должен содержать $k%$ меди. В $4 кг$ это составляет $4⋅-k- =0.04k кг меди. 100$ Следовательно,

0.3x+ 1= 0.04k

Выразим $x$ через $k:$

0.3x= 0.04k− 1

x = 0.04k-− 1 = 41k00-− 1-= 4k-− 100⋅ 10 = 4k-− 100= 2k−-50 0.3 310- 100 3 30 15

Тогда вес второго сплава

y =4− x= 4− 2k−-50= 60−-(2k−-50)= 60− 2k+-50= 110−-2k 15 15 15 15

Используем ограничения на количество исходных сплавов: Для первого сплава: $0≤ x≤ 5$ (так как всего имеется $5 кг$ первого сплава). Для второго сплава: $0≤ y ≤ 3$ (так как всего имеется $3 кг$ второго сплава).

Подставим выражения для $x$ и $y :$

1) Ограничение для $x:$

0≤ 2k−-50-≤ 5 15

25 ≤k ≤62.5

2) Ограничение для $y :$

0≤ 110−-2k≤ 3 15

32.5≤ k≤ 55

Чтобы оба условия выполнялись, найдем пересечение диапазонов для $k :$

{ 25≤ k≤ 62.5 32.5≤ k ≤55

Пересечением является интервал $k∈ [32.5;55].$

Таким образом, при $k∈ [32.5;55]$ нужно взять $2k− 50 --15---кг$ первого сплава и $110− 2k ---15---кг$ второго сплава. При $k∈∕[32.5;55]$ (но в пределах $0 ≤k ≤100,$ если $k$ — процент) такой сплав получить невозможно.

Ответ:

При $k∈ [32,5;55]$ нужно взять $2k−50 15$ кг первого сплава и $110−2k 15$ второго сплава; при $k∈ [0;32,5)∪(55;100]$ такой сплав получить невозможно

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#128565

В спортивных соревнованиях участвовали 4 сборные команды из вузов Санкт-Петербурга и несколько команд из Ленинградской области. Каждая команда играла только один раз с остальными командами. За победу в игре дается 1 очко, за ничью — $0,5$ очка, за проигрыш — 0 очков. Команды из Ленинградской области набрали в соревнованиях одинаковое количество очков, а сборные команды Санкт-Петербурга вместе набрали 10 очков. Какое наибольшее количество команд из Ленинградской области могло участвовать в соревнованиях?

Источники: Газпром - 2025, 10.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам почти хочется сделать при виде текстовой задачи? Наверное, для начала стоит перевести условие на язык математики!

Подсказка 2

Итак, введём переменные для количества команд из области и для числа очков, набранных каждой из команд. Попробуйте выразить через них: сколько всего было игр? А сколько в них разыграно очков?

Подсказка 3

В каждой игре разыгрывалось одно очко. Теперь у нас есть уравнение, но в нём две переменных, что же делать?

Подсказка 4

Вспоминаем, что наши переменные целые: чуть-чуть поработаем с делимостью, и ответ готов!

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — число команд из Ленинградской области, $y$ — число очков, набранных каждой из команд из Ленинградской области. Тогда число очков, набранных всеми командами, равно $xy+ 10.$ Оно равно числу спортивных соревнований, так как за одно соревнование дают одно очко.

Число проводимых спортивных соревнований найдем по формуле сочетаний без повторов:

2 (x+ 3)(x+ 4) Cx+4 = ----2-----

Тогда получим:

xy +10= (x+-3)(2x+-4)

Следовательно, $x(x− 2y+ 7) =8.$ Так как $x∈ℕ,$ это могут быть только делители числа $8,$ то есть значения: $x =1,$ $x= 2,$ $x= 4,$ $x =8.$ Следовательно, наибольшее значение $x= 8.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128567

Источники: Газпром - 2025, 10.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача, похоже, геометрическая, значит нам нужен чертёж! Как мы можем использовать зафиксированные на циферблате вершины треугольника?

Подсказка 2

Знание положений вершин по сути даёт нам зафиксированные углы треугольника, а что требуется при это. узнать? Какие теоремы есть, связывающие величины треугольника с окружностью?

Подсказка 3

Нам поможет теорема синусов и формула площади треугольника через радиус описанной окружности! Но что же делать с углами? Это ведь совсем не табличные значения, которые мы все помним...

Подсказка 4

Тут варианты разные: можно работать с двойными углами и попробовать напрямую вытащить все нужные синусы, но... если вы хорошо владеете тригонометрией, и помните формулы преобразования суммы/разности в произведение и наоборот, то в целом всё страшное выражение для площади сводится к табличному синусу!

Показать ответ и решение

Построим сечение трубопровода в виде окружности с часовой разметкой. Отметим вершины треугольника (сечения скребкового устройства, имеющего форму треугольной призмы) и обозначим их соответственно буквами $A,$ $B$ и $C.$ Заметим, что $△ABC$ — вписанный в окружность. Обозначим радиус этой окружности $R.$

$PIC$

Часовое деление на циферблате соответствует центральному углу $∘ 30 .$ Найдем углы $△ABC$ как вписанные углы в окружность:

1 ∠A = 2 ⋅30∘ = 15∘

∘ ∠C = 1 ⋅(5⋅15∘)= 75-= 37.5∘ 2 2

∠B = 1 ⋅(17⋅15∘)= 255∘= 127.5∘ 2 2

(|| abc {S△ = 4R ||( -a---= --b--= --c--= 2R sin∠A sin∠B sin∠C

Отсюда получаем:

(2Rsin-∠A)⋅(2R-sin∠B)⋅(2Rsin∠C-) 2 S△ = 4R = 2R sin∠A sin∠B sin∠C

Вычислим:

1 1 sin(127.5∘)⋅sin(37.5∘)= 2(cos(127.5∘ − 37.5∘)− cos(127.5∘+ 37.5∘))= 2(cos(90∘)− cos(165∘))

Так как

cos(165∘)=cos(180∘− 15∘)= − cos(15∘),

то полученное выражение можно преобразовать следующим образом:

1 1 1 2(cos(90∘)− cos(165∘))= 2(0− (− cos(15∘)))= 2cos(15∘)

Тогда получим:

2 ∘ 1 ∘ S△ = 2R sin(15)⋅2 cos(15 )=

sin(30∘) R2 = R2sin(15∘)cos(15∘)=R2 ⋅--2---= -4-

Тогда $S△ = 900,$ следовательно:

2 R--= 900 4

R2 = 3600

R =60

Тогда в итоге $D = 120.$

Ответ:

120 мм

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128569

Площадь квадратной заготовки в 100 раз меньше суммы всех трехзначных натуральных чисел, кратных 5 и не кратных 6. Найти наибольшее целое значение стороны квадрата, который можно вырезать из этой заготовки.

Источники: Газпром - 2025, 10.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Без поиска суммы нам не обойтись, но считать «в лоб» будет уж очень долго. Что можно сказать про последовательность чисел, кратных одному и тому же числу? Какие инструменты помогают нам работать с подобными последовательностями?

Подсказка 2

Перед нами арифметическая прогрессия: найти её сумму не так уж сложно, но вот как исключить из последовательности неподходящие числа? Что можно сказать про число, кратное двум взаимно простым?

Подсказка 3

Число, кратное 5 и 6, будет кратно их произведение. Сумму таких чисел можно найти тем же способом, каким мы искали сумму всех чисел кратных 5. Осталось лишь сделать небольшую оценку и ответ готов!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма всех трёзначных чисел, кратных $5$ и не кратных $6,$ а $n$ — сторона искомого квадрата.

По условию

2 S n < 100

Найдём $S$ как разность суммы всех трёхзначных чисел, кратных $5$ , и суммы всех трёхзначных чисел, кратных и $5$ , и $6$ .

Сумма трёхзначных чисел, кратных $5$ , составляет арифметическую прогрессию от $100$ до $995$ со знаменателем $5$ , состоящую из $995−5100+ 1= 180$ членов. Её сумма равна

995+2-100 ⋅180= 98550

Числа, кратные одновременно $5$ и $6,$ будут кратны $30,$ значит сумма таких трёхзначных чисел составляет арифметическую прогрессию от $120$ до $990$ со знаменателем $30,$ состоящую из $990−31020+ 1= 30$ членов. Её сумма составляет

990+-120⋅30= 16650 2

Таким образом $S = 81900,$ тогда

n2 < 81900 100

2 n <819

В итоге получаем, что $n= 28.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#128571

Решить неравенство

√----- ∘ -2--------- 2 3x − 7− 3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

В ответе указать сумму целых решений неравенства.

Источники: Газпром - 2025, 10.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Полные квадраты не выделяются, оценка тоже не особо помогает, что же тут можно сделать? Возможно, у нас есть что-то интересное, связанное с суммой или разностью подкоренных выражений?

Подсказка 2

Итак, разность подкоренных выражений слева равна выражению справа – это наводит нас на мысль о замене! Слева обычная разность, справа разность квадратов, что же можно сделать?

Подсказка 3

Наше неравенство красиво раскладывается на множители :) Одну из скобок можно сразу оценить и остаётся лишь равносильным переходом преодолеть оставшееся сравнение корней!

Показать ответ и решение

Заметим, что разность подкоренных выражений в левой части равна выражению справа. Сделаем замену: