Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Звезда - задания по годам → .03 Звезда 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Разделы подтемы Звезда - задания по годам

Звезда до 2020

Звезда 2020

Звезда 2021

Звезда 2022

Звезда 2023

Звезда 2024

Звезда 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75750

В бесконечной последовательности цифр $2,0,1,9,...$ каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предшествующих четырёх цифр этой последовательности. Встретятся ли в этой последовательности:

(a) подряд числа $4,3,2,1$ ;

(b) вторично четвёрка $2,0,1,9$ (в этом же порядке)?

Источники: Звезда - 2021, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Т.к. нам дана последовательность и мы хотим показать, бывает что-то или нет, попробуем найти полуинвариант (то, что нечасто меняется в последовательности в процессе добавления новых элементов).

Пункт а, подсказка 2

У нас появляются новые числа, тогда, быть может, рассмотрим последовательность по какому-нибудь модулю?

Пункт а, подсказка 3

Имеет смысл начать рассматривать с маленьких модулей. Хотим найти последовательность из четырех чисел, они попарно отличаются по модуля 4 и 2 - рассмотрим их!

Пункт б, подсказка

А сколько всего у нас может быть четвёрок? Пробуем доказать, что последовательность периодична!

Показать ответ и решение

a) Последовательность начинается с $2,0,1,9,...$ , рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с $5$ -ой, равна последней цифре суммы $4$ предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма $4$ предыдущих), то остатки изменяются следующим образом $0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,...$ . Так как цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим, то заметим, что в последовательности остатков возникает период $(0,0,1,1,0)$ .

Но тогда подряд числа $4,3,2,1$ не могли встретиться, их остатки при делении на $2$ равны $0,1,0,1$ соответственно, а такой подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом $(0,0,1,1,0)$ .

b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим. Тогда исходная последовательность цифр периодична.

Также по четырём рядом стоящим цифрам $abcd$ однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю $10$ с $-- -- d,a,b,c.$ Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод $x1,x2,...,xm$ - совпадал с несколькими последними цифрами периода $y1,y2,...,yn$ , но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период $x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn−m$ и тогда не было бы предпериода.

Ответ:

a) нет

b) да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95855

Найдите наименьшее натуральное значение $n$ , удовлетворяющее уравнению

∘ ∘ sinn =sin(2021n)

Источники: Звезда - 2021, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем перенести всё в левую часть и записать разность синусов по формуле.

Подсказка 2

Отлично! Из двух полученных уравнений мы получаем значения n, для которых выполнено равенство. Теперь нужно поставить условие на то, чтобы эти значения были натуральными, и найти минимум из них.

Показать ответ и решение

По формуле разности синусов уравнение равносильно совокупности

[ sin(2021n−n)∘ = 0 cos(20212n+n)∘ = 0 2

[ (1010n)∘ = 180∘⋅k,k∈ ℤ (1011n)∘ =90∘+ 180∘⋅m,m ∈ ℤ

[ 101n= 18k,k ∈ℤ 337n= 30(2m + 1),m ∈ℤ

Так как $101$ и $337$ — простые числа, то в первом уравнении наименьшее натуральное $n = 18,$ а во втором — $n= 30.$

Ответ:

$18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95856

В правильной четырёхугольной пирамиде $ABCDS$ площадь основания совпадает с площадью боковой грани и равна $1.$ $M$ — точка пересечения медиан грани $CDS$ . Точка $N$ лежит на прямой $AM$ и $AN :NM = 3:4.$ Найдите сумму расстояний от точки $N$ до всех граней пирамиды.

Источники: Звезда - 2021, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нас просят найти сумму расстояний, то это значит, что нас просят найти сумму высот из точки N на все стороны. При этом в условии есть равенство площадей всех граней. На что нам это намекает?

Подсказка 2

Это намекает нам на то, что можно получить сумму высот из равенства суммы объёмов. Рассмотрите объёмы пирамид с вершиной в точке N и одной из граней изначальной пирамиды в качестве основания. Чему равна сумма таких объёмов? Поймите, почему это решает задачу и что нам остаётся найти в таком случае.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия задачи сторона основания пирамиды равна $1$ , апофема боковой грани — $2.$ Тогда высота пирамиды $∘---- √-- h= 4 − 14 =-125 .$ Объём пирамиды $ABCDS$ равен $√-- V = -165.$

С другой стороны, объём пирамиды можно найти как сумму объёмов пяти пирамид, вершина которых — точка $N$ , а основания — грани пирамиды $ABCDS$ . Тогда $V = 13 ⋅(h1+ h2+h3+ h4+ h5)⋅1$ , где $h1,h2,h3,h4,h5$ — расстояния от точки $N$ до граней пирамиды $ABCDS$ (или высоты маленьких пирамид). Приравнивая объёмы, получаем