Звезда - задания по годам → .04 Звезда 2022

Первое решение.

Чтобы доказать хочется доказать Преобразуем это неравенство:

Верно, поэтому было верным и

Значит,

Второе решение.

Нам нужно доказать, что а это очень напоминает дискриминант, поэтому давайте придумаем квадратный трёхчлен с таким дискриминантом и докажем, что он имеет 2 корня. Очевидно, подходит Всегда ли мы можем рассматривать его дискриминант? Нет, в случае никакого дискриминанта нет, поэтому его надо рассмотреть отдельно — благо, тут всё просто и понятно, а значит,

Теперь рассмотрим случай, когда В неравенстве из условия было поэтому давайте попробуем подставить 3 и -3.

То есть квадратный трёхчлен принимает положительные и отрицательные значения, а значит, он имеет 2 корня! И его

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

Воспользуемся ОТТ:

Квадраты неотрицательные, а все скобочки тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

Решим для

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) Тогда из второго

2) Тогда

Решим для

1) тогда

2) тогда

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений

Подходят следующие варианты:

1)

2)

Так как плоскость параллельна плоскости основания то

Пирамиды и подобны, тогда их объёмы относятся как коэффициент подобия в кубе:

Пусть тогда Заметим, что объём пирамиды складывается из двух кусочков: объём которой мы знаем, и Причём эти 2 пирамиды имеют общее основание тогда их объёмы относятся так же, как относятся их высоты к А высоты относятся так же, как относятся и то есть высота пирамиды больше высоты пирамиды в Значит,

Давайте попробуем доказать, что в какой-то момент у квадратного трёхчлена будут целые корни. Для этого угадаем один из них. Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то есть корень У начального многочлена сумма коэффициентов равна 3, а у конечного сумма коэффициентов равна -199, при этом за одно действие ровно один из коэффициентов меняется на 1, значит, сумма коэффициентов меняется на 1. Но если она была положительной, а потом стала отрицательной, то в какой-то момент обязательно была равна 0. То есть в какой-то момент у нас был трёхчлен , один из корней которого равен 1! А по теореме Виета второй корень равен — тоже целому числу у трёхчлена 2 целых корня!