Звезда - задания по годам → .02 Звезда 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В г. в марте воскресений больше, чем понедельников. На какой день недели выпадет
июня
г.?
Источники:
Подсказка 1
Если воскресений больше понедельников, то можем точно сказать, на какой день недели выдался последний мартовский день в 2052 году.
Подсказка 2
Определили день недели у 31 марта, тогда ровно через 4 недели и через 8 недель будет тот же день недели, а там и до 1 июня недалеко:)
За воскресеньем идёт понедельник. Если в каком-то месяце воскресений оказалось больше, чем понедельников, то последний день месяца —
воскресенье. Итак, марта
г. — воскресенье. Воскресенье выпадает также на
апреля и
мая, а
июня будет
суббота.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — натуральное число. Докажите, что дробная часть числа
меньше
(Дробная часть числа равна
разности самого числа и его целой части. Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного
числа.)
Источники:
Подсказка 1
Не очень понятно, как работать с дробной частью, хорошо бы найти целую часть числа.
Подсказка 2
У нас значение под корнем, попробуем найти два последовательных числа, квадраты которых "зажимают" наше число с двух сторон.
Подсказка 3
Ура, у нас есть целая часть, тогда сможем выразить дробную часть. Надо оценить её сверху.
Легко проверить, что
Поэтому — целая часть данного числа, а
— его дробная часть. Оценим сверху эту разность:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Муравей сидит в вершине прямоугольного параллелепипеда с длинами рёбер и
см. Сможет ли он, двигаясь по поверхности
параллелепипеда со скоростью
см/с, добраться до противоположной вершины менее чем за
секунд?
Источники:
Подсказка 1
Попробуем найти кратчайшее расстояние по поверхности параллелепипеда. Ясно, что путь по двум граням более короткий, чем по большему числу граней. А как оценить по двум граням?
Подсказка 2
Развертка двух граней — прямоугольник, муравей идет от одной его вершины к противоположной. Каково тогда кратчайшее расстояние?
Подсказка 3
Верно! Для данных двух граней — это длина диагонали развертки. Но, конечно, все зависит от того, какая длина у общей стороны граней. И все же, мог ли жук дойти, от одной вершины к другой, если диагональ развертки имеет минимальную длину?
Найдём длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда. Он проходит по двум смежным граням. Развёртка этих граней — прямоугольник.
Здесь возможны три варианта в зависимости от длины общего ребра этих граней: ,
. Наименьшее
расстояние между двумя противоположными вершинами прямоугольника — длина его диагонали. Наименьшую длину имеет диагональ
третьего прямоугольника. Она равна
и больше
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли такой многочлен с целыми коэффициентами, что
a
Источники:
Подсказка 1
Попробуем пойти от противного. У нас есть информация про многочлен f(x) и его производную f'(x) при x = 4. Эти значения не равны, а можно ли по многочлену f(x) построить другой многочлен g(x), для которого g(4) = g'(4)?
Подсказка 2
Можно! Положим g(x) = f(x) - 1. Тогда g(4) = f(4) - 1 = 0 и g'(4) = f'(4) = 0. Значит, 4 — кратный корень многочлена g(x). Заметим также, что g(9) = 10. Могло ли так получится?
Подсказка 3
Так как 4 — кратный корень многочлена g(x), то g(x) = (x-4)²P(x) для некоторого многочлена P(x). Каким свойством тогда обладает g(9)?
Предположим, что такой многочлен существует. Рассмотрим многочлен Он также имеет целые коэффициенты. При
этом
Тогда многочлен
имеет вид
Число должно делиться на
Противоречие.