Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Звезда - задания по годам → .02 Звезда 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Разделы подтемы Звезда - задания по годам

Звезда до 2020

Звезда 2020

Звезда 2021

Звезда 2022

Звезда 2023

Звезда 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#109870

В $2052$ г. в марте воскресений больше, чем понедельников. На какой день недели выпадет $1$ июня $2052$ г.?

Источники: Звезда - 2020, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

За воскресеньем идёт понедельник. Если в каком-то месяце воскресений оказалось больше, чем понедельников, то последний день месяца — воскресенье. Итак, $31$ марта $2052$ г. — воскресенье. Воскресенье выпадает также на $28$ апреля и $26$ мая, а $1$ июня будет суббота.

Ответ: На субботу

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#109921

Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что дробная часть числа $√4n2+-n$ меньше $1. 4$ (Дробная часть числа равна разности самого числа и его целой части. Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.)

Источники: Звезда - 2020, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Показать доказательство

Легко проверить, что

∘ ------ 2n < 4n2+n < 2n +1.

Поэтому $2n$ — целая часть данного числа, а $√4n2+-n− 2n$ — его дробная часть. Оценим сверху эту разность:

∘ --2--- -----n----- --n--- 1 4n + n− 2n = √4n2+-n+ 2n < 2n+ 2n = 4.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#109922

Муравей сидит в вершине прямоугольного параллелепипеда с длинами рёбер $2,3$ и $5$ см. Сможет ли он, двигаясь по поверхности параллелепипеда со скоростью $1$ см/с, добраться до противоположной вершины менее чем за $7$ секунд?

Источники: Звезда - 2020, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Найдём длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда. Он проходит по двум смежным граням. Развёртка этих граней — прямоугольник.

$PIC$

Здесь возможны три варианта в зависимости от длины общего ребра этих граней: $2 ×(3+ 5)$ , $3× (2 +5),5 ×(2+ 3)$ . Наименьшее расстояние между двумя противоположными вершинами прямоугольника — длина его диагонали. Наименьшую длину имеет диагональ третьего прямоугольника. Она равна $√50$ и больше $7.$

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#109923

Существует ли такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(4) =1,$ $f(9) =11,$ a $f′(4)= 0?$

Источники: Звезда - 2020, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Предположим, что такой многочлен существует. Рассмотрим многочлен $g(x)= f(x +4)− 1.$ Он также имеет целые коэффициенты. При этом $′ g(0) =g (0)= 0,$ $g(5)= 10.$ Тогда многочлен $g(x)$ имеет вид

2 3 n g(x)= a2x +a3x + ...+anx

Число $g(5)$ должно делиться на $52.$ Противоречие.

Ответ: Нет

Предыдущая подтема

Следующая подтема