Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Звезда - задания по годам → .05 Звезда 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Разделы подтемы Звезда - задания по годам

Звезда до 2020

Звезда 2020

Звезда 2021

Звезда 2022

Звезда 2023

Звезда 2024

Звезда 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69372

Решите уравнение

4 tgx x4 (x − 2)(2 − 1)+ (3 − 9)tgx =0

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?

Подсказка 2

Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.

Подсказка 3

Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!

Показать ответ и решение

Функции $y = 2t$ и $y = 3t$ - возрастающие, следовательно, выражение $3x4 − 9= 3x4 − 32$ имеет такой же знак, как и $4 x − 2$ , а выражение $tgx tgx 0 2 − 1= 2 − 2$ имеет такой же знак, как и $tgx− 0= tgx$ . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

[ 4 x − 2= 0 tgx= 0

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$±√42;πn,n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69373

Участник соревнований по триатлону на первом этапе плыл $1$ км. На втором ехал на велосипеде $25$ км, на третьем бежал $4$ км. Всю дистанцию он преодолел за $1$ час $15$ мин. Перед соревнованиями он опробовал трассу: плыл $1∕16$ часа, ехал на велосипеде и бежал по $1∕49$ часа, пройдя в сумме $5∕4$ км. На соревнованиях каждый этап он проходил с той же скоростью, что и на тренировке. Сколько времени он ехал на велосипеде и с какой скоростью?

Источники: Звезда - 2023, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорости спортсмена на разных участках за три различные переменные, а далее запишем систему уравнений, которая будет удовлетворять условию. Система выглядит как-то страшно, да и вообще переменных больше, чем уравнений. Хорошей идей здесь будет метод оценки, но подумайте, как его здесь можно применить и на что нам намекает тот факт, что в одном уравнении переменные в числителе, а в другом - в знаменателе.

Подсказка 2

Если мы сложим уравнения системы, то справа получим 5/2, а слева - три суммы, в которых переменные, то в числителе, то в знаменателе. При этом коэффициенты при переменных явно являются квадратами натуральных чисел. Такая конструкция нам намекает на применения одного классического неравенства для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными. Попробуйте догадаться, на какое именно.

Подсказка 3

Именно неравенство Коши в данном случае поможет нам оценить выражение в левой части уравнения. И если применить его для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными, то получится, что данное выражение не меньше 5/2. Но также мы знаем, что оно равно 5/2. Вспомните, при каком условии достигается равенство в неравенстве Коши.

Показать ответ и решение

Пусть $v ,v,v 1 2 3$ - скорости спортсмена на этапах $1,2,3$ соответственно. Из условия следует: $1-+ 25-+ 4-= 5 v1 v2 v3 4$ часа. $-1 1- -1 1- 5 16v1+ 16v1+ 49v2+ 49v3 = 4$ км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел $x,y$ выполнено неравенство $√ -- x+ y ≥ 2 xy$ , получим:

5 1 v1 25 v2 4 v3 2 =(v1 + 16)+ (v2 + 49)+ (v3 + 49)≥

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ( ) ≥ 2 1⋅-1 +2 25⋅ 1-+ 2 4⋅-1= 2 1+ 5+ 2 = 5 16 49 49 4 7 7 2

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

1- v1 25- v2 4- v3 v1 = 16;v2 = 49;v3 = 49

то есть $км км км- v1 = 4 ч ,v2 =35 ч ,v3 = 14 ч$

Ответ:

$2∕7$ часа со скоростью $14$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69374

Последовательность функций задана формулами

---9--- f0(x)= 3sin x, fn+1(x)= 3− fn(x)

для любого целого $n≥ 0$ . Найдите $( ) f2023 π6$

Источники: Звезда - 2023, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вычислить первые значения: f₀(pi/6), f₁(pi/6) и т.д... Что можно заметить?

Подсказка 2

Если быть достаточно терпеливым, то можно заметить, что f₀(pi/6) = f₃(pi/6)! Значит, эти значения просто зациклятся)

Показать ответ и решение

Легко вычислить: $f (x)= f (x) 3 0$ , поэтому

----9---- f2023(x) =f1(x)= 3 − 3sin(x)

Следовательно, $( ) f2023 π6 =6$

Замечание.

Можно сразу вычислять значения функций в данной точке. Получится циклическая последовательность

( ) ( ) ( ) ( ) f0 π = 3; f1 π = 6; f2 π =− 3; f3 π = 3; ... 6 2 6 6 6 2

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69375

Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а стороны основания равны $√61-$ , $√52-$ , $√41$ . Центр сферы, которая касается всех боковых граней, лежит на основании пирамиды. Найдите радиус этой сферы.

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, можно найти оставшиеся длины ребер: у нас же они перпендикулярны, а значит, можно применить теорему Пифагора!

Подсказка 2

С длинами разобрались, а что делать с радиусом вписанной сферы? На плоскости у нас есть полезный факт, что r = S/p, где S - площадь треугольника, а p - полупериметр. Если вы помните доказательство этого факта, то проведите аналогичные рассуждения здесь)

Подсказка 3

Если не помните, то сделайте вот что: вот у нас есть центр сферы O. Проведем отрезки из O ко всем вершинам пирамиды. Тогда он разбивается на 3 маленьких тетраэдра. Тогда его объем - сумма объемов маленьких тетраэдров. А чему равны объемы маленьких тетраэдров?)

Подсказка 4

А они равны 1/3 × r × (площадь грани). Причем площадь грани очень легко посчитать т.к. боковые ребра - перпендикулярны, и их длины мы знаем! Осталось ещё вспомнить формулу объема пирамиды у которой боковые ребра перпендикулярны, и дело в шляпе!

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим основание пирамиды — $ABC$ , вершину пирамиды — $D$ , центр сферы — $O$ , радиус сферы — $r$ . Пусть $√-- √ -- √-- AB = 41,BC = 61,AC = 52$ . Обозначим $AD = x,BD = y,CD = z$ .

Так как радиус, проведённый в точку касания сферы и плоскости, ортогонален плоскости, имеем:

VABCD =VABDO + VBCDO +VACDO =

= 13SABD ⋅r+ 13SBCD ⋅r+ 13SACD⋅r=

( ) = 1r 1xy+ 1yz+ 1zx 3 2 2 2

С другой стороны, так как боковые рёбра попарно перпендикулярны, то

1 VABCD = 6xyz

Поэтому

xyz r= xy-+yz+-xz

Числа $x,y,z$ находятся из системы уравнений:

( |||{ x2+y2 = 41 x2+z2 = 52 |||( y2+z2 = 61

Складывая уравнения системы и деля на два, получим:

2 2 2 x + y +z = 77

откуда $x2 = 16,y2 = 25,z2 =36$ . Тогда

r= ---4-⋅5-⋅6-----= 60- 4⋅5+4 ⋅6 +5⋅6 37

Ответ:

$60 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76752

Решите уравнение

2 sinx x2 (x − 2)(2 − 1)+ (2 − 4)sinx= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что знак выражения $x2− 2$ совпадает со знаком выражения $2x2 − 22$ по методу рационализации. Также знак выражения $sinx$ совпадает со знаком выражения $sinx 0 2 − 2 .$ Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

[ 2 x − 2= 0 sinx =0

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Ответ:

$±√2; πn, n∈ ℤ$

Предыдущая подтема

Следующая подтема