Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Школа - Школа 5-8 класс
Системы уравнений

Тема Алгебра

16 Системы уравнений → 16.03 Система нелинейных уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений

Графический метод решения

Система линейных уравнений

Система нелинейных уравнений

Система с линейным и нелинейным уравнением

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#131255

Решите систему уравнений

{ x2y− xy2 =6 xy+ x− y = −5

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Из второго уравнения выразим $y :$

−x−-5 y = x − 1 , так как x = 1 не является корнем

Подставим в первое уравнение:

( ) ( )2 x2 −x−-5 − x −x−-5 = 6 x − 1 x− 1

После преобразований получаем:

−x3−-5x2− x(x2-+10x+-25) =6 x− 1 (x− 1)2

Домножаем на $2 (x− 1) :$

(−x3− 5x2)(x− 1)− x(x2 +10x+ 25)= 6(x− 1)2

Раскрываем скобки:

−x4+ x3− 5x3+ 5x2− x3 − 10x2− 25x =6x2− 12x +6

Приводим подобные:

− x4 − 5x3− 5x2 − 25x= 6x2− 12x+ 6

Переносим все в одну сторону:

4 3 2 x +5x + 11x + 13x+ 6= 0

Разложим на множители:

(x+ 1)(x+ 2)(x2+ 2x +3)= 0

Последний квадратный трехчлен действительных решений не имеет (дискриминант меньше $0).$

Находим соответствующие $y :$

Для $x= −1$ : $y = 1−-5 =2 −2$
Для $x= −2$ : $y = 2−-5 =1 −3$

Ответ:

(x1,y1)= (− 2,1)

(x2,y2)= (− 1,2)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#131256

Решите систему уравнений

(| xy− x= 2 ||{ y || |( xy− y= 1 x 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Введем замену переменных:

x u= xy, v = y

Перепишем систему:

( { u− v = 2 (1′) ( u− 1v = 12 (2′)

Выразим $u$ из (1’) и подставим в (2’):

u= v+ 2

1 1 v +2− v = 2

Упростим уравнение:

v− 1 =− 3 v 2

Умножим на $2v$ ( $v ⁄= 0$ ):

2v2+ 3v− 2= 0

Найдем корни:

√ ----- v = −-3±-9+-16 = −3±-5 4 4

v1 = 1, v2 = −2 2

Найдем $u$ для каждого случая:

1 5 При v = 2 : u= 2 При v =− 2: u =0

Вернемся к исходным переменным:

Случай 1: $5 u = 2$ , $1 v = 2$

5 x 1 xy = 2, y = 2 ⇒ y = 2x

√ - x ⋅2x = 5 ⇒ x2 = 5 ⇒ x= ±-5 2 4 2

y =± √5

Случай 2: $u = 0$ , $v =− 2$

x xy = 0, y =− 2⇒ x= −2y

−2y⋅y = 0⇒ y = 0 (не подходит, так как y в знаменателе)

Ответ:

( √5 √-) (x1,y1)= 2-, 5

( √5- √ ) (x2,y2)= − 2 ,− 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#131257

Решите систему уравнений

{ x2 − xy+ y2 = 3 2x2− xy− y2 = 5

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

2 2 2 2 (2x − xy− y)− (x − xy+ y )=5 − 3

2 2 x − 2y =2 (3)

Выразим $x2$ из уравнения $(3)$ :

x2 = 2+2y2 (3′)

Подставим $(3′)$ в первое уравнение изначальной системы:

(2+2y2)− xy +y2 = 3

3y2− xy− 1= 0 (4)

Выразим $x$ из уравнения $(4)$ :

xy = 3y2 − 1

3y2− 1 x= ---y-- (при y ⁄=0)

Подставим $x$ в уравнение $(3′)$ :

( ) 3y2-− 1-2 =2 +2y2 y

9y4− 6y2+-1 2 y2 = 2+ 2y

9y4− 6y2+ 1= 2y2+2y4

4 2 7y − 8y + 1= 0

Решим биквадратное уравнение (замена $z = y2):$

2 7z − 8z+ 1= 0

√------ z = 8±-64−-28= 8±-6 14 14

z1 =1, z2 = 1 7

Найдем соответствующие значения $y$ и $x :$

Случай 1: $y2 =1 ⇒ y = ±1$

а) $y = 1:$

x= 3(1)2−-1= 2 1

б) $y = −1:$

3(−-1)2−-1 x= −1 = −2

Случай 2: $2 1 1 y = 7 ⇒ y = ±√7$

а) $y = 1√-: 7$

3(1)− 1 − 4 √- x= --71---= -71-= − 477 √7- √7-

б) $y = −√1-: 7$

3(1)− 1 − 4 4√7 x= --71---= --71-= -7- − √7 −√7

Ответ:

(x1,y1)=(2,1)

(x2,y2)= (−2,−1)

( ) 4√7 1-- (x3,y3)= − 7 ,√7

( √- ) (x4,y4)= 4-7,− √1- 7 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#131259

Решите систему уравнений

{ x2+xy +y2 = 3 x4+x2y2+ y4 = 21

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем первое уравнение:

2 2 ′ x + y = 3− xy (1)

Преобразуем второе уравнение, используя тождество:

4 2 2 4 2 22 2 2 x + xy + y = (x + y )− x y = 21

Подставим $(1′)$ во второе уравнение:

(3− xy)2− (xy)2 = 21

9− 6xy+ x2y2 − x2y2 = 21

9− 6xy =21

−6xy = 12

xy = −2 (3)

Теперь имеем систему:

{ x2+ y2 = 5 (из 1’ и 3) xy =− 2

Введем замену:

S =x +y, P = xy = −2

Используем тождество:

S2 = x2+ y2+2xy =5− 4= 1

S = ±1

Найдем решения:

Случай 1: $S = 1$ , $P = −2$

t2− t− 2= 0

1± √1+-8 1± 3 t= ---2----= --2-

x= 2, y = −1 x= −1, y =2

Случай 2: $S = −1$ , $P =− 2$

t2+ t− 2= 0

−1± √1+-8 −1 ±3 t= ----2----= --2--

x= 1, y = −2 x= −2, y =1

Ответ:

(x1,y1)= (− 2,1)

(x2,y2)= (− 1,2)

(x ,y )= (1,−2) 3 3

(x4,y4)= (2,−1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#131261

Решите графически систему уравнений

{ x − y =1 y =x2+ 2x− 3

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение прямой.

Второе уравнение — уравнение параболы по оси $x.$

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)=(1,0)

(x2,y2)= (−2,−3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#131262

Решите графически систему уравнений

{ xy = 3 y2 = x− 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение гиперболы $y = 3. x$

Второе уравнение — уравнение параболы по $y.$

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)=(3,1)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#131263

Решите графически систему уравнений

{ y =x2− 4x+ 7 y|x− 2|= 4

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение параболы по $y.$

Второе уравнение — уравнение гиперболы $--4- y = x − 2,$ которую отразили относительно оси $oy.$

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)=(1,4)

(x2,y2)=(3,4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#131264

Решите графически систему уравнений

{ xy = 2 x2+ y2 =5

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение гиперболы

Второе уравнение — уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $√- 5.$

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)=(2,1)

(x2,y2)= (−2,−1)

(x,y )=(1,2) 1 1

(x2,y2)= (−1,−2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#131265

Решите графически систему уравнений

{ x+ y = 4 x2+ y2 =8

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение прямой.

Второе уравнение — уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $√ - 2 2.$

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)=(2,2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#131267

Решите графически систему уравнений

{ x2 +y2 = 13 y =x2 − 7

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение — уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $√13.$

Второе уравнение — уравнение параболы по $x$ .

$PIC$

Ответ:

(x1,y1)= (− 3,2)

(x2,y2)=(3,2)

(x ,y )= (2,−3) 3 3

(x4,y4)= (−2,−3)

Предыдущая подтема

Следующая подтема