Тема Алгебра

16 Системы уравнений → 16.01 Графический метод решения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений

Графический метод решения

Система линейных уравнений

Система нелинейных уравнений

Система с линейным и нелинейным уравнением

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107800

Принадлежат ли графику уравнения $x +5y = −8$ точки:

(a) $(2;− 2);$

(b) $(−2;2);$

(d) $(0;−8)?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику уравнения, подставим вместо $x$ её абсциссу, а вместо $y$ — ординату:

(a) Точка $(2;−2)$ принадлежит графику уравнения:

2+ 5⋅(−2)= −8

2− 10= −8

− 8= −8

(b) Точка $(−2;2)$ не принадлежит графику уравнения:

−2+ 5⋅2⁄= −8

−2+ 10 ⁄=− 8

8⁄= −8

−8+ 5⋅0= −8

− 8= −8

(d) Точка $(0;−8)$ не принадлежит графику уравнения:

0+ 5⋅(−8)⁄= −8

−40⁄= −8

Второе решение.

Также можем изобразить эту прямую и убедиться, что точки $(2;− 2)$ и $(−8;0)$ принадлежит графику, а точки $(−2;2)$ и $(0;− 8)$ — не принадлежат:

$PIC$

Ответ:

(a) Принадлежит; (b) не принадлежит; (c) принадлежит; (d) не принадлежит.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107812

В каких точках график уравнения $(x − 5)(y+ 1)= 0$ пересекает:

(a) ось абсцисс;

(b) ось ординат?

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Уравнение $(x− 5)(y+1)= 0$ эквивалентно совокупности:

[ [ x − 5 =0 ⇐⇒ x= 5 y +1 =0 y = −1

(a) Уравнение пересекает ось абсцисс, когда его ордината равна $0,$ то есть $y =0.$ Это возможно только в точке $(5;0).$

(b) Уравнение пересекает ось ординат, когда его абсцисса равна $0,$ то есть $x =0.$ Это возможно только в точке $(0;− 1).$

Второе решение.

Также можем изобразить график этого уравнения и убедиться, что оно пересекает ось абсцисс в точке $(5;0),$ а ось ординат — в точке $(0;− 1):$

$PIC$

Ответ:

(a) $(5;0);$ (b) $(0;−1).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107826

В каких координатных четвертях проходит график уравнения $2x +4y = 5?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Изобразим график уравнения $2x+ 4y = 5:$

$PIC$

Теперь видно, что график уравнения проходит во всех координатных четвертях, кроме $III.$ То есть в $I,$ $II$ и $III.$

Ответ:

В $I,$ $II$ и $IV.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#107839

График уравнения $4x+3y =30$ проходит через точку $A(6;b).$ Чему равно значение $b?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Чтобы выяснить, чему равно значение $b,$ подставим вместо $x$ абсциссу точки, а вместо $y$ — её ординату:

4⋅6+ 3⋅b=30

24+ 3b =30

3b= 6

b=2

Второе решение.

Также, чтобы решить эту задачу, мы бы могли изобразить график уравнения $4x+ 3y = 30$ и найти точку его пересечения с прямой $x =6.$ Точка пересечения — и есть точка $A,$ а значит её ордината — искомое значение $b:$

$PIC$

Ответ:

$b= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107847

При каком значении $a$ пара чисел $(−4;3)$ является решением уравнения:

(a) $3x+ 5y = a;$

(b) $ax +5y = 19?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Чтобы выяснить, чему равно значение $a,$ подставим вместо $x$ абсциссу точки, а вместо $y$ — её ординату:

(a) Для уравнения $3x+ 5y = a:$

3⋅(−4)+5⋅3= a

−12+ 15 =a

a= 3

Также мы могли решить это уравнение “с параметром” графически: $3x+ 5y = a,$ или же $y = a5 − 35x$ — множество прямых, параллельных прямой $y =− 35x.$ Мы могли бы перемещать линейку параллельно этой прямой, пока линейка не пересекла бы точку $(− 4;3),$ а потом найти бы значение параметра $a:$

$PIC$

(b) Для уравнения $ax+ 5y = 19:$

a⋅(−4)+ 5⋅3= 19

− 4a +15= 19

−4a= 4

a= −1

Также мы могли решить это уравнение “с параметром” графически: $ax+ 5y = 19,$ или же $y =345 − a5x$ — множество прямых, проходящих через точку $(0;345).$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $(−4;3),$ а потом найти бы значение параметра $a:$

$PIC$

Ответ:

(a) $a =3;$ (b) $a= −1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#107853

При каком значении $a$ график уравнения $11x − 13y = a+ 6$ проходит через начала координат?

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Чтобы выяснить, чему равно значение $a,$ подставим вместо $x$ абсциссу, а вместо $y$ — ординату точки начала координат $(0;0):$

11⋅0− 13 ⋅0 =a +6

a+ 6= 0

a= −6

Второе решение.

Также мы могли решить это уравнение “с параметром” графически: $11x− 13y =a +6,$ или же $y = 11x− a+6 13 13$ — множество прямых, параллельных прямой $y = 11x. 13$ Мы могли бы перемещать линейку параллельно этой прямой, пока линейка не пересекла бы начало координат, а потом найти бы значение параметра $a:$

$PIC$

Ответ:

$a =− 6.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#107902

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:

(a) $2x− 3y = 6;$

(b) $x2+ y = 4;$

(d) $2 2 x + y = 9.$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Точка пересекается с осью абсцисс, если $y =0,$ с осью ординат — если $x =0.$

(a) Пересечение с осью абсцисс:

2x− 3 ⋅0 =6

2x= 6

x= 3

Пересечение с осью ординат:

2⋅0− 3y =6

3y =− 6

y = −2

Таким образом, график пересекается с осями координат в $(3;0)$ и $(0;−2).$

(b) Пересечение с осью абсцисс:

x2+0 =4

x2 = 4

x= ±2

Пересечение с осью ординат:

02+y =4

y = 4

Таким образом, график пересекается с осями координат в $(− 2;0),$ $(2;0)$ и $(0;4).$

|x|+ |0|= 7

|x|= 7

x= ±7

Пересечение с осью ординат:

|0|+ |y|= 7

|y|= 7

y = ±7

Таким образом, график пересекается с осями координат в $(− 7;0),$ $(7;0),$ $(0;− 7)$ и $(0;7).$

(d) Пересечение с осью абсцисс:

x2+ 02 = 9

x2 = 9

x= ±3

Пересечение с осью ординат:

02+ y2 = 9

y2 = 9

y = ±3

Таким образом, график пересекается с осями координат в $(− 3;0),$ $(3,0),$ $(0;− 3)$ и $(0;3).$

Второе решение.

Также мы могли решить эту задачу графически, изобразив графики данных нам уравнений и найдя их точки пересечения с осями координат на графике.

(a) $2x− 3y = 6$ — прямая:

$PIC$

(b) $x2+ y = 4⇐ ⇒ y = 4− x2$ — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $(0;4):$

$PIC$

(d) $x2+ y2 = 9$ — круг радиуса $√9 =3$ с центром в $(0;0):$

$PIC$

Ответ:

(a) $(3;0),$ $(0;− 2);$ (b) $(±2;0),$ $(0;4);$ (c) $(±7;0),$ $(0;±7);$ (d) $(±3;0),$ $(0;±3).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#107907

Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решение которого является пара чисел:

(a) $x =1,$ $y =2;$

(b) $x =− 3,$ $y = 5;$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Не будем усложнять себе жизнь и будем составлять самые простые линейные уравнения:

(a) $y =2x$ или же $y =x +1;$

Мы можем составить бесконечно много таких уравнений, вращая линейку около точки $(1;2)$ и составляя уравнения, задающие полученные прямые:

$PIC$

(b) $5 y =− 3x$ или же $y =x +8;$

Мы можем составить бесконечно много таких уравнений, вращая линейку около точки $(−3;5)$ и составляя уравнения, задающие полученные прямые:

$PIC$

Мы можем составить бесконечно много таких уравнений, вращая линейку около точки $(10;0)$ и составляя уравнения, задающие полученные прямые:

$PIC$

Ответ:

(a) $y =2x$ или же $y = x+ 1;$ (b) $5 y = −3x$ или же $y = x+8;$ (c) $y = 0$ или же $y = x− 10.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#107908

Принадлежат ли графику уравнения $x4 − y = −2$ точки, имеющие отрицательную ординату?

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если точка имеет отрицательную ординату, то есть $y <0,$ то левая часть уравнения положительная, а правая — отрицательная. Такой ситуации быть не может, значит, точки, имеющие отрицательную ординату, не принадлежат графику.

Второе решение.

Изобразим график уравнения, чтобы убедиться, что точки с отрицательной ординатой ему не принадлежат:

$PIC$

Ответ:

Не принадлежат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#107909

Найдите все пары $(x,y)$ целых чисел, являющиеся решениями уравнения $|x|+|y|=2.$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Выразим из уравнения $|y|:$

|y|= 2− |x|

Левая часть нового уравнения неотрицательна, значит, правая тоже должна быть неотрицательной:

2− |x|≥0

|x|≤ 2

( { x≥ −2 ( x≤ 2

В промежутке $[− 2;2]$ ровно $5$ целых чисел: $− 2,$ $− 1,$ $0,$ $1$ и $2.$

Если $x= −2:$

|− 2|+ |y|= 2

2+ |y|=2

|y|= 0

y = 0

Если $x= −1:$

|− 1|+ |y|= 2

1+ |y|=2

|y|= 1

y = ±1

Если $x= 0:$

|0|+ |y|= 2

|y|= 2

y = ±2

Если $x= 1:$

|1|+ |y|= 2

1+ |y|=2

|y|= 1

y = ±1

Если $x= 2:$

|2|+ |y|= 2

2+ |y|=2

|y|= 0

y = 0

Второе решение.

Также мы могли изобразить график уравнения $|x|+|y|=2$ и отметить на нём все целочисленные точки:

$PIC$

Ответ:

$(±2;0),$ $(±1;±1),$ $(0;±2).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#107910

Сколько решений имеет уравнение:

(a) $x2+ (y− 2)2 = 0;$

(b) $(x+ 3)2 +(y− 1)2 = 0;$

(d) $xy =2;$

(e) $|x+ 1|+ |y|= 0;$

(f) $x2+ |y|= −100?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

( ( ( x2+ (y − 2)2 = 0⇐⇒ { x2 = 0 ⇐⇒ {x = 0 ⇐ ⇒ {x =0 ( (y− 2)2 = 0 (y − 2 =0 (y =2

Уравнение имеет единственное решение — $(0;2).$

Если мы захотим изобразить график этого уравнения, то это будет просто точка на плоскости:

$PIC$

(b) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

( ( ( (x+ 3)2+ (y − 1)2 = 2 ⇐ ⇒ {(x+ 3)2 = 0 ⇐ ⇒ {x+ 3= 0 ⇐⇒ {x= −3 ((y− 1)2 = 0 (y− 1= 0 (y = 1

Уравнение имеет единственное решение — $(−3;1).$

Если мы захотим изобразить график этого уравнения, то это будет просто точка на плоскости:

$PIC$

[ ⌊ ({x2 = 0 ⌊ ({x =0 (x2+y2)y = 0⇐⇒ x2+ y2 = 0 ⇐ ⇒ || ( 2 ⇐ ⇒ || ( ⇐⇒ y = 0 y =0 ⌈ y = 0 ⌈ y =0 y = 0 y = 0

Уравнение имеет бесконечно много решений, все они лежат на оси абсцисс.

Если мы захотим изобразить график этого уравнения, то это будет прямая, совпадающая с осью абсцисс:

$PIC$

(d) $xy =2 ⇐⇒ y = 2 x$ — это уравнение задаёт гиперболу, оно имеет бесконечно много решений вида $(x; 2): x$

$PIC$

(e) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

({|x +1|= 0 ({ x+ 1= 0 ({ x= −1 |x+ 1|+ |y|= 0⇐ ⇒ ( ⇐⇒ ( ⇐⇒ ( |y|= 0 y = 0 y = 0

Уравнение имеет единственное решение — $(−1;0).$

Если мы захотим изобразить график этого уравнения, то это будет просто точка на плоскости:

$PIC$

(f) Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной, значит, уравнение не имеет решений. Его графиком будет пустая координатная плоскость:

$PIC$

Ответ:

(a) $1;$ (b) $1;$ (c) бесконечно много; (d) бесконечно много; (e) $1;$ (f) $0.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#107911

Постройте график уравнения:

(a) $xy =5;$

(b) $(x− 5)(x− 2y)=0;$

(d) $x − |y|=0;$

(e) $x+x2+yy = 1;$

(f) $x−xy−+2y6= 1;$

(g) $(x+ 2)2+ y2 = 0;$

(h) $2 |x|+(y− 3) = 0;$

(i) $xy− 2y =0;$

(j) $|x − 4|+ |y− 4|=0;$

(k) $(x− 4)(y− 4)=0.$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) $5 xy = 5⇐ ⇒ y = x$ — это уравнение задаёт гиперболу.

(b) Произведение двух чисел равно $0,$ если хотя бы одно из них равно $0:$

[ [ [ (x− 5)(x− 2y)⇐ ⇒ x− 5 =0 ⇐⇒ x= 5 ⇐ ⇒ x= 5 x− 2y =0 2y = x y = 12x

Исходное уравнение задаёт две прямые: $x= 5$ и $y = 12x.$

2 2 x − 4y =0

2 2 4y = x

2y =±x

y =± 1x 2

Исходное уравнение задаёт две прямые: $y = − 12x$ и $y = 12x.$

(d) Выразим $y$ через $x:$

({ x− |y|= 0⇐ ⇒ |y|= x⇐⇒ x≥ 0 ( y = ±x

Исходное уравнение задаёт две прямые: $y = −x$ и $y =x,$ — определённые только при $x ≥0.$

(e) Сразу запишем ОДЗ уравнения:

x+ y ⁄= 0

y ⁄= −x

На ОДЗ:

x+-2y= 1| ⋅(x+ y) x +y

x +2y = x+ y / /

y = 0

Исходное уравнение задаёт прямую $y = 0$ за исключением точек, лежащих на прямой $y =− x,$ то есть за исключением точки $(0;0).$

(f) Сразу запишем ОДЗ уравнения:

x− 2y ⁄=0

2y ⁄= x

1 y ⁄= 2x

На ОДЗ:

x− y +6 -x− 2y-=1 | ⋅(x +y +6)

x− y+ 6= x− 2y / /

y = −6

Исходное уравнение задаёт прямую $y = −6$ за исключением точек, лежащих на прямой $y = 12x,$ то есть за исключением точки $(−12;− 6).$

(g) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

( ( ( 2 2 {(x+2)2 = 0 { x+ 2= 0 { x= −2 (x+ 2)+ y = 0⇐⇒ (y2 = 0 ⇐⇒ ( y = 0 ⇐⇒ ( y = 0

График исходного уравнения — точка $(−2;0).$

(h) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

({ ({ ({ |x|+ (y − 3)2 = 0⇐⇒ |x|= 0 ⇐⇒ x= 0 ⇐ ⇒ x =0 ( (y − 3)2 = 0 ( y− 3 =0 (y =3

График исходного уравнения — точка $(0;3).$

(i) Вынесем общий множитель за скобки:

xy− 2y = 0

y(x− 2)= 0

Произведение двух чисел равно $0,$ если хотя бы одно из них равно $0:$

[ [ y(x − 2)= 0⇐⇒ y =0 ⇐⇒ y = 0 x − 2 =0 x= 2

Исходное уравнение задаёт $2$ прямые: $y =0$ и $x =2.$

(j) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны $0:$

( ( ( {|x − 4|= 0 { x− 4= 0 { x= 4 |x− 4|+|y− 4|= 0⇐ ⇒ (|y − 4|= 0 ⇐⇒ ( y− 4= 0 ⇐⇒ ( y = 4

График исходного уравнения — точка $(4;4).$

(k) Произведение двух чисел равно $0,$ если хотя бы одно из них равно $0:$

[ [ (x − 4)(y − 4)= 0⇐⇒ x − 4 =0 ⇐⇒ x= 4 y − 4 =0 y = 4

Исходное уравнение задаёт $2$ прямые: $x = 4$ и $y =4.$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

(e)

$PIC$

(f)

$PIC$

(g)

$PIC$

(h)

$PIC$

(i)

$PIC$

(j)

$PIC$

(k)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#107912

График уравнения проходит через точку $A.$ Постройте этот график:

(a) $2ax+ 3y = 8,$ $A(1;2);$

(b) $(a− 1)x +(a+ 1)y = 2,$ $A(1;1);$

(d) $ax +2ay+ x+ 2y =5a+ 5,$ $A(3;1).$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Чтобы выяснить, чему равно значение $a,$ подставим вместо $x$ абсциссу точки $A (1;2),$ а вместо $y$ — её ординату:

2a⋅1+3 ⋅2 =8

2a+6 =8

2a= 2

a= 1

Таким образом, наше уравнение выглядит так:

2x+ 3y = 8

Также мы могли бы нарисовать график этого уравнения “с параметром” иначе, не зная значения $a:$ $2ax+ 3y = 8,$ или же $y =22 − 2ax, 3 3$ — множество прямых, проходящих через точку $(0;22). 3$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $A (1;2)$ и изобразить нужную нам прямую:

$PIC$

(b) Чтобы выяснить, чему равно значение $a,$ подставим вместо $x$ абсциссу точки $A(1;1),$ а вместо $y$ — её ординату:

(a− 1)⋅1+ (a+1)⋅1= 2

a/−/1+ a/+/1= 2

2a= 2

a= 1

Таким образом, наше уравнение выглядит так:

2y = 2

y = 1

Также мы могли бы нарисовать график этого уравнения “с параметром” иначе, не зная значения $a:$ $(a− 1)x+ (a +1)y = 2$ — множество прямых, проходящих через точку $(−1;1).$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $A(1;1)$ и изобразить нужную нам прямую:

$PIC$

(a +2)⋅2+ (2a− 1)⋅1 =5

2a +4+ 2a− 1= 5

4a+3 =5

4a= 2

1 a = 2

Таким образом, наше уравнение выглядит так:

5x =5 2

x= 2

Также мы могли бы нарисовать график этого уравнения “с параметром” иначе, не зная значения $a:$ $(a+2)x+ (2a− 1)y = 5$ — множество прямых, проходящих через точку $(2;−1).$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $A(2;1)$ и изобразить нужную нам прямую:

$PIC$

(d) Чтобы выяснить, чему равно значение $a,$ подставим вместо $x$ абсциссу точки $A(3;1),$ а вместо $y$ — её ординату:

a⋅3+ 2a⋅1+ 3+2 ⋅1 =5a+ 5

3a+2a+ 3+ 2= 5a+5

5a+ 5= 5a +5

Получается, $a$ может принимать любые значения. Немного преобразуем наше уравнение:

(a+ 1)x +2(a+1)y = 5(a +1)

При $a= −1$ уравнению удовлетворяют все точки графика.

При $a⁄= −1 :$

(a+ 1)x+ 2(a +1)y = 5(a+ 1)| :(a+1)⁄= 0

x+ 2y =5

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d) При $a= −1$ уравнению удовлетворяют все точки графика, а при $a⁄= −1:$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#107913

При каком значении параметра $a$ график уравнения

(a) $(a− 2)x+ (2a− 6)y+ 8= 0$ параллелен оси $x;$

(b) $(3a− 1)x+ (a− 1)y− 6= 0$ параллелен оси $y;$

(d) $(6− 4a)x+ (2a − 3)y+ 3a =0$ не существует?

Постройте графики для пунктов $(a)$ и $(b).$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) График уравнения $(a− 2)x +(2a− 6)y+ 8= 0$ будет параллелен оси $x,$ если уравнение не будет зависеть от $x,$ то есть $x$ “занулится”. Это возможно, если $a − 2= 0,$ то есть если $a= 2.$

Если $a= 2,$ уравнение примет вид:

−2y+ 8= 0

2y = 8

y = 4

(b) График уравнения $(3a − 1)x+ (a− 1)y − 6 =0$ будет параллелен оси $y,$ если уравнение не будет зависеть от $y,$ то есть $y$ “занулится”. Это возможно, если $a − 1= 0,$ то есть если $a= 1.$

Если $a= 1,$ уравнение примет вид:

2x− 6 =0

2x= 6

x= 3

(c) График уравнения $(2a− 6)x +(a− 3)y− 4a+ 12 =0$ будет являться координатной плоскостью, если это уравнение будет верным при любых значениях $x$ и $y.$ Преобразуем его:

(2a− 6)x+ (a − 3)y− 4a +12= 0

2(a − 3)x+ (a− 3)y − 4(a− 3)= 0

(a− 3)(2x+y − 4)= 0

Уравнение будет верным при любых значениях $x$ и $y,$ только если $a− 3= 0,$ то есть если $a= 3.$

(d) График уравнения $(6− 4a)x+ (2a− 3)y+ 3a= 0$ не будет существовать, если это уравнение не будет верным ни при одном значении $(x;y).$ Преобразуем его:

(6− 4a)x +(2a− 3)y+ 3a= 0

−2(2a − 3)x+ (2a− 3)y +3= 0

(2a− 3)(y− 2x) =− 3

Уравнение не будет верным ни при одном значении $(x;y),$ только если $2a− 3= 0,$ то есть если $a= 32.$

Ответ:

(a) $a= 2;$

$PIC$

(b) $a =1;$

$PIC$

(d) $a = 32.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#107914

Решите графически систему уравнений:

({ (a) x +2y = 0 (5x+ y = −18

( (b){ 2x − 5y = 10 ( 4x − y =2

( {x− 2y = 1 (c) (y− x= −2

( {x+ y = −3 (d) ( x− y = −1

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ответ:

(a) $(−4;2);$ (b) $(0;−2);$ (c) $(3;1);$ (d) $(− 2;−1).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#107915

Пара чисел $(6;4)$ является решением системы уравнений:

({ (a) ax +2y = 26 ( 4x +by = 14

( (b) {5x+ by =6 (ax+ by = 0

Найдите значения $a$ и $b.$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Подставим вместо $x$ абсциссу точки $(6;4),$ а вместо $y$ — её ординату, чтобы получить систему относительно $a$ и $b:$

( ( ( ( {a⋅6+ 2⋅4= 26 ⇐⇒ { 6a +8 =26 ⇐⇒ { 6a = 18 ⇐⇒ {a =3 (4⋅6+ b⋅4= 14 ( 24 +4b= 14 ( 4b =− 10 (b =−2 12

Также эту задачу можно было решить графически: $ax+ 2y = 26$ — множество прямых, проходящих через точку $(0;13),$ а $4x+ by = 14$ — множество прямых, проходящих через точку $(312;0).$ Мы могли бы вращать линейку около точек $(0;13)$ и $(312;0),$ пока линейка не пересекла бы точку $(6;4),$ и найти значения $a$ и $b$ соответственно:

$PIC$

(b) Подставим вместо $x$ абсциссу точки $(6;4),$ а вместо $y$ — её ординату, чтобы получить систему относительно $a$ и $b:$

({ ({ ({ ({ (5 ⋅6+b⋅4= 6 ⇐ ⇒ (30+ 4b=6 ⇐⇒ (4b= −24 ⇐ ⇒ (b= −6 a⋅6+b⋅4= 0 6a+ 4b=0 6a =24 a= 4

Также эту задачу можно было решить графически: $5x+by = 6$ — множество прямых, проходящих через точку $1 (15;0),$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $(6;4),$ и найти значение $b:$

$PIC$

Далее, мы подставили найденное $b= −6$ во второе уравнение и получили бы уравнение $ax− 6y = 0$ — множество прямых, проходящих через точку $(0;0).$ Мы могли бы вращать линейку около этой точки, пока линейка не пересекла бы точку $(6;4),$ и найти значение $a:$

$PIC$

Или же, если бы мы хотели изобразить всё на одном графике:

$PIC$

Ответ:

(a) $a =3,$ $1 b =−2 2;$ (b) $a= 4,$ $b= −6.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#107916

Имеет ли решение система уравнений?

({ ({ (a) 2x− 7y =6 (b) x +2y = 0,5 ( 8x− 28y =24 (2x+ 4y = 2

( ( (c){ x− y = 4 (d) {9x+ 9y = 18 ( 3x − 3y = 6 (x +y =2

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Решим эту систему алгебраически и графически.

( ( { 2x− 7y =6 ⇐ ⇒ {2x− 7y = 6 ⇐⇒ 2x− 7y = 6 ( 8x− 28y = 24| :4 (2x− 7y = 6

Полученное уравнение имеет бесконечно много решений, как и исходная система.

Теперь решим эту систему графически. Изобразим графики уравнений $2x− 7y = 6$ и $8x− 28y = 24:$

$PIC$

Оказывается, они совпадают. Значит, система имеет бесконечно много решений.

(b) Решим эту систему алгебраически и графически.

({ ({ x+ 2y =0,5| ⋅2 ⇐ ⇒ 2x+ 4y = 1 =⇒ 1= 2— противоречие ( 2x +4y = 2 (2x+ 4y = 2

Получается, система не имеет решений.

Теперь решим эту систему графически. Изобразим графики уравнений $x +2y = 0,5$ и $2x +4y = 2:$

$PIC$

Оказывается, они параллельны. Значит, система не имеет решений.

({ x− y = 4 ({ x− y = 4 ( ⇐⇒ ( =⇒ 4= 2— противоречие 3x− 3y =6| :3 x− y = 2

Получается, система не имеет решений.

Теперь решим эту систему графически. Изобразим графики уравнений $x − y =4$ и $3x− 3y = 6:$

$PIC$

(d) Решим эту систему алгебраически и графически.

({ ({ (9x +9y =18| :9 ⇐⇒ (x +y =2 ⇐⇒ x+ y = 2 x+ y = 2 x+y =2

Полученное уравнение имеет бесконечно много решений, как и исходная система.

Теперь решим эту систему графически. Изобразим графики уравнений $9x+ 9y = 18$ и $x+y = 2:$

$PIC$

Оказывается, они совпадают. Значит, система имеет бесконечно много решений.

Ответ:

(a) Да; (b) нет; (c) нет; (d) да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#107917

К уравнению $2x − 3y = 6$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

(a) имеет единственное решение;

(b) имеет бесконечно много решений;

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Система уравнений будет иметь единственное решение, если уравнения в ней не будут эквивалентны и не будут противоречить друг другу, например:

( ( ( ( {2x− 3y = 6 ⇐⇒ { 2(2y+ 3)− 3y = 6 ⇐ ⇒ {4y/+/6− 3y =/6 ⇐⇒ {y =0 (x − 2y = 3 ( x= 2y+3 (x= 2y+ 3 (x =3

Также можно было придумать второе линейное уравнение иначе: изобразив график уравнения $2x− 3y = 6$ и подобрать к нему другое уравнение, график которого будет пересекать наше уравнение. Таких уравнений бесконечно много:

$PIC$

(b) Система уравнений будет иметь бесконечно много решений, если уравнения в ней будут эквивалентны. Например, если мы домножим уравнение $2x − 3y = 6$ на $2,$ то мы получим уравнение $4x− 6y = 12,$ эквивалентное данному. Система из этих двух уравнений будет иметь бесконечно много решений:

( ( {2x− 3y = 6 { 2x− 3y =6 (4x− 6y = 12 | :2 ⇐⇒ ( 2x− 3y =6 ⇐⇒ 2x− 3y =6

Также можно было придумать второе линейное уравнение иначе: изобразив график уравнения $2x− 3y = 6$ и подобрать к нему другое уравнение, график которого будет совпадать с нашим уравнением. Таких уравнений бесконечно много:

$PIC$

(c) Система уравнений не будет иметь решений, если уравнения в ней будут друг другу противоречить. Например, если $2x− 3y$ будет равно $6$ и $12$ одновременно:

( { 2x − 3y = 6 ( 2x − 3y = 12 =⇒ 6= 12— противоречие

Также можно было придумать второе линейное уравнение иначе: изобразив график уравнения $2x− 3y = 6$ и подобрать к нему другое уравнение, график которого будет параллелен нашему уравнению. Таких уравнений бесконечно много:

$PIC$

Ответ:

(a) $x − 2y = 3;$ (b) $4x− 6y = 12;$ (c) $2x− 3y =12.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#107918

При каких значениях $a$ система уравнений:

({ (a) x+ 5y = 4 имеет бесконечно много решений; ( 4x+ 20y = a

( (b) {6x+ ay = 4 имеет бесконечно много решений; (3x− 5y = 2

( { 7x− 12y = 14 (c)( −12y+ 7x =a не им еет решений;

( {8x+ 9y = 7 (d) ( имеет бесконечно много решений; 8x+ 9y = a

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Этот номер будет тяжело решить, не рисуя график, ведь нам нужно найти все значения $a,$ а не какое-то единственное. Поэтому в каждом из пунктов будем начинать с графика.

(a) График уравнения $x+ 5y = 4$ — прямая, проходящая через точки $(0;45)$ и $(4;0).$ А $4x+ 20y =a$ — множество прямых, параллельных прямой $4x+ 20y = 0,$ или же $x +5y = 0.$ Чтобы выяснить, при каких значениях $a$ система уравнений имеет бесконечно много решений, нам надо перемещать линейку параллельно этой прямой, пока прямые $x+ 5y =4$ и $4x+ 20y = a$ не совпадут, а потом найти значение параметра $a:$

$PIC$

$a= 16.$

(b) График уравнения $3x− 5y =2$ — прямая, проходящая через точки $2 (0;−5)$ и $2 (3;0).$ А $6x +ay = 4$ — множество прямых, проходящих через точку $2 (3;0).$ Чтобы выяснить, при каких значениях $a$ система уравнений имеет бесконечно много решений, нам надо вращать линейку около этой точки, пока прямые $3x− 5y =2$ и $6x+ ay = 4$ не совпадут, а потом найти значение параметра $a:-$

$PIC$

$a= −10.$

(c) График уравнения $7x− 12y = 14$ — прямая, проходящая через точки $1 (0;−16)$ и $(2;0).$ А $− 12y+ 7x= a$ — множество прямых, параллельных прямой $− 12y+ 7x =0,$ или же $7x− 12y = 0.$ Но тогда графики $7x − 12y = 14$ и $− 12y+ 7x= a$ или параллельны, или совпадают. Нас устраивает только первый случай, значит, необходимо исключить ситуацию, когда графики совпадают. Для этого будем перемещать линейку параллельно прямой $7x− 12y = 0$ до тех пор, пока прямые $7x− 12y = 14$ и $− 12y+ 7x= a$ не совпадут, а потом найдём значение параметра $a:$

$PIC$

Получается, $a= 14$ — единственное значение $a,$ которое нам не подходит.То есть система не имеет решений при $a⁄= 14.$

(d) График уравнения $8x+ 9y =7$ — прямая, проходящая через точки $(0;7) 9$ и $(7;0). 8$ А $8x+ 9y = a$ — множество прямых, параллельных прямой $8x+ 9y = 0.$ Чтобы выяснить, при каких значениях $a$ система уравнений имеет бесконечно много решений, нам надо перемещать линейку параллельно этой прямой, пока прямые $8x+ 9y = 7$ и $8x+9y =a$ не совпадут, а потом найти значение параметра $a:$

$PIC$

$a= 7.$

Ответ:

(a) $16;$ (b) $− 10;$ (c) $a ⁄=14;$ (d) $a =7.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#107919

Подберите такие значения $m$ и $n,$ при которых система уравнений

({ x+ y = 5 ( 3x− my = n

(a) имеет бесконечно много решений;

(b) не имеет решений;

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

График уравнения $x+ y = 5$ — прямая, проходящая через точки $(0;5)$ и $(5;0).$

(a) Мы хотим, чтобы система имела бесконечно много решений,значит, прямые $x +y =5$ и $3x− my =n$ должны совпадать. Тогда мы должны подобрать такой коэффициент $m,$ при котором $x +y = 5$ и $3x− my = n$ могут совпадать или быть параллельны друг другу, а потом подобрать такой коэффициент $n,$ чтобы прямые совпали.

Начнём с поиска $m.$ Прямая $3x − my = 0$ параллельна $3x− my = n.$ Тогда, если мы найдём $m,$ при котором прямая $3x− my =0$ параллельна $x+ y = 5,$ то это значение $m$ подойдёт в качестве ответа. График $3x− my =0$ — множество прямых, проходящих через $(0;0).$ Будем вращать линейку около этой точки, пока прямые $x+ y = 5$ и $3x− my = 0$ не будут параллельны:

$PIC$

Таким образом, $m =− 3.$

Вернёмся к прямой $3x − my = n,$ которая, как мы выяснили, на самом деле является прямой $3x+3y =n.$ Это множество прямых, параллельных прямой $3x+ 3y = 0.$ Чтобы выяснить, при каком значении $n$ система уравнений имеет бесконечно много решений, нам надо перемещать линейку параллельно этой прямой, пока прямые $x +y =5$ и $3x+ 3y = n$ не совпадут, а потом найти значение параметра $n:$

$PIC$

Таким образом, $n= 15.$

( ( { x+ y = 5 { x+y =5 ( 3x+3y =15| :3 ⇐⇒ ( x+y =5 ⇐⇒ x+ y = 5

(b) Мы хотим, чтобы система не имела решений, значит, прямые $x+ y = 5$ и $3x − my = n$ должны быть параллельны. Как мы выяснили в предыдущем пункте, эти прямые могут быть параллельны только при $m = −3.$ При этом $n ⁄= 15,$ иначе они будут совпадать. Система не будет иметь решений при $m =− 3$ и $n ⁄= 15.$

$PIC$

В ответ можем записать, к примеру, пару чисел $m = −3$ и $n= −3:$

({x+ y = 5 ({ x+ y = 5 ( ⇐⇒ ( =⇒ 15= −3 —противоречие 3x+ 3y = −3 3(x +y)= −3

(c) Система будет иметь единственное решение, если прямые $x+ y = 5$ и $3x− my = n$ не будут совпадать и не будут параллельны, т. е. будут пересекаться. Поскольку они совпадают или параллельны только при $m = −3,$ нам подходит любое $m ⁄=3$ и любое $n.$