Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Школа - Школа 5-8 класс
Системы уравнений

Тема Алгебра

16 Системы уравнений → 16.04 Система с линейным и нелинейным уравнением

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений

Графический метод решения

Система линейных уравнений

Система нелинейных уравнений

Система с линейным и нелинейным уравнением

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#131416

Решите систему уравнений:

(| 3 { y = x |( y = 5x+ 14

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

3 = 5x +14 x

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии $x ⁄=0):$

3 =5x2+ 14x

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

5x2+ 14x− 3= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

2 2 D =b − 4ac=(14)− 4⋅5⋅(−3)=196+ 60= 256

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

-- −b+√-D- −14+-√256 −14+-16 -2 x1 = 2a = 2(5) = 10 = 10 = 0,2

-- --- −b−-√D- −-14-− √-256 −14− 16 −30 x2 = 2a = 2(5) = 10 = 10 = −3

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 5x+ 14 :$

Для $x1 = 0,2:$

y1 = 5⋅(0,2)+14= 1+ 14=15

Для $x2 = −3:$

y2 =5 ⋅(−3)+ 14= −15+14= −1

Таким образом, решениями системы являются пары $(0,2,15)$ и $(−3,−1).$

Ответ:

Решения системы: $(0,2, 15)$ и $(−3, −1).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#131417

Решите систему уравнений:

(| 1 {y = 3x |(y = 3√x

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

1x= 3√x 3

Умножим обе части уравнения на $3 :$

3⋅ 1x= 3⋅3√x ⇒ x= 9√x / /3

Возведем обе части в квадрат:

2 x = 81x

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение:

x2− 81x =0

Вынесем $x$ за скобки:

x(x− 81)=0

Это уравнение имеет два корня:

x = 0 1

x2 = 81

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 1x : 3$

Для $x1 = 0:$ $y1 = 1⋅(0)= 0 3$

Для $x2 = 81:$ $y2 = 1⋅(81)= 27 3$

Таким образом, решениями системы являются пары $(0,0)$ и $(81,27).$

Ответ:

Решения системы: $(0,0)$ и $(81,27).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#131418

Решите систему уравнений:

(| 1 {y =− 3x+ 3 |(y =− 1,5√x

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

− 1x+ 3= −1,5√x- 3

Умножим обе части уравнения на $− 2 :$

2x− 6= 3√x- 3

Пусть $√ - t= x,$ тогда $x =t2.$ Подставим в уравнение:

2 2 3t − 6= 3t

Умножим обе части на $3:$

2 2t− 18= 9t

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

2t2− 9t− 18= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D =b2− 4ac =(−9)2− 4(2)(−18)= 81 +144= 225

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

√-- √ --- t1 = −b-+-D = 9-+-225 = 9+15-= 24-= 6 2a 2(2) 4 4

−b− √D- 9− √225 9− 15 −6 t2 = --2a---= --2(2)--= --4--= -4-= −1,5

Так как $√- t= x,$ то $t≥ 0.$ Значит, $t2 = −1,5$ не подходит.

Вернемся к переменной $x:$

√ - t = x= 6

x =62 = 36

Теперь найдем соответствующее значение $y$ для $x= 36.$ Используем уравнение $y =− 13x+ 3:$

1 y =− 3 ⋅(36)+ 3= −12+ 3= −9

Проверим полученное решение $(36,−9):$

1 1 y = − 3x+3 =− 3 ⋅(36)+ 3= −12+ 3= −9

√ - √ -- y = −1,5 x= −1,5 36 =− 1,5⋅6= −9

Всё верно.

Таким образом, решение системы является пара $(36,− 9).$

Ответ:

Решения системы: $(36,− 9).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#131419

Решите систему уравнений:

(| y = 19− 5x { |( y = − 4 x

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

19− 5x= − 4 x

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x⁄= 0):$

19x − 5x2 = −4

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

5x2− 19x− 4= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

2 2 D =b − 4ac =(−19) − 4(5)(−4)= 361+ 80= 441

Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня:

-- −b+√-D- 19+√441- 19+21- 40- x1 = 2a = 2(5) = 10 = 10 = 4

-- --- −b−-√D- 19−-√441 19−-21 −2- x2 = 2a = 2(5) = 10 = 10 =− 0,2

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$ Используем уравнение $y = 19− 5x :$

Для $x1 = 4:$

y1 = 19− 5⋅(4)= 19 − 20= −1

Для $x2 = −0,2:$

y2 = 19− 5⋅(−0,2)= 19 +1= 20

Таким образом, решениями системы являются пары $(4,− 1)$ и $(−0,2,20).$

Ответ:

Решения системы: $(4, −1)$ и $(−0,2, 20).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#131420

Решите систему уравнений:

(| 2 8 { y = 7x+ 7 |( y = √x−-2+ 3

Источники: РЕШУ ЕГЭ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

2x+ 8 =√x-−-2+3 7 7

Перенесем все, кроме корня, в левую часть:

2 8 √---- 7x+ 7 − 3= x − 2

√---- 2x+ (8− 3)= x − 2 7 7 1

2x+ (8− 21)=√x-−-2 7 7 7

2x− 13= √x-− 2 7 7

Возведем обе части уравнения в квадрат:

( 2 13)2 √ ---- 7x− 7- = ( x− 2)2

4-x2− 52x+ 169-= x− 2 49 49 49

4x2− 52x− x+ 169+ 2= 0 49 49 49

-4 2 52⋅x 49⋅x 169 98 49x − ( 49 − 49 )+ (49 + 49)= 0

4 2 101 267 49x − 49 x + 49-=0

Умножим обе части уравнения на 49:

4x2− 101x+ 267 =0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

2 2 2 D =b − 4ac =(−101)− 4⋅(4)⋅(267)= 10201− 4272 =5929= 77

Найдем корни квадратного уравнения:

√-- x1 = −b+-D-= 101+-77= 178= 89= 22,25 2a 8 8 4

√-- x2 = −b−-D-= 101−-77= 24= 3 2a 8 8

Теперь необходимо проверить найденные корни.

Проверка корня $x= 3$ :

Подставим $x =3$ в исходное уравнение $2x − 13-= √x−-2: 7 7$

√---- 27(3)− 173= 3− 2

6− 13= √1 7 7

− 7 =1 7

−1= 1

Это неверно! Поэтому $x = 3$ не является решением

исходного уравнения $2x− 13= √x-− 2. 7 7$

Проверка корня $89 x= -4$ :

Подставим $89 x =-4$ в исходное уравнение $2 13 √---- 7x− 7-= x− 2:$

∘ ----- 2 89- 13 89 7 ⋅(4 )− 7 = 4 − 2

2 89 13 ∘ 89--- /7 ⋅(4)− -7 = 4-− 2 /2

∘------ 89-− 13⋅2= 89-− 8 7⋅2 7⋅2 4 4

∘--- 89− 26= 81- 14 14 4

63 9 14 = 2

9 9 2 = 2

Это верно! Поэтому $x= 89 4$ является решением.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для $x = 89: 4$

y = 2⋅ 89+ 8 = 89 + 16-= 105-= 15 7 4 7 14 14 14 2

Таким образом, решением системы является пара $(89 15) 4-,2-$

Ответ:

Решение системы: $(89,15) 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#131421

Решите систему уравнений:

({ y = x− 4 √- ( y = 3 x

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

x− 4= 3√x

Возведем обе части в квадрат:

(x− 4)2 = (3√x-)2

x2− 8x+16= 9x

x2− 17x +16= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D =b2− 4ac =(−17)2 − 4⋅(1)⋅(16)= 289− 64= 225

√ -- √--- D= 225= 15

Найдем корни квадратного уравнения:

√-- x1 = −b+-D-= 17+-15= 32 =16 2a 2 2

−b− √D- 17− 15 2 x2 =--2a---= --2---= 2 =1

Теперь найдем соответствующие значения $y :$

Для $x1 = 16:$

y1 = x1− 4= 16 − 4= 12

Для $x2 = 1:$

y2 = x2− 4= 1− 4= −3

Проверим корни: Подставим $x = 16$ и $y =12$ в исходные уравнения:

12= 16− 4→ 12= 12

12= 3√16→ 12= 3⋅4→ 12= 12

Подходит

Подставим $x =1$ и $y = −3$ в исходные уравнения:

−3 =1 − 4→ −3= −3

− 3= 3√1-→ −3 =3⋅1 → −3= 3

Неверно, значит, $x2 =1$ посторонний корень.

Решение системы $(16,12)$

Ответ:

Решение системы: $(16,12)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#131422

Решите систему уравнений:

(| x 4 |{y = 6 − 3 ||(y = 8 x

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

x− 4= 8 6 3 x

Умножим обе части на $6x$ (учитывая, что $x ⁄=0):$

x⋅/6⋅x − 4⋅/6⋅x= 8⋅x6/x /6 /3 /

x2− 8x =48

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

x2 − 8x− 48= 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D= b2− 4ac= (−8)2 − 4⋅(1)⋅(−48)= 64+192= 256

√ -- √--- D= 256= 16

Найдем корни квадратного уравнения:

√ -- x1 = −b+--D-= 8+-16-= 24= 12 2a 2 2

−b− √D- 8 − 16 − 8 x2 =---2a---= --2--= -2-= −4

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x.$

Используем уравнение $y = 8 : x$

Для $x1 = 12:$

8- 2 y1 = 12 = 3

Для $x2 = −4:$

8 y2 = −4-= −2

Ответ:

Решения системы: $(12,2) 3$ и $(− 4,−2).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#131423

Решите систему уравнений:

(| 2 |{y = − 5 ⋅|x− 3|+2 ||(y = 2x − 10 3 3

Показать ответ и решение

Поскольку обе части выражены через $y,$ приравняем правые части уравнений:

− 2 ⋅|x− 3|+ 2= 2x − 10 5 3 3

Перенесем все члены, кроме модуля, в правую часть:

2 2 10 −5 ⋅|x− 3|= 3x − 3-− 2

− 2 ⋅|x− 3|= 2x− (10 + 6) 5 3 3 3

− 2⋅|x − 3|= 2x− 16 5 3 3

Умножим обе части на $5 −2 :$

− /2⋅(− /5)⋅|x− 3|=⋅− 5⋅(2x− 16) /5 /2 2 3 3

5(2 16) |x− 3|= − 2 3x − 3

5 40 |x− 3|= − 3x+ 3-

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x− 3 ≥0 ⇒ x≥ 3$

В этом случае $|x− 3|=x − 3.$ Тогда уравнение принимает вид:

5 40 x− 3= −3x+ 3

x + 5x= 40+ 3 3 3

8 x= 49 3 3

49 x= 8 =6.125

Так как $49 x= 8 >3,$ это решение подходит. Теперь найдем $y :$

2 49 10 49 40 9 3 y = 3 ⋅8-− 3-= 12 − 12 =12 = 4 = 0.75

Таким образом, одно из решений системы: $( 49 3) 8 ,4$

Случай 2: $x− 3 <0 ⇒ x< 3$

В этом случае $|x− 3|=− (x − 3)= 3− x.$ Тогда уравнение принимает вид:

3− x= − 5x+ 40 3 3

−x+ 5x = 40-− 3 3 3

2 31 3 x= 3

31 x = 2-= 15.5

Так как $31 x= -2 >3,$ а мы рассматриваем случай $x< 3,$ это решение не подходит.

Заключение:

Система имеет только одно решение: $( ) 49,3 . 8 4$

Ответ:

Решение системы: $(49,3) 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#131424

Решите систему уравнений:

({y =4x 2 (y =x − x

Источники: Авторская, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Приравняем правые части уравнений:

4x= x2− x

Перенесем все члены в правую часть:

x2− x− 4x =0

x2− 5x= 0

Вынесем x за скобки:

x(x− 5)= 0

Найдем корни:

x1 = 0

x− 5= 0

x2 = 5

Найдем соответствующие значения $y :$

Для $x1 = 0:$

y1 = 4x1 = 4⋅(0)=0

Для $x2 = 5:$

y2 = 4x2 = 4⋅(5)= 20

Решения системы: $(0,0)$ и $(5,20)$

Ответ:

Решения системы: $(0,0)$ и $(5,20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#131425

Решите систему уравнений:

({ y = 2x 2 ( y = x − 3x

Источники: Авторская, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Приравняем правые части уравнений:

2x= x2− 3x

Перенесем все члены в правую часть:

x2 − 3x− 2x= 0

x2− 5x= 0

Вынесем x за скобки:

x(x− 5)= 0

Найдем корни:

x1 = 0

x− 5= 0

x2 = 5

Найдем соответствующие значения $y :$

Для $x1 = 0:$

y1 = 2x1 = 2⋅(0)=0

Для $x2 = 5:$

y2 = 2x2 = 2⋅(5)= 10

Решения системы: $(0,0)$ и $(5,10)$

Ответ:

Решения системы: $(0,0)$ и $(5,10)$

Предыдущая подтема