Тема Текстовые задачи

01 Движение → 01.01 Круговое движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Разделы подтемы Движение

Круговое движение

Сближение

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124266

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $16$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $32$ км/ч больше скорости другого?

Источники: Maximum Education, (см. maximumtest.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим скорость первого мотоциклиста как $v$ км/ч, а скорость второго мотоциклиста как $v+ 32$ км/ч.

Поскольку мотоциклисты стартуют из диаметрально противоположных точек, расстояние между ними в начале составляет половину длины трассы, то есть $16- 2 =8$ км.

Скорость сближения мотоциклистов равна: $(v+ 32)− v = 32 км/ч.$

Теперь найдем время, необходимое для того, чтобы они встретились: $Расстояние -8км-- 1 Время= Скорость = 32км/ч = 4$ часа или $15$ минут.

Ответ: 15 минут

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124269

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $10$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $90$ км/ч, и через $40$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Инфоурок, Движение по кругу (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Скорость первого автомобиля составляет $90$ км/ч. За $40$ минут (или $2 3$ часа) он проезжает $60$ км. Поскольку он опережает второй автомобиль на один круг ( $10$ км), это означает, что второй автомобиль проехал $50$ км за то же время.

Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$50км 3 Скорость второго автомобиля= 2∕3ч = 50× 2 = 75 км/ч.$

Таким образом, скорость второго автомобиля составляет $75$ км/ч.

Ответ: 75 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124270

Часы со стрелками показывают $8$ часов $00$ минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Источники: Инфоурок, Движение по кругу (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

За час минутная стрелка поворачивается на $360$ , а часовая на $360∘= 30∘. 12$ Тогда скорость, с которой минутная стрелка «догоняет» часовую равна $360− 30= 330$ градусов в час. В 8:00 минутная стрелка $\text{[math]}$ отстает $\text{[math]}$ от часовой на $∘ 240.$ Чтобы четырежды сравняться с часовой стрелкой, минутная должна сначала догнать ее, отставая на $∘ 240 ,$ а затем трижды догнать, отставая на $360$ (в каком-то смысле, когда стрелки сравнялись, минутная «отстает» от часовой на $∘ 360$ ),то есть должно пройти

240+ 360⋅3 1320 ---330--- = 330-=4ч= 240мин.

Ответ: 240 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124272

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $19$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $15$ км/ч больше скорости другого?

Источники: ЕГЭmaximum, движение по окружности (см. egemaximum.ru)

Показать ответ и решение

Так как скорость одного из мотоциклистов на 15 км/ч больше, чем у другого, и они находятся в диаметрально противоположных точках окружности, то их скорость сближения 15 км/ч. При этом расстояние между ними $19 2 = 9,5$ км. Значит, они встретятся через $9,5 38- 15 = 60$ ч или $38$ минут.

Ответ: 38 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124273

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $25$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $112$ км/ч, и через $25$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Источники: ЕГЭmaximum, движение по окружности (см. egemaximum.ru)

Показать ответ и решение

$25$ минут это $5- 12$ часа. Значит за $25$ минут первый автомобиль проедет $112⋅-5= 28⋅5 = 140 12 3 3$ км, что на один круг( $25$ км), больше, чем проедет второй автомобиль, значит скорость второго автомобиля равна $140- 5- 140−75 12 65⋅12 ( 3 − 25):12 = 3 ⋅ 5 = 3⋅5 = 52$ км/ч.

Ответ: 52 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124274

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через $40$ минут следом за ним отправился мотоциклист. Через $8$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через $36$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна $30$ км. Ответ дайте в км/ч.

Источники: ЕГЭmaximum, движение по окружности (см. egemaximum.ru)

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста это $V.$ Так как по условию мотоциклист, выехав через $40$ минут после велосипедиста, догнал его за $8$ минут, то можно сказать, что велосипедист за $48$ минут и мотоциклист за $8$ минут проехали одинаковое расстояние, следовательно, скорость мотоциклиста в $48- 8 =6$ раз больше скорости велосипедиста и скорость велосипедиста равна $6V.$ Так же мы знаем, что после этого мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз через $36$ минут, значит за это время мотоциклист проехал больше велосипедиста на один круг, то есть на $30$ км, из чего мы можем составить уравнение:

$V ⋅36+ 30 =6V ⋅36$

$6V + 5= 36V$

$30V = 5$

$5 1 V = 30 = 6$ км/мин, так как до этого скорость мы исчисляли в минутах, но нас просят дать ответ в км/ч, поэтому умножим результат на $60$ (количество минут в одном часе): $1⋅660= 10$ км/ч. Но как мы выяснили ранее скорость мотоциклиста в $6$ раз больше скорости велосипедиста, следовательно искомое число $10⋅6= 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124276

Петя и Вася одновременно побежали по кругу. Когда Петя обогнал Васю в третий раз, Вася пробежал ровно $6$ кругов. Во сколько раз скорость Пети больше скорости Васи, если они бегут с постоянными скоростями?

Источники: Малый мехмат МГУ, (см. Задачи на движение mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

Каждый раз когда Петя обгонял Васю, Петя пробегал на один круг больше, чем Вася, от их предыдущей встречи. Это значит, что когда Петя в третий раз обогнал Васю, Петя пробежал на $3$ круга больше Васи, а так как Вася за это время пробежал $6$ кругов, то Петя пробежал $9$ кругов. Так как за одно и то время Петя пробежал $9$ кругов,а Вася — $6,$ то скорость Пети в $9 6 = 1,5$ раза больше скорости Васи.

Ответ: в 1,5 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124277

Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав $4,5$ круга после старта, а за $0,5$ ч до этого он впервые догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через $3$ ч после старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

l Пусть $V , V , V 1 2 3$ кругов в час скорости мотоциклистов соответственно. Так как первый догнал второго, сделав $4,5$ круга и их скорость сближения $V1− V2$ , при этом первый обогнал второго на $1$ круг, то имеем:

$--1-- 4,5 V1−V2 = V1$

Аналогично предыдущему, имеем из того, что первый догнал третьего:

$--1-- 4,5 1 V1−V3 = V1 − 2$

Аналогично, когда второй догнал третьего:

$--1-- V2−V3 =3$

Это все выполняется одновременно, поэтому решим систему:

( 1 4,5 ||{ 1V1−V24 =,5 V11 || V1−V3 = V1 − 2 ( V2−1V3-=3

( ||{ V1 = 4,5(V1 − V2V1) || V11−V3 = 4,5−V12 ( 1= 3(V2 − V3)

( |{ 4,5V2 = 3,5V1 |( V1 = (V1 − V3)(4,5− V21) 3V3+ 1= 3V2

( ||{ V2 = 34,5,5V1 | V1 = 4,5V1− V212 − 4,5V3+ V1V23 |( V3 = V2− 13

( ||{ 2 V2 = 79V1 | V21− 3,5V1− V12V3+ 4,5V3 = 0 |( V3 = 79V1− 13

( |{ V2 = 79V1 | V12− 7V1− V1V3+9V3 = 0 ( V3 = 79V1− 13

( ||{ V2 = 79V1 || V21 − 7V1− V1(97V1 − 13)+9(79V1− 13)= 0 ( V3 = 79V1 − 13

V12− 7V1− 7V21 + V1 +7V1− 3= 0 9 3

2V12+3V1− 27= 0

$√---- V1 = −3±-49+216= −3±415$

Очевидно, что нам подойдет только положительный корень, а он равен $−3+415-= 124 =3,$ из чего получаем, что первый делал $3$ круга в час.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124278

Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые $3$ ч. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые $20$ мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Пусть длина кольцевой дороги $S$ км, скорость первого автомобилиста равна $V , 1$ а скорость второго — $V . 2$ Тогда из условия можно сказать, что

$--S- S- V1 +V2 = 20мин = 13ч = 3S$ км/ч.

$V1 − V2 = S3$ км/ч.

Сложим два этих уравнения:

$2V1 =3S+ S3$

$2V1 = 103S$

$V1 = 5S3-= S35-$

Это значит, что первый автомобиль проедет круг за $35$ часа, то есть за $36$ минут. Теперь найдем скорость второго автомобиля, для этого подставим скорость первого автомобиля во второе уравнение:

$V1 − V2 = S3$ км/ч.

$5S-− V2 = S 3 3$ км/ч.

$5S-− S= V2 3 3$

$V2 = 5S−S- 3$

$V2 = 4S-= S3- 3 4$

Это значит, что второй автомобиль проедет круг за $3 4$ часа, то есть за $45$ минут.

Ответ: За 36 и 45 минут.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124279

Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторону. Первое тело проходит окружность на $3$ с быстрее второго и догоняет второе тело каждые полторы минуты. За какое время каждое тело проходит окружность?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $t 1$ — время движения первого тела, затрачиваемое на один оборот, а $t 2$ — второго тела. $V 1$ — скорость движения первого тела, $V 2$ — скорость движения второго тела.

Так как длина дуги для обоих тел одинакова, справедливо равенство $V1⋅t1 =V2 ⋅t2,$ отсюда имеем $t2- V1 = V2 ⋅t1.$

За $90$ секунд первое тело делает полный оборот и дополнительно проходит такое расстояние, которое за это же время прошло второе тело:

$V1 ⋅90 =V1⋅t1+V2 ⋅90.$

Подставив $V1$ получаем $t2- t2 (V2⋅ t1)⋅90= (V2⋅t1)⋅t1+ V2⋅90,$

Сократив обе части на $V2$ получим $t2 90⋅t1 = t2 +90,$

Что равносильно $90⋅t2 = t1⋅t2+ 90⋅t1.$

По условию $t2 =t1+ 3.$ Следовательно $90⋅(t1+ 3)= t1⋅(t1 +3)+ 90 ⋅t1.$

$90t1+ 270= t21+3t1+ 90t1$

$270= t21+3t1$

$t21+ 3t1− 270= 0$

По теореме Виета:

$t1 = −18$ или $t1 =15$

Первый вариант невозможен, значит $t1 =15,$ а $t2 = 18.$

Ответ: 15 и 18 секунд.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124287

Две точки А и В начинают одновременно сближаться по меньшей дуге окружности, равной $150$ м, и встречаются через $10$ с. Если же точки начнут двигаться по большей дуге, то они встретятся через $14$ с. Найдите длину окружности и скорости движения точек, если точка А может пройти всю окружность за время, за которое точка В пройдет $90$ м.

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Точки проходят $150$ м за $10$ с, значит, их скорость сближения $150= 15 10$ м/с. Из этого следует, что если большую дугу они проходят за $14$ с, то длина большей дуги $14⋅15= 210$ м, а значит длина всей окружности $150+ 210 =360$ м. Если точка А проходит 360м за то же время, что точка В проходит 90м, то скорость точки А в $360 90 = 4$ раза больше, чем скорость точки В, тогда можно сказать, что если скорость В = $v,$ то скорость А будет $4v,$ тогда из условия:

$v+4v = 15$

$5v =15$

$v = 3$ м/с — скорость точки В, значит скорость точки А — $12$ м/с.

Ответ:

$v =3$ м/с — скорость точки В, скорость точки А — $12$ м/с.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124289

Допуская, что стрелки часов движутся без скачков, определите, через какое время после того, как часы показывали $4$ ч, минутная стрелка догонит часовую.

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $V 1$ — скорость минутной стрелки(один круг в час), $V 2$ — скорость часовой стрелки( $1- 12$ круга в час). Изначально расстояние между стрелками $4- 1 12 = 3$ круга. Следовательно время, через которое стрелки встретятся равно:

$1 1 12 4 1−3112-= 31112 = 11⋅3 =11$ часа.

Ответ:

$-4 11$ часа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124292

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $15$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $100$ км/ч, скорость второго равна $55$ км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на один круг?

Источники: NeoFamily, Движение по окружности (см. neofamily.ru)

Показать ответ и решение

Пусть пройдет $x$ часов с момента старта автомобилей, тогда имеем уравнение:

$55 ⋅x +15= 100⋅x$

$11x+ 3= 20x$

$9x =3$

$1 x= 3$ часа или $20$ минут.

Ответ: Через 20 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124294

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $5$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $5$ км/ч больше скорости другого?

Источники: NeoFamily, Движение по окружности (см. neofamily.ru)

Показать ответ и решение

Решение

Так как скорость одного из мотоциклистов на $5$ км/ч больше, чем скорость другого, то это и будет их скоростью сближения. Так как длина трассы $5$ км, а мотоциклисты изначально находятся в диаметрально противоположных точках друг от друга, то расстояние между ними равно $2,5$ км. Это значит, что мотоциклисты встретятся через $2,55 = 0,5$ часа или $30$ минут.

Ответ: Через 30 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124304

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $4$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $60$ км/ч, и через $10$ минут после старта он отставал от второго автомобиля на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Источники: NeoFamily, Движение по окружности (см. neofamily.ru)

Показать ответ и решение

Первый автомобиль за $10$ минут( $1 6$ часа) проедет $60⋅ 1 =10 6$ км. По условию за это время второй автомобиль проедет на круг больше, то есть на 4 км больше, то есть он проедет $14$ км за $10$ минут, следовательно за час второй автомобиль проедет $14 ⋅6 =84$ км, следовательно его скорость $84$ км/ч.

Ответ: 84 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124305

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $14$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $21$ км/ч больше скорости другого?

Источники: Решу ЕГЭ, движение по окружности (см. ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Так как длина трассы $14$ км, а мотоциклисты находятся в диаметрально противоположных точках, то расстояние между ними $7$ км. Так как скорость одного мотоциклиста на $21$ км/ч больше другого, то это и является их скоростью сближения. Значит, мотоциклисты поравняются через $7- 1 21 = 3$ часа или $20$ минут.

Ответ: Через 20 минут

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124306

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $28$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $35$ км/ч больше скорости другого?

Источники: Лицей Ростелеком, Движение по окружности(см. lc.rt.ru)

Показать ответ и решение

Так как длина трассы $28$ км, а мотоциклисты находятся в диаметрально противоположных точках, то расстояние между ними $14$ км. Так как скорость одного мотоциклиста на $35$ км/ч больше другого, то это и является их скоростью сближения. Значит, мотоциклисты поравняются через $14 2 35 = 5$ часа или $24$ минуты.

Ответ: Через 24 минуты

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124307

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $30$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $98$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Лицей Ростелеком, Движение по окружности(см. lc.rt.ru)

Показать ответ и решение

Первый автомобиль проехал $98⋅ 3= 73,5 4$ км за $45$ минут. Это расстояние на $30$ км больше, чем проехал второй автомобиль за это же время, то есть второй автомобиль проехал $43,5$ км за $45$ минут, следовательно его скорость $43,5- 34 = 58$ км/ч.

Ответ: 58 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#124309

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через $30$ минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через $10$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через $30$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна $30$ км. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Моя Альфа Школа, Движение по окружности (см. myalfaschool.ru)

Показать ответ и решение

Первый раз после старта мотоциклист догнал велосипедиста за $10$ минут, при этом в момент встречи велосипедист уже ехал $40$ минут, это значит, что то расстояние которое велосипедист проезжает за $40$ минут, мотоциклист проедет за $10,$ следовательно, скорость мотоциклиста в $4$ раза больше скорости велосипедиста. Далее из условия мы знаем, что за $30$ минут мотоциклист проезжает на один круг больше велосипедиста, при этом один круг равен $30$ км, выразим скорость мотоциклиста через скорость велосипедиста( $V$ — скорость велосипедиста, $4V$ — скорость мотоциклиста), и составим уравнение:

$V ⋅30мин+30км =4V ⋅30мин$

$30V +30 =120V$

$V + 1= 4V$

$3V = 1$

$V = 13$ км/мин $= 20$ км/ч

Мы получили скорость велосипедиста, а скорость мотоциклиста в $4$ раза больше значит скорость мотоциклиста равна $80$ км/ч.

Ответ: 80 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124310

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $22$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $20$ км/ч больше скорости другого?

Источники: Инфоурок, Движение по кругу (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Так как длина трассы $22$ км, а мотоциклисты находятся в диаметрально противоположных точках, то расстояние между ними $11$ км. Так как скорость одного мотоциклиста на $20$ км/ч больше другого, то это и является их скоростью сближения. Значит, мотоциклисты поравняются через $11 20$ часа или $33$ минуты.

Ответ: Через 33 минуты

Следующая подтема