Тема Текстовые задачи

04 Квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#136434

Одно число больше другого на $22,$ а их произведение равно $− 120.$ Найдите эти числа.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — меньшее из двух чисел, тогда большее из них равно $x+ 22.$ Так как произведение чисел равно $− 120,$ составим уравнение:

x(x+22)= −120;

2 x +22x+ 120 =0;

⌊ x= −10, ⌈ x= −12.

Таким образом, искомые числа равны $− 10$ и $12$ или $− 12$ и $10.$

Ответ: -10 и 12 или -12 и 10.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#136444

Разложите число $11$ на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было равно $30.$

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,$ $y$ — искомые числа. Составим систему уравнений по данным задачи:

({ x +y = 11, (xy =30.

( { x= 11− y, ( (11− y)y = 30.

( { x= 11− y, ( y2− 11y+ 30= 0.

( |||x =11− y, {⌊y =5; |||(⌈ y =6,

⌊({ || x= 5, ||( y = 6; |||({ x= 6, ⌈( y = 5

Таким образом, найденные числа — $5$ и $6.$

Ответ: 5 и 6.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#136445

Разложите число $20$ на два множителя так, чтобы сумма этих множителей была равна $9.$

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a,$ $20 a$ — искомые множители. Так как их сумма равна $9,$ составим уравнение:

20 a + a =9;

a2+ 20 --a---= 9;

a2− 9a+ 20 =0;

⌊ ⌈a= 4, a= 5.

Таким образом, найденные числа — $4$ и $5.$

Ответ: 4 и 5.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#136446

Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно $156.$

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a,$ $a+ 1$ — искомые числа. Так как произведение этих чисел равно $156,$ составим уравнение:

a(a+1)= 156;

2 a + a− 156 =0;

⌊ a= −13, ⌈ a =12.

Таким образом, искомые числа — $12$ и $13.$

Ответ: 12 и 13.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#136447

Одно из натуральных чисел на $8$ больше второго, произведение этих чисел равно $273.$ Найдите эти числа.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $y,$ $y+ 8$ — искомые числа. Так как произведение этих чисел равно $273,$ составим уравнение:

y(y+8)= 273;

2 y + 8y − 273= 0;

⌊ y =13, ⌈ y = −21.

Таким образом, искомые числа равны $13$ и $21.$

Ответ: 13 и 21.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#136575

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых вдвое больше другого, равно $98.$ Найдите эти числа.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,$ $2x$ — искомые числа. Так как их произведение равно $98,$ составим уравнение:

x ⋅2x =98;

2 x =49;

x= ±7.

Таким образом, искомые числа — $7$ и $14.$

Ответ: 7 и 14.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#136576

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых втрое больше другого, равно $192.$ Найдите эти числа.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,$ $3x$ — искомые числа. Так как их произведение равно $192,$ составим уравнение:

x⋅3x= 192;

2 x =64;

x= ±8.

Таким образом, искомые числа — $8$ и $24.$

Ответ: 8 и 24.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#136581

Сумма двух натуральных чисел равна $19,$ а сумма квадратов этих чисел равна $185.$ Найдите эти числа.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a,$ $19− a$ — искомые числа. Так как сумма квадратов этих чисел равна $185,$ составим уравнение:

2 2 a + (19− a)= 185;

2 2a − 38a +361= 185;

a2− 19a+ 88= 0;

⌊ a =11, ⌈ a= 8.

Таким образом, искомые числа — $8$ и $11.$

Ответ: 8 и 11.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#136583

Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна $1130.$ Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на $2$ больше первой.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — первая цифра задуманного числа, тогда $a+ 2$ — вторая цифра задуманного числа.

Запишем задуманное число как $10a +(a+ 2),$ тогда при перестановке цифр этого числа получаем число $10(a +2)+ a.$

Так как сумма квадратов полученного числа и задуманного числа равна $1130,$ получаем уравнение:

2 2 (10a +(a+ 2)) + (10(a +2)+ a)= 1130;

2 2 2 2 100a +20a(a+2)+ (a +2) + 100(a+2) + 20a(a+ 2)+ a = 1130;

100a2 +20a2+40a+ a2+4a +4+ 100a2+ 400a +400+ 20a2+ 40a+a2 = 1130;

242a2+ 484a+ 404= 1130;

a2+2a− 3= 0;

⌊ ⌈ a= 1, a= −3,

Таким образом, искомое число — $13.$

Ответ: 13.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#136584

Катер прошёл по течению реки $80$ км, повернув обратно, он прошёл ещё $60$ км, затратив на весь путь $10$ часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна $5$ км/ч.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость лодки $x$ км/ч $(x> 5),$ тогда против течения она шла со скоростью $x− 5$ км/ч, а по течению — со скоростью $x +5.$

Составим таблицу по данным задачи.


	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км

Против течения	$x − 5$	$--60- x − 5$	$60$


По течению	$x +5$	$80 x-+5$	$80$

Так на весь путь катер затратил $10$ часа, получаем:

80 60 x-+5 + x− 5-= 10;

80(x−-5)+-60(x-+5)−-10(x−-5)(x+-5) =0; x2− 25

2 80x− 400+ 60x+300− 10x +250= 0;

2 x − 14x+ 15= 0.

откуда $x1 = 15,$ $x2 = −1.$

Условию задачи удовлетворяет $x1 =15.$

Ответ: 15.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#136586

Путь длиной $76$ км первый велосипедист проезжает на $50$ минут быстрее второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на $5$ км/ч меньше скорости первого.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста, $x> 0.$

Составим таблицу по данным задачи:


	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км

Первый велосипедист	$x+ 5$	$-76- x+ 5$	$76$


Второй велосипедист	$x$	$76 x$	$76$

Так как первый велосипедист проезжает расстояние на $50$ минут быстрее, составим уравнение:

76 76 x-− x+-5 =5∕6;

456x+2280− 456x =5x2+ 25;

x2+ 5x − 456= 0;

⌊x =19, ⌈ x= −24.

Условию задачи удовлетворяет $x = 19.$

Ответ: 19 км/ч.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#136587

Моторная лодка прошла против течения реки $308$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $3$ часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $3$ км/ч.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость лодки $x$ км/ч $(x> 3),$ тогда против течения она шла со скоростью $x− 3$ км/ч, а по течению — со скоростью $x +3$ км/ч.

Составим таблицу по данным задачи.


	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км

Против течения	$x − 3$	$-308 x − 3$	$308$


По течению	$x +3$	$308 x-+3$	$308$

Так на обратный путь лодка затратила на $3$ часа меньше, получаем:

3x0−83 − x30+83 = 3;

308x+ 924− 308x+924= 3x2− 27;

x2 = 625;

x =±25.

Условию задачи удовлетворяет $x = 25.$

Ответ: 25.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#136592

Мотоциклист выехал из пункта $A$ в пункт $B.$ Проехав весь путь с постоянной скоростью, он отправился обратно со скоростью больше прежней на $9$ км/ч. Проехав половину обратного пути, он уменьшил скорость до $30$ км/ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость мотоциклиста на пути из $A$ в $B.$

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть весь путь составляет $2S$ км, а скорость мотоциклиста на пути из А в В $v$ км/ч, тогда первую половину обратного пути мотоциклист ехал со скоростью $(v+ 9)$ км/ч.

Получаем уравнение:

2s s s -v =v-+9 + 30;

60v+540= 30v+v2+ 9v;

v2 − 21v− 540= 0;

⌊ ⌈ v =36, v = −15.

Условию задачи удовлетворяет корень $v = 36.$

Ответ: 36 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#136594

Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $30$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на $9$ км/ч, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $2S$ — расстояние между $A$ и $B,$ $x$ км/ч — скорость первого автомобилиста, Тогда $x+ 9$ км/ч — скорость второго автомобилиста на второй половине пути.

Составим таблицу по данным задачи:


	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км

Первый автомобилист	$x$	$2S x$	$2S$


Второй (первая половина)	$30$	$S- 30$	$S$


Второй (вторая половина)	$x+ 9$	$-S-- x+ 9$	$x+ 9$

Время, за которое оба автомобилиста проехали весь путь от $A$ до $B$ одинаково, следовательно, можно составить уравнение:

2S = S-+ -S--; x 30 x+ 9

2 x +9+ 30 x =-30(x+-9) ;

x2 − 21x− 540 =0;

⌊ ⌈ x =36, x= −15.

По условию задачи удовлетворяет $x= 36.$

Ответ: 36 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#136595

Два велосипедиста одновременно отправляются в $100$ -километровый пробег. Первый едет со скоростью на $15$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на $6$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $v$ км/ч, тогда скорость первого велосипедиста равна $(v+ 15)$ км/ч.

Получаем уравнение:

100 100 -v-= v+-15 + 6;

100v+ 1500= 100v+ 6v2 +90v;

v2 +15v− 250= 0;

⌊v = −25, ⌈ v =10.

Условию задачи удовлетворяет корень $v = 10.$

Ответ: 10 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#136613

Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми $780$ км, выехал первый автомобиль. Через $2$ часа вслед за ним из пункта $A$ выехал второй автомобиль со скоростью на $13$ км/ч больше скорости первого. Найдите скорость второго автомобиля, если он прибыл в пункт $B$ одновременно с первым.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $v$ км/ч, тогда скорость первого автомобиля $(v− 13)$ км/ч.

Получаем уравнение:

780 780 v−-13 −-v-= 2;

780v− 780v+ 10140= 2v2− 26v;

v2− 13v − 5070= 0;

⌊v =78, ⌈ v = −65.

Условию задачи удовлетворяет корень $v = 78.$

Ответ: 78 км/ч.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#136614

Первый насос каждую минуту перекачивает на $14$ литров воды больше, чем второй. Найдите, сколько литров воды за минуту перекачивает второй насос, если резервуар объёмом $189$ л он наполняет на $2$ минуты дольше, чем первый насос наполняет резервуар объёмом $245$ л.

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть второй насос за $1$ минуту перекачивает $x$ л воды, тогда первый насос за $1$ минуту перекачивает $(x +14)$ л.

Составим таблицу по данным задачи:


	Производительность, л/мин	Время, мин	Объем работ, л

Первая труба	$x+ 14$	$-245-- x+14$	$245$


Вторая труба	$x$	$189- x$	$189$

Получаем уравнение:

189 245 -x-− x+-14 = 2;

189x+ 2646 − 245x= 2x2 +28x;

x2+ 42x − 1323= 0;

откуда $x1 = 21,$ $x2 = −63.$

Условию задачи удовлетворяет корень $x= 21.$

Ответ: 21 л/мин.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#136646

Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью $420м2.$ Первый каменщик в день укладывает на $2 7м$ плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на $5$ дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик?

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый каменщик укладывает плиткой в день участок мостовой площадью $xм2.$ Тогда второй каменщик укладывает в день $2 (x− 7)м .$

Получаем уравнение:

420 420 x-− 7 − x-=5;

420x− 420x +2940= 5x2 − 35x;

x2− 7x − 588= 0;

⌊ ⌈ x =28, x= −21.

Условию задачи удовлетворяет корень $x= 28.$

Ответ:

$28м2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#136649

Первый рабочий за час делает на $11$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $66$ деталей, на $3$ часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть второй рабочий делает за час $x$ деталей, тогда первый рабочий делает за час $(x +11)$ деталей.

Получаем уравнение:

66 66 -x = x+-11-+3;

66x+726= 66x+ 3x2+ 33x;

x2 +11x− 242 =0;

⌊x =11, ⌈ x= −22.

Условию задачи удовлетворяет корень $x= 11.$

Ответ: 11 деталей в час.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#136650

Двое рабочих одновременно начали выполнять два одинаковых заказа, состоящих из одинакового количества деталей. Первый рабочий выполнял весь заказ равномерно, изготавливая определённое число деталей в день. Второй сначала изготавливал на $11$ деталей в день меньше, чем делал первый рабочий, а когда выполнил половину заказа, то стал делать по $66$ деталей в день, в результате чего закончил работу одновременно с первым. Какое количество деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше $40?$

Источники: РЕШУ ВПР, 8 класс (см. math8-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть весь заказ составляет $2A$ деталей, а производительность первого рабочего $x$ деталей в день, тогда, выполняя первую половину заказа, второй рабочий делал по $(x− 11)$ деталей в день.

Получаем уравнение:

2A A A x-= x-− 11 + 66;

132x− 1452 =66x+ x2− 11x;

x2− 77x +1452= 0;

откуда $x =44,$ $x= 33.$

Условию задачи удовлетворяет корень $x= 44.$

Ответ: 44 детали в день.