Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .11 ДВИ 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31472

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: $x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ ) 4 4 2 2$ . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1-- ---1- ----1--- ---1---- ---4--- ---3--- log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим $log2x$ на $t$ и получим дробно-рациональное неравенство:

2 2 --4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔ 1 +t 2+ t (t+ 1)(t+2) (t+1)(t+ 2) (t+1)(t+2)

(t− 1)(t+3) ⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔ t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

1 1 1 1 1 1 log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔ x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ ) 8 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32702

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение – тут сумма двух очень похожих друг на друга логарифмов, при этом требуется ровно одно решение – это может навести на мысль использовать соображения симметрии

Подсказка 2

Выражение симметрично относительно замены х на -х! Значит, нечетное число корней (в частности, один корень) может быть только в том случае, когда х = 0 – решение, таким образом Вы можете найти те значениях а, при которых это условие выполняется, остается только проверить: правда ли при конкретной ашке корень будет только один

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 log2(a + 2a− 1)+ log2(a +2a− 1)=2

2 a + 2a − 1= 2

a= 1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log2−x(2+ x)$ мы получаем уравнение $t+ 1t = 2$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0.$ Заметим, что $x= 0,$ не противоречит ОДЗ уравнения. Действительно, при подстановке получаем $2− 0 =2$ и $2+ 0= 2,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34204

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

22 2 2 ( 2 2) 2x y +x y+ xy +(1− a)x + y − a(x+ y+2)= 0

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$ ).

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (y₀, x₀) — тоже решение! С учётом этого, что можно сказать о количестве решений? В каком единственном случае их может быть нечётное количество?

Подсказка 3

Получается, необходимо, чтобы выполнялось равенство х = у. Подставьте это в исходное уравнение и решите получившееся уравнение относительно х. Каким должно быть а, чтобы это решение было единственным?

Подсказка 4

Пока что мы не можем говорить, что при найденных значениях параметра а исходное уравнение тоже имеет единственное решение. Стоит подставить и проверить это!

Подсказка 5

Попробуйте разбить на слагаемые выражение так, чтобы каждое из них точно было неотрицательным! Тогда мы с лёгкостью сможем определить решения.

Показать ответ и решение

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)$ . Тогда $( 4 3 2 ) 2 x + x +(1− a)x − a(x+1) = 0$ , то есть $2 2 2 2 x (x − a)+ x(x − a)+ x − a =0$ , откуда

( 2 )( 2 ) x − a x + x+ 1 = 0.

Если $a> 0$ , то $x= ±√a$ , так что решений больше одного. При $a< 0$ решенений нет, поскольку вторая скобка всегда положительна. Чтобы решение было единственным, необходимо $a =0$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

2 2 2 2 2 2 2x y + xy +xy + x +y = 0.

Левая часть равна $x2(y2 +y+ 1)+ y2 (x2+ x+ 1)$ . Каждое из слагаемых неотрицательно и строго больше нуля при ненулевых переменных, стало быть, решение имеет вид $x= y = 0$ и оно, действительно, единственное.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49757

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно. Точки $B,C,E,D$ лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$ , если известно, что $∠CDE =∠BAC$ и что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ , равен $1.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам не дано никаких длин сторон, что явно намекает на необходимость использовать подобия и(или) теорему синусов! Значит, будем в первую очередь работать с углами: какие равенства можно вывести из вписанности четырёхугольника СEDB? Отметьте углы, опирающиеся на одну дугу.

Подсказка 2

Подобными △ABC и △ADC, похоже, не являются. Значит, будем искать связь для теоремы синусов! Удобно взять их общую сторону АС и попытаться установить связь между синусами ∠ADC и ∠ABC.

Подсказка 3

Работая с равенствами и суммой углов треугольника, можно сделать вывод о том, что ∠ABC = 180° - ∠ADC. Тогда что мы можем сказать об их синусах?) Осталось применить теорему синусов и записать ответ!

Показать ответ и решение

Из условия и из равенства вписанных углов получаем

∘ ∠ABC = ∠DBE + ∠CBE = ∠DCE + ∠CDE = ∠DCE + ∠DAC = 180 − ∠ADC.

Стало быть, $sin ∠ABC = sin(180∘− ∠ADC) =sin∠ADC$ , откуда видим, что радиусы окружностей, описанных около $ΔABC$ и $ΔADC$ , равны по теореме синусов.

$PIC$

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63660

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ , пересекает сторону $BC$ в точке $E$ , а диагональ $AC$ – в точке $F$ . Найдите площадь четырёхугольника $ABEF$ , если $BE = 8,EC = 4$ , а точки $D,F,E$ лежат на одной прямой.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поскольку ABEF не является какой-нибудь "удобной" фигурой, её площадь удобнее всего искать как разность площадей знакомых нам фигур: например, △ABC и △CFE. Для этого нам понадобятся ещё длины сторон. Будем их искать!

Подсказка 2

Какие свойства вписанного четырёхугольника вы помните? Сделайте вывод об ∠АFE, пользуясь вписанностью ABEF. Отметьте всевозможные равные углы и обратите внимание на прямоугольные треугольники в нашей конструкции — что можно про них сказать?

Подсказка 3

Поработайте с подобием прямоугольных треугольников: зная отношение катетов и гипотенузу, длина которой дана в условии, Вы можете отыскать и сами эти катеты (Пифагор в помощь!). Останется лишь дважды применить формулу площади прямоугольного треугольника и задача убита!

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку четырёхугольник $ABEF$ вписан в окружность, угол $∠AFE$ прямой. Следовательно, треугольники $ECF$ , $CDF$ , $DAF$ подобны. Поскольку $CE = 4$ , $AD =12$ , то $3EF = DF$ . Из подобия $2 2 (CF) = EF ⋅DF = 3(EF)$ , откуда $√ - CF = 3EF$ . По теореме Пифагора для $ΔEF C$ , $EF =2$ , откуда $√ - CF =2 3$ и из теоремы Пифагора для $ΔCF D$ получаем $√ - CD = 4 3$ . Стало быть, площадь $√ - SABC = 24 3.$ Далее, из того же подобия следует, что $AF = 3CF$ . Стало быть, $1 1 SFEC = 3 ⋅4 ⋅SABC =$ $√- 2 3.$ Тогда площадь четырёхугольника $ABEF$ равна $√ - √ - √ - 24 3− 2 3= 22 3$ .

Ответ:

$√- 22 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63661

Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите одну из диагоналей трапеции и среднюю линию. Будем работать с треугольником образованным диагональю трапеции, боковой стороной имеющей с этой диагональю общую вершину и одним из оснований: чем является часть средней линии трапеции заключенная внутри этого треугольника?

Подсказка 2

Мы знаем, что средняя линия треугольника составляет известную часть от средней линии трапеции (а значит, нам известно, в каком отношении делятся средние линии треугольников, на которые рассматриваемая нами диагональ делит трапецию), и она же равна половине основания. Длина средней линии трапеции также выражается через длины оснований — запишите соответствующее уравнение и сделайте вывод об отношении оснований трапеции! Теперь, зная ещё их произведение, Вы можете найти длины оснований трапеции.

Подсказка 3

Длины оснований мы знаем, но не хватает боковых сторон... Но не зря же нам сказано о существовании вписанной в эту трапецию окружности. Вспомните, какой факт нужно использовать, чтобы определить сумму боковых сторон. Теперь мы знаем всё, что нужно для нахождения периметра!

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим одну из диагоналей. Она делит трапецию на два треугольника, средние линии которых относятся как 2:1. Стало быть, одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Поскольку их произведение равно 18, эти основания равны 6 и 3. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть периметр равен $2⋅(6+ 3) =18.$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63813

Дана треугольная призма $ABCA ′B ′C′$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $AA′,BB′,CC ′$ . На диагоналях $AB′,BC′,CA ′$ отмечены точки $D,E,F$ соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость $DEF$ делит отрезок $′ AA$ , если $′ ′ AD :DB =1 :1,BE :EC = 1:2$ , $′ CF :FA =1 :3.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо как-то разобраться с плоскостью DEF и отрезком AA'. Для этого можно, например, отыскать какую-нибудь плоскость, в которой будут две точки нашей плоскости DEF и отрезок AA'. Потенциально это могут быть плоскости ABB'A' и ACC'A', в которых есть по одной точке из плоскости DEF. Как бы нам найти еще какую-нибудь точку?

Подсказка 2

Грани нашей призмы являются параллелограммами, поэтому D- не только середина AB', но и A'B. Стало быть точка D лежит еще и в плоскости BA'C', в которой лежит еще и точка E. Тогда если провести прямую ED, она пересечет луч C'A' в какой-то точке P. Ураааа! Вторая точка найдена. Осталось только понять в каком отношении FP делит A'A. Для начала поймите, как относятся PA' и A'C'...

Подсказка 3

С помощью теоремы Менелая вы легко убедились, что PA'=A'C'. У нас осталась совсем простая задачка: В параллелограмме ACA'P точка F делит A'C в отношении 3:1, а нужно найти как PF делит AA'.

Подсказка 4

Если вы еще не решили ее, то советую продлить отрезок PF до пересечения с AC в точке Q и посмотреть, как относятся PA' и AQ.

Показать ответ и решение

Точки $D$ и $F$ лежат в плоскости $BCA ′$ . Обозначим через $G$ точку пересечения прямой $DF$ с прямой $BC$ .

$PIC$

Из того, что $AD :DB ′ =1 :1,CF :FA ′= 1:3$ , следует, что $GC = 12BC$ . Обозначим через $H$ точку пересечения прямой $GE$ с прямой $CC ′$ . Из того, что $GC = 12BC$ и $BE :EC ′ = 1:2$ , следует, что $CH = 17CC ′$ . Обозначая через $K$ точку пересечения прямой $HF$ с прямой $AA′$ , получаем $KA ′ = 37AA′$ . Стало быть, $A ′K :KA = 3:4.$

Ответ:

$3 :4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63817

В основании четырёхугольной пирамиды $ABCDS$ лежит параллелограмм $ABCD$ . На ребре $SB$ отмечена точка $E$ , так что $SE :EB = 2:1$ . На ребре $SD$ отмечена точка $F$ , так что $SF :FD = 1:2$ . Найдите отношение, в котором плоскость $AEF$ делит объём пирамиды.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то воспользоваться данными в условии отношениями…быть может, сделаем такое дополнительное построение, чтобы указанные в условии отрезки были в подобных треугольниках?

Подсказка 2

Проведите через точки B, C, D прямые, параллельные AS, и отметьте их точки пересечения B’, C’, D’ соответственно с плоскостью AEF. Что можно сказать о B’B, C’C, D’D?

Подсказка 3

B’B = 1/2 AC, D’D = 2AS, C’C = 5/2AS. Давайте теперь подумаем, как нам было бы удобнее считать объём? Быть может, разбить нашу пирамиду на несколько частей поменьше?

Подсказка 4

Выразите объем пирамиды через объемы ABDS и BCDS

Показать ответ и решение

Проведём через точки $B,C,D$ соответственно прямые $l ,l ,l B C D$ , параллельные $AS$ . Обозначим через $B′,C′,D′$ соответственно точки пересечения плоскости $AEF$ с прямыми $lB,lC$ , $lD$ .

$PIC$

Тогда $BB ′ = 12AS,DD ′ =2AS$ , откуда $CC′ = 52AS$ . Пусть $G−$ точка пересечения плоскости $AEF$ с $CS$ . Тогда $SG :GC = 2:5$ . Далее,

VAEGFS = VAEFS +VEGFS = 2⋅ 1 ⋅VABDS + 2⋅ 1⋅ 2⋅VBCDS = 3 3 3 3 7

= 2⋅ 1+ 2⋅ 1 ⋅ 2⋅ 1V = 1V . 3 3 3 3 7 2 ABCDS 7 ABCDS

Стало быть, искомое отношение равно $1:6.$

Ответ:

$1 :6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63889

Дан тетраэдр $ABCD$ . Известно, что $AB = BC =CD = 5$ и $CA = AD =DB = 6$ . Найдите косинус угла между рёбрами $BC$ и $AD.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 202, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие способы поиска угла между скрещивающимися прямыми нам в принципе известны? В первую очередь хочется подумать о проведении прямой параллельной одной из них через точку на второй прямой. Будем рассматривать плоскость, проходящую через BC параллельно AD.

Подсказка 2

Чтобы построить искомый угол, ортогонально спроецируем точку А на построенную плоскость. Пусть получена точка А'. Рассмотрим отрезок MN, где N — cередина AD, M — середина ВС. Данных нам равенств отрезков достаточно, чтобы доказать, что он является общим перпендикуляром прямых AD и BC. Тогда какой угол будет искомым?)

Подсказка 3

Искомый угол ∠A'MB. Знание об общем перпендикуляре сразу же помогает нам найти А'М. Но чего-то ещё не хватает... Попробуем построить тут прямоугольный треугольник, чтобы легче было выражать угол! АА' перпендикуляр. Проведём из точки А наклонную АН такую что, точка Н лежит на ВС и АН ⊥ ВС. Тогда теорема о трёх перпендикулярах поможет нам увидеть △А'НМ с прямым углом Н, известной гипотенузой А'М и острым углом, чей косинус так хочется узнать!

Подсказка 4

Наклонная АН будет по сути высотой в треугольнике △АВС. При всех известных сторонах нетрудной найти АН и ВН. Отсюда один шаг до катета МН. Подставьте все нужные длины и получите косинус искомого угла!

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC$ . Высота, опущенная из вершины $B$ , равна 4 , следовательно, высота $AH$ , опущенная из вершины $A$ , равна 24/5. Отсюда получаем $18 7 CH = 5 ,BH = 5$ . Пусть $M$ — середина $BC$ . Тогда $5 7 11 MH = 2 − 5 = 10.$

$PIC$

Пусть $N$ — середина $AD$ . Тогда $BN = CN$ и, стало быть, $MN ⊥ BC$ . Аналогично $MN ⊥$ $AD$ .

Рассмотрим плоскость, содержащую $BC$ и параллельную $AD$ . Спроецируем ортогонально на эту плоскость точки $A$ и $D$ . Полученные точки обозначим $A′$ и $D′$ . Точка $N$ при этом проецируется в точку $M$ . Стало быть, искомый угол равен $∠A ′MB$ .

Из прямоугольного треугольника $A′MH$ получаем

cos∠A′MB = cos∠A′MH = MH--= MH--= 11. A′M AD∕2 30

Ответ:

$11 30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63903

Числа $a ,a,a ,...,a 1 2 3 20$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму $a6+a7+ ...+ a14+a15$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 203, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для разности двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: посмотрите, на сколько отличаются сумма, которую найти нужно и известные суммы. Тогда достаточно найти чему равно соответствующее выражение и прибавить его значение к известной сумме (или вычесть из известной) и задачка будет убита!

Показать ответ и решение

Пусть $d$ – разность прогрессии, $a$ – первый член, тогда $a = a+ (n − 1)⋅d n$ . Из условия получаем

9= a1+ ...a10 = a+ ...(a+ 9d)= 10a+ 45d

11= a11+⋅⋅⋅+a20 = 10a +145d, a6+⋅⋅⋅+a15 = 10a +95d

Откуда

11− 9= (10a+ 145d)− (10a+ 45d)= 100d=⇒ 50d =1,

а значит,

a6+ ⋅⋅⋅+ a15 =(10a+ 45d)+ 50d= 9+ 1= 10

Ответ:

$10$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#63904

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 105, которые делятся на 3, но не делятся на 5.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, как мы можем описать сумму всех чисел, которые делятся на 3 и не делятся при этом на 5. Можем ли мы ее представить в виде какой-то разности?

Подсказка 2

Верно! Мы можем найти сумму всех чисел с нашего промежутка, которые делятся на 3 и потом вычесть сумму всех чисел, которые делятся и на 3 и на 5! А каждую из этих сумм легко посчитать при помощи формулы арифметической прогрессии!

Показать ответ и решение

Сначала возьмём все числа, кратные $3$ — это $3,6,9,...105$ . Их будет 35, а их сумма

3+-105 2 ⋅35= 54 ⋅35

Теперь уберём из них числа, кратные 5, тогда это будут не превосходящие 105 числа, которые делятся на $3⋅5$ , с суммой

15 +105 --2---⋅7= 60⋅7

В итоге получаем

54⋅35 − 60⋅7= 35⋅(54− 12)=70⋅21= 1470

Ответ:

1470

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#63998

Решите уравнение

sin xcos3x= sin3xcos5x

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!

Подсказка 2

Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!

Подсказка 3

После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!

Показать ответ и решение

sinxcos3x= sin3xcos5x⇐⇒ sin4x− sin2x= sin8x− sin2x

sin4x(cos4x − 1∕2)= 0⇐⇒ x =kπ∕4,x= ±π∕12 +kπ∕2,k ∈ℤ

Ответ:

$πk∕4,± π∕12+ πk∕2,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64394

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

( 4 2 ) ( 2 ) log2x2y+1 x + y +1 = logy4+x2+1 2xy +1

Источники: ДВИ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.

Подсказка 2

Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)

Подсказка 3

Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.

Показать ответ и решение

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

4 2 2 2 2 x − 2x y+y = (x − y) ≥ 0

4 2 2 x + y + 1≥ 2x y+ 1

Аналогично $x4+ y2 +1 ≥2xy2+1.$

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием $x⁄= 0,y ⁄= 0$ ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

log (x4+ y2+ 1) ≥log (2x2y+1)= 1= 2x2y+1 2x2y+1

= 1= log (y4+ x2 +1)≥ log (2xy2 +1) y4+x2+1 y4+x2+1

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов $(x2− y)2,(y2− x)2$ в ноль. В итоге получаем $x =y2 = x4,y = x2 =y4,$ так что $x =y =0$ или $x= y = 1$ . С учётом ОДЗ пишем ответ.