Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .09 ДВИ 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31473

Решите неравенство:

√ - √-log√- √-x √- √- log(√3+√2) ( 3+ 2) 3− 2 ≥ ( 3− 2) x

Источники: ДВИ - 2018, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, даже не понятно с чего начать… Но почему-то в этом неравенстве встречаются только два числа: √3 - √2 и √3 + √2. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 2

Да, эти числа являются обратными, потому что их произведение равно единице! Тогда, эти два числа удобно представить, как: a и a⁻¹

Подсказка 3

Верно, поскольку a=√3 + √2 > 1, то чтобы исходное неравенство было верно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: logₓa ≥ logₐx. Осталось применить еще одно свойство логарифмов, и будет сильно проще!

Подсказка 4

Конечно, logₐx=1/logₓa. Тогда сделаем замену, найдём решения и сделаем обратную замену!

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле разности квадратов

√- √- √- √- ( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2 =1.

Тогда неравенство из условия имеет вид

logc−1x −1logxc − logcx − logxc c ≥(c ) ⇔ c ≥c

где $c =√3-+√2$ . Так как $c> 1,$ то неравенство равносильно:

− logx ≥− log c ⇔ log c≥ log x ⇔ -1--≥ log x c x x c logcx c

Если заменить $logcx$ на $t$ , то неравенство примет вид:

1 (t− 1)(t+1) t − t≥ 0 ⇔ -----t----≤ 0 ⇔ t∈(−∞;− 1]∪ (0;1]

Теперь сделаем обратную замену:

logcx∈ (− ∞;logcc−1]∪ (logc1;logcc]

Так как $c> 1$ , то неравенство равносильно

x∈(0;1c]∪(1;c]

Вспомним, что $√- √- c= 3+ 2$ , чтобы записать ответ.

Ответ:

$(0;√3-− √2]∪(1;√3 +√2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33513

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых разность между корнями уравнения $x2+$ $3ax +a4 = 0$ максимальна.

Источники: ДВИ - 2018, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Однозначно выразить саму разность тут мы не можем, а вот её модуль — вполне. Давайте поработаем с его максимизацией.

Подсказка 2

Когда максимально полученное выражение? Проанализируйте его с помощью производной и найдите точки максимума.

Подсказка 3

Проверьте полученные числа подстановкой: нас интересует максимальное значение, не факт, что обе точки максимума его дают. Запишите ответ!

Показать ответ и решение

Модуль разности между корнями равен корню из дискриминанта, то есть $√9a2−-4a4 =∘4a2-(9−-a2)- 4$ . Как парабола относительно $a2$ с ветвями вниз, подкоренное выражение максимально при $2 9 a = 8$ , т.е. при $-3√- a =± 2 2$ .

Ответ:

$-3√-;−-3√- 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64395

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ax2+ 4ax − 8y+ 6a+ 28 ≤0 ay2− 6ay − 8x+ 11a − 12≤ 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ДВИ - 2018, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратичные функции. И первое что хочется сделать это как-то их собрать: давайте выделим всюду полные квадраты и посмотрим на получившиеся выражения. Кажется, напрашивается двойная замена!

Подсказка 2

Посмотрите на наши новые неравенства, не получится ли тут какая-нибудь интересная симметрия? Тогда в каком случае решение может быть единственным?

Подсказка 3

Остаётся исследовать квадратный трёхчлен: в каком случае неравенство вида f(x) ≤ 0 имеет единственное решение, если f(x) — квадратичная функция? Не забудьте сделать проверку полученных точек!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты и перепишем систему в следующем виде

{ a(x+ 2)2− 8(y− 3)+2a +4≤ 0 a(y− 3)2− 8(x+ 2)+2a +4≤ 0

После замены $u =x +2,v = y− 3$ задача остаётся прежней — определить, при каких значениях параметра существует единственное решение $(u,v)$ . Если $a≤ 0$ , то при достаточно больших $(u,v)$ оба неравенства будут выполнены, то есть решений будет больше одного, поэтому $a> 0$ . Теперь остаётся увидеть симметрию $(u,v) ↔ (v,u)$ , поэтому для единственности решения необходимо, чтобы $u= v$ , откуда неравенство

2 au − 8u+ 2a+ 4≤0

имеет ровно одно решение. Этим решением должна быть вершина параболы, откуда $D = 16 − a(2a+4)= 0⇐ ⇒ a2 +2a− 8= 0$ . Решая, получаем $a∈ {− 4,2}$ , остаётся только $a= 2> 0$ . Поскольку мы использовали только необходимое условие единственности, то потребуется проверка

{ 2u2− 8v +8 ≤0 2 2 2v2− 8u +8 ≤0 =⇒ (u − 2) +(v− 2) ≤0

Получаем единственное решение $(2,2)$ , значит, $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64601

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Пусть $M$ — середина отрезка $AD$ , а $N$ — произвольная точка отрезка $BC$ . Пусть $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN$ , a $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC$ . Найдите все возможные значения площади треугольника $DMK$ , если известно, что $AD :BC =3 :2$ , а площадь треугольника $ABL$ равна 4.

Источники: ДВИ - 2018, задача 5 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поищите подобные треугольники! Помните о том, что основания трапеции параллельны!) Когда найдете отношения сторон в подобных треугольниках, посмотрите, нет ли каких-то отношений, для получения которых мы можем воспользоваться равными отрезками из условия!

Подсказка 2

Если Вы строили рисунок “красиво“, то посмотрите на точки L и K. На что они намекают? Что хочется попробовать доказать для треугольников ACM и LCK? Воспользуйтесь равенствами из предыдущего пункта, чтобы доказать подобие!

Подсказка 3

А что можно сказать про прямые LK и AD? Воспользуйтесь этим, чтобы получить еще какие-нибудь отношения отрезков!

Подсказка 4

Теперь попробуйте пользоваться найденными отношениями отрезков и методом площадей, чтобы найти нужное отношение площадей!

Показать ответ и решение

$PIC$

Воспользуемся $△DMK ∼ △NCK$ , а также равенством $AM = MD$ , получим

CK--= NC-= NC- = CL- MK DM AM AL

Из равенство первого и последнего отношений получаем $△CLK ∼ △CAM$ (у них общий угол, а стороны делятся в одинаковом отношении). Иначе говоря, получаем $LK ∥ AD$ . Поэтому прямая $LK$ делит все отрезки между двумя основаниями в одинаковом отношении, откуда

SABL = AL-⋅SABC = DK ⋅SABC = 4 AC DN

Аналогично

DK- DK- 3∕2- 3 DK- 3 SDKM = DN SMDN = DN ⋅ 2 SABC = 4 ⋅DN SABC = 4 ⋅4= 3

Здесь использовано $SABC- BC- -2- SMDN = MD = 3∕2$ , что верно, поскольку в каждом из треугольников высота будет равна высоте трапеции.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73450

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,π), 2$ при которых достигается минимум выражения

( √ - )( √- )2 ( )4 √---3siny--+ 1 -2sinx-+ 1 sin√(x+-y)+1 2sin(x +y) 3 siny 7 3sinx

Источники: ДВИ - 2018, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с того, что подумаем, как мы можем найти минимальное значение выражения. Через производную? Нет, конечно, это будет очень сложно. Как ещё можно найти минимальное значение?

Подсказка 2

Через неравенство! Но какое здесь можно применить? Давайте попробуем самое популярное — неравенство о средних!

Подсказка 3

Применим это неравенство отдельно для каждой скобки. В первой скобке применим неравенство для двух чисел, во второй представим 1 как три дроби 1/3, применим неравенство для 4 чисел, в третьей аналогично представим 1 как семь дробей 1/7 и применим неравенство для 8 чисел. Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Подсказка 4

Когда все числа равны! Тогда дробь в первой скобке равна 1, во второй — 1/3, в третьей — 1/7. Теперь осталось решить систему.

Подсказка 5

Выразим x из второго уравнения (это будет арксинус от синуса y, делённого на корень из 2) и подставим в третье уравнение. Получаем одно уравнение с одной неизвестной!

Подсказка 6

Раскроем синус суммы, воспользуемся тем, что при наших ограничениях cos(arcsin(t)) = √(1 - t²).

Подсказка 7

sin(y) не равен 0, можем на него поделить. Получилось обычное иррациональное уравнение. Тут корень равен выражению, которое больше 0. Можем возвести в квадрат.

Подсказка 8

Находим y и через него x, не забудьте подставить их в первое уравнение и проверить, подходят ли они.

Показать ответ и решение

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: $a+ b≥ 2√ab.$ Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка $( π) 0,2 ,$ а значит аргументы синусов лежат в промежутке $(0,π),$ то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на $4$ слагаемых, а третью — на $8,$ то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

√- ∘ --√------- √--3sin-y--+ 1≥2 √--3siny--, 2sin(x+ y) 2 sin(x+ y)

√ - √ - ∘ √--------- --2sinx +1= --2sinx +3⋅ 1 ≥4 4-2sinx ⋅ 13, 3siny 3siny 3 3siny 3

sin(x+ y) sin(x +y) 1 ∘8sin(x+-y)-1- -7√3sinx + 1= 7√3sin-x + 7⋅7 ≥8 -7√3-sinx ⋅77

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения $x,y,$ при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

√ - √- √---3siny--= 1,-2sin-x= 1,sin√(x+-y)= 1 2sin(x +y) 3siny 3 7 3sinx 7

Из второго равенства, учитывая, что $x∈ (0,π), 2$ получаем $x =arcsin(sin√y). 2$

В третье равенство подставим $x= arcsin(si√n2y)$ и получим: $∘ -- sin(y+ arcsin(si√n2y))= 32siny.$ Раскроем синус суммы: $∘ -- sinycos(arcsin(si√n2y))+ cosysin(arcsin(sin√y2 ))= 32 siny.$ Пользуясь равенствами $cos(arcsint)= √1−-t2-$ при $t∈[0,1]$ и $sin(arcsint)=t$ получим: