Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .08 ДВИ 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63471

Решите неравенство

2 2 2 7 x log4x+ 10log3x≤ xlog4x⋅log3x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 4, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенство с квадратичными выражениями обычно хотим разложить на множители, но этому явно будет мешать 7ая степень аргумента! Стоит её вынести и попробовать разложить на множители, перенеся все в одну сторону от знака неравенства.

Подсказка 2

Разложить на множители можно с помощью выделения полного квадрата с последующим применением формулы разности квадратов или методом группировки. Теперь есть 2 логарифма с одинаковыми аргументами, но разными основаниями, а хотим наоборот, одинаковые основания! Как можем к ним перейти?

Подсказка 3

С помощью “переворота”, конечно! Применяем свойство (не забывая проверить случай х = 1!) и замечаем, что если теперь домножить на один из знаменателей все выражение, то одна дробь уйдет, а вторая будет очень похожа на свойство логарифма!

Подсказка 4

Переходим к новому основанию по свойству логарифма и получаем привычное квадратное неравенство. Остается лишь решить его удобным способом и задачка убита!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log4 x+10log3x − 7xlog4 x⋅log3x≤ 0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 4$ и получим

2 2 x + 10c− 7xc≤0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log3x-= logx4= log 4 >0 log4x logx3 3

Уравнение $2 2 x + 10c − 7xc =0$ имеет корни $7c±3c x = 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x− 2c)(x− 5c)≤ 0

По методу интервалов $x∈ [2c;5c].$

В итоге с учётом $x= 1= log33< log34= c< 2c$ получаем $x ∈{1}∪ [2log34;5log34].$

Ответ:

${1}∪[2log 4;5log 4] 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63892

Из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$ пирамиды $ABCD$ опущена высота $DH$ . Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников $△HBC, △HAC, △HAB$ равны соответственно $2 1 4 9,3,9$ , и что все три плоских угла при вершине $D$ прямые.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 7 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас на картинке очень много прямых углов и даны площади, поэтому хочется попользоваться формулой площади проекции. Посмотрим: △BHC- ортогональная проекция треугольника △BDC, а треугольник △BDC, в свою очередь- ортогональная проекция треугольника △BAC. Какими тогда формулами связаны площади этих треугольников?

Подсказка 2

Выписав соотношения этих площадей через косинус двугранного угла, нетрудно увидеть, что S²(△BDC)= S(△BAC)*S(△BHC). Учитывая, что S(△BAC) = 1, получаем: S(△BDC) = √S(△BHC). Абсолютно аналогично для остальных граней. Как думаете, сможем ли мы, зная площади боковых граней, найти объем тетраэдра?

Подсказка 3

Кончено сможем! V = 1/6 * AD*CD*BD. Учитывая, что боковые грани- прямоугольные треугольники, выразите их площади через катеты и преобразуйте предыдущее выражение. Я в вас верю!

Показать ответ и решение

Обозначим через $α,β,γ$ двугранные углы при ребрах $BC,AC,AB$ соответственно. Поскольку $DH ⊥ ABC,△HBC$ является ортогональной проекцией $△DBC$ .

$PIC$

Следовательно, $SS(△(△HDBBCC-)) = cosα$ . С другой стороны, $AD ⊥ DBC$ , то есть $△DBC$ является ортогональной проекцией $△ABC$ , откуда

S(△DBC--)= cosα. S(△ABC )

Учитывая, что $S(△ABC )= S(△ABH )+S (△BCH )+S(△ACH )= 1$ , получаем

S(△HBC-) ∘ -------- cosα =S(△DBC )= S(△DBC ) = S(△HBC ).

Аналогично,

∘-------- cosβ = S(△DAC )= ∘S(△HAC-) cosγ = S(△DAB )= S(△HAB )

Далее, поскольку плоские углы при вершине $D$ прямые,

1 √2∘ BD-⋅CD--AD-⋅CD--AD-⋅BD- V (ABCD )= 6AD ⋅BD ⋅CD = -3- ---2---⋅---2---⋅---2---=

√-∘ -------------------------- √-∘ -------------------------- = -2- S(△DBC )⋅S(△DAC )⋅S(△DAB )= -24 S(△HBC )⋅S(△HAC )⋅S(△HAB )= 3 3

√ -∘ ------- √- = --24 2⋅ 1 ⋅ 4= 24√9 3 9 3 9 43

Ответ:

$2√√42 9 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63905

Известно, что $a+ b+ c=5$ и $ab+ bc+ac= 4$ . Найдите $a2 +b2+ c2.$

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то, что нам дано и что мы хотим найти. Подумайте о том, какие формулы могут связывать произведения чисел, сами числа и их квадраты?

Подсказка 2

Верно, это формула квадрата суммы трех слагаемых! Воспользуйтесь ей и преобразуйте выражение так, чтобы можно было из того, что нам дано найти то, что у нас просят!

Показать ответ и решение

$(a+ b+c)2 = a2+b2+ c2 +2(ab+bc+ ac)$ , откуда $a2+ b2+ c2 =52− 2⋅4= 17.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64037

Решите неравенство

2 2 2 4 x log7x +3log6x ≤x log7x⋅log6x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала сделаем аргументы всех логарифмов одинаковыми. Теперь посмотрите внимательно на наше неравенство, как мы можем его преобразовать? Может быть будет удобно на что-то его поделить?

Подсказка 2

Если поделить неравенство на (log₇x)², то неравенство станет квадратным! (Только не забудьте отдельно рассмотреть случай, когда (log₇x)² = 0) Теперь может спокойно решить его методом интервалов :)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log7x+ 3log6x− 4xlog7x⋅log6x ≤0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 7$ и получим

2 2 x +3c − 4xc≤ 0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log6x-= logx7= log 7 >0 log7x logx6 6

Уравнение $2 2 x + 3c − 4xc=0$ имеет корни $4c±2c x= 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x − c)(x − 3c)≤0

По методу интервалов $x∈ [c;3c].$

В итоге с учётом $x= 1= log66< log67= c$ получаем $x∈ {1}∪ [log6 7;3log67].$

Ответ:

${1}∪[log 7;3log 7] 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64357

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка Василия “после отправления из С” на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции отрезка Василия “до встречи с Григорием”. Что можем сказать про связь этих отрезков (не проекций) в геометрическом плане?

Подсказка 3

Они параллельны! А что мы знаем про проекции отрезков с некоторых параллельных прямых на третью прямую?

Подсказка 4

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Рассмотрим график движения, где по $ADCB$ двигался первый катер, а по $AB$ — второй

$PIC$

Здесь $AE = 8$ из условия, $AD$ и $BC$ параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда $△ADF ∼△BCF$ с коэффициентом $2:1$ ( $∠ADF = ∠FCB$ ), откуда на отрезке $CB$ первый катер прошёл 4 км.

Ответ:

4 километра

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64398

Решите систему уравнений

(| -----x---- ( 2 2) ∘ π- { cos(x2y− y2) − y⋅tg x( − y )= ∘2; |( cos(x2-− y2) − x⋅tg x2− y2 = π3.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе тригонометрических функций у нас стоит разность квадратов, попробуем получить её не только в аргументах, но и множителем! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов помогает нам: запишите вместо нашей системы равносильную ей, полученную сложением и вычитанием наших исходных уравнений. А затем можно перемножить имеющуюся пару уравнений.

Подсказка 3

Тригонометрическая формула, связывающая квадрат косинуса с квадратом тангенса поможет нам сделать интересный вывод! Таким образом мы узнаём значение x² - y²

Подсказка 4

Остаётся подставить найденное в систему и решить линейные уравнения!

Показать ответ и решение

Будем получать $t= x2 − y2$ не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)

({ (-1- ) ∘ π- ∘-π ( ) (x +y)(cos1t − tgt)= ∘ 2π + ∘-3π =⇒ t-12-− tg2t = π − π = π ( (x − y) cost + tgt = 2 − 3 cos t 2 3 6

Как известно, $1 ∀t: cos2t = tg2t+ 1$ , откуда скобка равна единице и $π t =-6$ . Остаётся подставить результат в систему

( 2 1 ∘π- ( ∘--- ( √- √-√- { √3x −√3-y = ∘-2 ⇐ ⇒ { 2x− y = 3π2- ⇐⇒ { x= 2√-33√+2√2√π ( √23y −√13-x= π3 ( 2y− x= √π ( y =-33+√22-2 π

Ответ:

$(2√3√+√2√π,√3+√2√2√π) 32 32$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90013

Решите уравнение

sin7x+ sin6x= sinx.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 3 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас сумма синусов — быть может, преобразуем её? Какой формулой можно воспользоваться?

Подсказка 2

Распишем её как сумму синусов! Интересно, что у нас в аргументе появляется половинный угол — тогда сделаем его и в правой части уравнения! Какой формулой воспользуемся?

Подсказка 3

Распишите правую часть как синус двойного угла и вынесите общий множитель.

Подсказка 4

Итак, имеем, что произведение cos(x/2) на скобку равняется нулю. Осталось лишь разобрать случаи!

Показать ответ и решение

Запишем сумму синусов в левой части как произведение, а в правой части распишем синус как синус двойного угла: